Budujemy osiedle mieszkaniowe

1. Budujemy osiedle mieszkaniowe Czy budowle mogą mieć nietypowe kształty?

2. Projekt 1: Jakie bryły można wykorzystać do budowy osiedla? Wielościany i bryły obrotowe, obliczanie objętości i pola powierzchni.

3. Klasyfikacja brył • WIELOŚCIANY: - graniastosłupy • ostrosłupy • wielościany foremne • wielościany półforemne • inne • BRYŁY OBROTOWE: - walec - stożek - kula

4. 1. Graniastosłupy Graniastosłup – wielościan, którego wszystkie wierzchołki położone na dwóch równoległych płaszczyznach zwanych podstawami graniastosłupa i którego wszystkie krawędzie leżące poza tymi podstawami są do siebie równoległe. Graniastosłupy dzielimy na: • Graniastosłupy prawidłowe • prostopadłościan • Graniastosłupy proste • sześcian • graniastosłup prawidłowy sześciokątny • Graniastosłupy pochyłe • równoległościan • romboedr

5. Graniastosłupy prawidłowe -graniastosłup prosty o podstawach będących wielokątami foremnymi. Prostopadłościan to równoległościan, którego każda ściana jest prostokątem. • pole powierzchni S=2(ab+bc+ac) • objętość: V=abc

6. Graniastosłup prosty - to taki graniastosłup, którego podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są prostokątami. Sześcian – wielościan foremny o sześciu ścianach w kształcie identycznych kwadratów. • pole powierzchni : P=6a2 • objętość : • V=a3

7. Graniastosłup prawidłowy sześciokątny – jego ściany boczne są prostokątami, podstawą jednak nie jest już dowolny wielokąt. W tym przypadku podstawą jest sześciokąt foremny.  pole powierzchni: P=2Pp+Pb • objętość: • V=Pp· H

8. Graniastosłup pochyły - to taki graniastosłup, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw, ale są do siebie równoległe. Równoległościan - to wielościan o trzech parach równoległych przeciwległych ścian. Ściany równoległościanu są zawsze równoległobokami. objętość: V=Pp· h

9. Romboedr Romboedr (rombościan) – równoległościan, którego każda ścianajest rombem, czyli bryła ograniczona sześcioma przystającymi rombami.

10. 2. Ostrosłupy Ostrosłup – bryła geometryczna w postaci wielościanu, którego wszystkie ściany prócz podstawy zbiegają się w jednym punkcie zwanym wierzchołkiem (czyli są trójkątami o wspólnym wierzchołku). Ostrosłupy dzielimy na: • ostrosłup prawidłowy • ostrosłupa prawidłowy -  sześciokątny • czworościan • ostrosłup ścięty

11. Ostrosłup prawidłowy - jego podstawą jest wielokąt foremny i spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie. Ostrosłup prawidłowy sześciokątny - Jego podstawą jest sześciokąt foremny, a ścianami są trójkąty równoramienne. Objętość: V= 1/3Pp· H Pole powierzchni: Pc=Pp+Pb

12. Ostrosłup ścięty • Ostrosłupem ściętym nazywamy część ostrosłupa zawartą między jego podstawą i przekrojem płaszczyzną równoległą  do podstawy wraz z tą płaszczyzną.Ściany boczne ostrosłupa ściętego są trapezami.Podstawy ostrosłupa ściętego są wielokątami podobnymi.

13. 3. Wielościany foremne • Wielościanem foremnym (bryłą platońską) nazywamy wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są  przystającymi wielokątami foremnymi i wszystkie kąty dwuścienne wyznaczone przez ściany są równe. • Istnieje tylko pięć wielościanów foremnych: • Czworościan (tetraedr) • Sześcian (heksaedr) • Ośmiościan (oktaedr) • Dwunastościan (dodekaedr) • Dwudziestościan (ikosaedr)

14. Czworościan (tetraedr) • 4 ściany trójkątne, 4 wierzchołki, 6 krawędzi • Każda z jego ścian jest trójkątem równobocznym. Jest on szczególnym przypadkiem ostrosłupa prawidłowego trójkątnego.

15. Sześcian (heksaedr) • 6 ścian kwadratowych, 8 wierzchołków, 12 krawędzi. • Sześcian foremny to wielościan foremny o sześciu ścianach w kształcie identycznych kwadratów. Kąt między ścianami sześcianu jest kątem prostym. Sześcian foremny jest szczególnym przypadkiem graniastosłupa prawidłowego, prostopadłościanu i romboedru.

16. Ośmiościan (oktaedr) • 8 ścian trójkątnych, 6 wierzchołków, 12 krawędzi • Ośmiościan foremny to wielościan foremny o ośmiu ścianach w kształcie identycznych trójkątów równobocznych. Ma cztery pary ścian do siebie równoległych. Jest także antygraniastosłupem.

17. Dwunastościan (dodekaedr) i Dwudziestościan (ikosaedr) • 12 ścian pięciokątnych, 20 wierzchołków, 30 krawędzi • 20 ścian trójkątnych, 12 wierzchołków, 30 krawędzi

18. 4. Wielościany półforemne • Wielościan półforemny (albo archimedesowy) - wielościan o foremnych ścianach mający przystające (takie same) naroża, czyli kąty wielościenne., niektóre z nich można uzyskać odpowiednio ścinając naroża wielościanów foremnych.Od wielościanów foremnych półforemne różnią się tym, że ściany tych półforemnych nie są przystającymi wielokątami foremnymi.

19. Czworościan ścięty • Powstał, jak sama nazwa mówi, przez ścięcie wierzchołków czworościanu foremnego. Ma 4 ściany w kształcie trójkątów równobocznych i 4 w kształcie sześciokątów foremnych.

20. Sześcio-ośmiościan • Posiada 6 ścian w kształcie kwadratów i 8 w kształcie trójkątów równobocznych.

21. Sześcian ścięty • Bryła posiada 6 ścian w kształcie ośmiokątów foremnych i  8 w kształcie trójkątów równobocznych. Sześcian ścięty możemy uzyskać przez ścięcie wierzchołków zwykłego sześcianu.

22. Sześcio-ośmiościan rombowy wielki • Składa sie z 26 ścian w tym 12 kwadratów, 8 sześciokątów foremnych i 6 ośmiokątów foremnych.

23. 5. Bryły obrotowe • Bryła obrotowa - to bryła geometryczna ograniczona powierzchnią powstałą z obrotu figury płaskiej dookoła prostej (osi obrotu).

24. Do brył obrotowych zaliczane są m.in.: • walec kołowy prosty, • stożek, • kula, • torus, • beczka, • elipsoida obrotowa, • paraboloida obrotowa, • hiperboloida obrotowa.

25. Torus • dwuwymiarowa powierzchnia obrotowa zanurzalna w przestrzeni trójwymiarowej, powstała przez obrót okręgu wokół prostej leżącej w tej samej płaszczyźnie i nie przecinającej go (czyli nie mającej z nim wspólnych punktów

26. Beczka • bryła obrotowa powstająca przez obrót figury płaskiej ograniczonej łukiem, dwoma odcinkami jednakowej długości prostopadłymi do osi obrotu i osią obrotu, dookoła tej osi.

27. Elipsoida obrotowa • w geometrii powierzchnia powstała na skutek obrotu elipsy wokół jej osi symetrii.

28. Paraboloida obrotowa • Paraboloida obrotowa to nieograniczona powierzchnia drugiego stopnia posiadająca jedną oś symetrii, jedna z odmian paraboloidy, szczególny przypadek paraboloidy eliptycznej.

29. Hiperboloida • Hiperboloida – nieograniczona, nierozwijalna powierzchnia drugiego stopnia (kwadryka), powstała przez obrót hiperboli wokół osi symetrii hiperboli rozłącznej z nią (hiperboloida jednopowłokowa) lub osi prostopadłej do poprzedniej, przechodzącej przez oba wierzchołki hiperboli (hiperboloida dwupowłokowa)

30. Architektoniczne przykłady nietypowego wykorzystania wielościanów i brył obrotowych

31. Muzeum Titanica w Belfaście

32. Strusie jajo (Blob VB3)

33. AAMI Park, Melbourne, Australia,

34. Bumps, projektu Keiichiro Sako

35. Burj Khalifa(Dubaj)

36. Dynamic Tower

37. Anara Tower

38. www.diament.edu.pl SPG-M-Gr2 Janusz Tomasik, Marcin Węgrzyn, Michał Suder