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Caractérisation vectorielle du centre de gravité d’un triangle

Caractérisation vectorielle du centre de gravité d’un triangle. Touche F3 pour les commentaires de la figure. A. B’. C. G. C’. A’. B. Soit G le centre de gravité du triangle ABC. On veut démontrer que :. A. B’. C. G. D. C’. A’. B. On trace le symétrique D de G par rapport à A’.

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Caractérisation vectorielle du centre de gravité d’un triangle

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Presentation Transcript

  1. Caractérisation vectorielle ducentre de gravité d’un triangle

  2. Touche F3 pour les commentaires de la figure

  3. A B’ C G C’ A’ B Soit G le centre de gravité du triangle ABC On veut démontrer que :

  4. A B’ C G D C’ A’ B On trace le symétrique D de G par rapport à A’. On peut démontrer que le quadriletère GCDB est un parallélogramme. Pour les vecteurs, cela signifie que : De plus, A est le milieu de [GD], donc :

  5. On sait que et que donc on obtient : Mais qu’en est-il de la réciproque ?

  6. Réciproquement, si un point T vérifie Utilisons la relation de Chasles pour exprimer le vecteur TG : 0 car G est le centre de gravité ! D'où T = G Ansi, si un point T vérifie Alors T est le centre de gravité du triangle ABC.

  7. A B’ C A’ G C’ B Retrouvons la position du centre de gravité à l'aide d'un calcul vectoriel Introduisons A’ milieu de [BC] : Le centre de gravité du triangle est situé aux deux tiers de la médiane en partant du sommet.

  8. A B’ C G C’ A’ B Conclusion 1) Si G est le centre de gravité du triangle ABC, alors : 2) Réciproquement, si un point vérifie Alors, c’est le centre de gravité du triangle ABC. 3) G est situé au deux tiers de la médiane en partant du sommet.Ce qui peut s’écrire :

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