Pendahuluan

1. Pendahuluan Untuk mengetahui stabilitas suatu sistem, kita tidak perlu mencari lokasi aktual pole, namun cukup dengan melihat sign-nya, yang akan menunjukkan apakah poleberada di RHP (right-half-plane) atau LHP (left-halp-plane).Kriteria Hurwitz dapat digunakan untuk mengetahui instabilitas sistem, tapi tidakcukup untuk memastikan stabilitas sistem.Kriteria Routh-Hurwitz adalah metode yang efektif untuk menguji kestabilan sistem. Kriteria ini juga dapat menunjukkan jumlah pole pada RHP atau pada sumbuimajiner.Tes stabilitas yang handal untuk segala bentuk kasus dapat digunakan dalam prosesdisain untuk memastikan kestabilan sistem, misalnya untuk memantau kapan sistemmulai tidak stabil jika gain terus ditingkatkan. Penggunaan tes stabilitas dalam disain dinamakan disain untuk stabilitas relatif. Bagian 12

2. 6.5 Kriteria Stabilitas Routh-Hurwitz 6.5.1 Larik Routh (Routh Array) Gambar berikut adalah sebuah sistem (sebagai contoh kasus) : Persamaan karakteristik closed-loop-nya adalah : Routh array adalah matriks dengan baris berjumlah n + 1, dengan n = order persamaan. Bagian 12

3. Langkah selanjutnya adalah menginsialisasi Routh array dengan mengisi dua barispertama dengan koefisien polinom karakteristik sbb. : • Untuk baris s4, elemen pertamanya adalah a4, yaitu koefisien s4. Elemen berikutnyaadalah a2 dan elemen terakhir adalah a0. Jadi, baris pertama adalah :s4 : a4a2 a0Perhatikan bahwa pada langkah ini, s4 hanya diisi oleh koefisien genap, karena n = 4 (genap). Jika n ganjil, maka baris diisi dengan koefisien ganjil. • Untuk baris ke dua (s3), dilakukan pengisian elemen yang tersisa. Jadi s3 : a3a10Angka 0 digunakal untuk menyamakan jumlah kolom. Setelah inisialisasi selesai, diperolehmatriks seperti di samping ini. Bagian 12

4. Langkah berikutnya adalah mengisi baris yang tersisa pada matriks. Baris ke-3 diisimelalui pengoperasian baris ke-1 dan ke-2. Baris ke-4 diisi melalui pengoperasianbaris ke-2 dan ke-3. Demikian seterusnya hingga seluruh baris terisi. • Dimulai dengan pembentukan matriks 2 x 2 dengan mengambil elemen kiri-atas dari matriks. Matriks 2 x2 ini dinamakan matriks R1.Elemen pertama dari baris ke-3 Routh Array dinamakan b1, dimanab1 = -det(R1)/R1(1,2)dengan kata lain : Bagian 12

5. Elemen ke-2 dari baris ke-3, b2, dihitung dengan cara yang sama. R2 dibuat denganmengganti elemen kolom-2 dengan elemen kolom-3, sementara elemen kolom-1dibiarkan tetap. • Langkah ini diteruskan hingga determinan bernilai nol, dimana selanjutnya elemen baris-3 diisi dengan nilai 0. • Seluruh proses diulangi hingga seluruh matriks terisi. Tabel berikut menunjukkankeseluruhan perhitungan elemen matriks Routh array Bagian 12

6. Routh Array yang sudah terisi lengkap Bagian 12

7. 6.5.2 Tes Routh-Hurwitz Dengan kriteria Routh-Rouwitz dapat dilakukan pengujian terhadap sistem, yangkarakteristik closed-loop-nya telah lulus uji kriteria Hurwitz. Kriteria Routh-Hurwitz :Jumlah akar polinom karakteristik yang berada pada right-half-plane sama denganjumlah perubahan sign pada kolom pertama Routh Array Contoh 6.1Akan dilakukan uji kestabilan untuk sistem tergambar di samping ini Bagian 12

8. Jawab :Karena koefisien persamaan sudah lengkap, maka sistem lulus tes Hurwitz. Dilakukanpengujian lebih lanjut dengan kriteria Routh-Hurwitz. Hasil inisialisasi adalah sbb. : Routh Array tidak akan berubah karena perkalian suatu baris dengan suatu konstanta.Ini bisa digunakan untuk menyederhanakan langkah. Sebagai contoh, pada baris ke-dua terlihat bahwa baris bisa disederhanakan dengan mengalikannya dengan 1/10.Jadi : Bagian 12

9. Kemudian dilakukan langkah-langkah untuk melengkapi isi tabel. Hasilnya sbb. : Jadi matriksnya adalah dan isi kolom ke-1 adalah Pada kolom-1 terjadi dua kali perubahan sign (dari 1 ke -72 dan dari -72 ke 103).Dengan demikian, sistem tidak stabil dan memiliki dua pole pada RHP. Bagian 12

10. 6.6 Kasus-kasus khususDua kasus khusus dapat terjadi pada saat pembuatan Routh array. • Nilai nol bisa muncul pada kolom pertama array. • Seluruh elemen pada satu baris bernilai nol. 6.6.1 Nilai nol di kolom pertamaJika kolom pertama memiliki elemen bernilai nol, maka akan terjadi operasi "pembagiandengan nol" pada langkah pencarian elemen untuk baris berikutnya. Untuk menghindari-nya, digunakan satu nilai kecil e (epsilon) sebagai pengganti nilai nol di kolom pertama. Contoh 6.2Diketahui sebuah sistem kontrol memiliki fungsi transfer closed-loop sebagai berikut :Buatlah Routh-array sistem tersebut dan interpretasikan kestabilan sistem tersebut. Bagian 12

11. Jawab :Polinom karakteristiknya adalahsehingga Routh array-nya menjadi seperti yang terlihat pada tabel kiri. Pada tabel kanan,terlihat hasil analisis perubahan sign. Jika e dipilih bernilai +, akan terdapat dua perubahan sign. Jika e dipilih bernilai - ,juga terdapat dua perubahan sign. Jadi, tidak jadi masalah apakah e dipilih bernilai+ atau -. Hasil analisis adalah : sistem di atas memiliki dua pole pada RHP Bagian 12

12. 6.6.2 Seluruh elemen pada baris bernilai nol Hal ini bisa terjadi untuk polinom genapContoh 6.3Buat Routh array untuk sistem dengan fungsi transfer closed-loop sbb. : Jawab :Routh array dari sistem adalah Perhitungan tidak bisa dilanjutkan dengan cara biasa karena seluruh elemen baris ke-3 bernilai nol. Agar perhitungan bisa berlanjut, digunakan polinom auksiliari Q(s),yang dibentuk dari baris sebelum baris nol, Q(s) = s4+ 6s2 + 8 Bagian 12

13. Selanjutnya, dilakukan diferensiasi Q(s) terhadap s :dan baris ke-3 diganti dengan koefisien hasil derivatif (setelah disederhanakan melaluipembagian dengan 4), seperti terlihat pada tabel kiri di bawah ini. Baris-baris lain dibuat dengan cara biasa, yang hasilnya terlihat di atas pada tabel kanan.Terlihat tidak adanya perubahan sign pada Routh array. Jadi, sistem stabil. Bagian 12

14. 6.6.3 Interpretasi baris nolBaris nol akan muncul pada Routh array jika polinom genap murni merupakan faktordari polinom karakteristik. Sebagai contoh, polinom s4 + 5s2 + 7 adalah polinom genapmurni, yang hanya memiliki pangkat genap untuk s. Polinom genap memiliki akar-akar simetris terhadap sumbu imajiner. Beberapa kondisi simetri dapat terjadi : • akar-akar real dan simetris terhadap sumbu imajiner (A) • akar-akar imajiner dan simetris terhadap sumbu real (B), atau • akar-akar bersifat kuadrantal (C) Ketiga kondisi di atas dapat meng-hasilkan polinom genap. Bagian 12

15. Adalah polinom genap yang menimbulkan baris nol pada Routh array. Dengan demikian, baris nol mengindikasikan adanya akar-akar simetris terhadap origin.Beberapa akar dapat berada pada sumbu imajiner (simetri jenis B). Sebaliknya,jika kita tidak mendapatkan baris nol, kemungkinan kita tidak memiliki akar padasumbu j.Karakteristik lain dari Routh array untuk kasus di atas yang masih perlu diperta-nyakan adalah apakah baris sebelum baris nol mengandung polinom genap, yangmerupakan faktor polinom asalnya. Pada contoh yang lalu, polinom s4 + 6s2 + 8 adalah faktor dari polinom asal. Akhirnya, uji Routh, dari baris yang mengan-dung polinom genap hingga baris terakhir, hanya menguji pole pada polinom genap. Contoh berikut dapat menjelaskan hal ini. Contoh 6.4Hitung berapa pole yang berada pada RHP, LHP, dan di sumbu j untuk sistem dengan fungsi transfer closed-loop sebagai berikut : Bagian 12

16. Jawab :Dari persamaan dapat dibuat Routh array sbb. : Untuk mempermudah, baris s6 dikalikan dengan 1/10 dan baris s4 dikali 1/20. Terdapatbaris nol pada baris s3. Kembali ke baris s4, ekstraksi polinom genap dan dibuat derivatifnya. Bagian 12

17. Baris nol diganti dengan 4, 6, 0 = 2, 3, 0 dan Routh array dapat dilengkapi : InterpretasiKesimpulan yang bisa diambil adalah tidak ada perubahan sign dari bariss4 hingga s0sehingga tidak ada pole pada RHP (berarti tidak ada pole pada sumbu real dan kuadrantal).Tapi karena harus ada pole-pole yang simetris, maka pasti ada 4 pole pada sumbu j.Akar lain bisa diperoleh dari baris lain pada Routh array. Terdapat dua perubahan sign, yang berarti ada dua pole di RHP. Dua pole lagi pasti ada di LHP. Bagian 12

18. Soal LatihanSetiap fungsi transfer di bawah ini adalah fungsi transfer open-loop untuk sistem kontroldengan umpanbalik unity-gain. Untuk setiap kasus, buat Routh array untuk polinomkarakteristik closed-loop dan beri komentar mengenai stabilitasnya juga mengenai lokasipoleclosed-loop di bidang-s (jika perlu). Bagian 12

19. 6.7 Contoh Penggunaan Kriteria Routh-Hurwitz pada Disain Sistem KontrolContoh 6.5Untuk sistem tertutup pada gambar di bawah ini, tentukan rentang nilai parametergainK, dimana sistem closed-loop bersifat stabil. Jawab : Fungsi transfer closed-loop adalah Jika K diasumsikan positif, kita dapat menggunakankriteria Routh Hurwitz untuk menentukan limit nilai Kagar sistem stail. Tidak akan ada perubahan sign jikaK > 0 dan jika 1386 - K > 0, yaitu jika K < 1386.Jika K > 1386, akan ada dua perubahan sign, sehinggaterdapat dua pole di RHP dan sistem jadi instabil Bagian 12

20. Jika K = 1386, maka baris s1 menjadi baris nol. Baris sebelumnya adalahQ(s) = 18s2 + 1386 dan derivatifnya adalah 36s, sehingga Routh array barunya adalah : Untuk polinom Q(s) tidak terdapat perubahan sign dari s1 hingga s0, sehinggapasti ada dua akar imajiner dan sistem bersifat stabil marginal. Contoh 6.6Untuk kontrol azimuth antena padagambar di samping ini, fungsi trans-fernya adalah : Hitung gain pre-amplifierK dimana sistem closed-loop stabil.Jawab: 0 < K < 2623.29 Bagian 12

21. Contoh 6.6Fungsi transfer Untuk kontrol azimuth antena pada gambar di bawah ini adalah : Hitung gain pre-amplifierK dimana sistem closed-loop stabil.Jawab: 0 < K < 2623.29 Bagian 12

22. 6.8 Stabilitas RelatifPengujian stabilitas sistem kontrol berdasarkan sejumlah parameter adalah hal yangsangat penting. Namun dalam perancangan sistem kontrol, stabilitas absolut bukan- lah sesuatu yang menarik.Pada contoh sebelumnya, gainK maksimum yang diperoleh adalah 2623.29. Jikakita menginginkan "margin of safety" (margin aman) untuk memastikan bahwa sistem tidak akan pernah instabil. Sebagai contoh, untuk kasus di atas kita bisa batasi gain K maksimum sebesar 2620.29, yang berarti kita memberikan marginuntuk gain sebesar 3. Gain margin (GM) adalah contoh parameter disain yang memastikan telahtercapainya "stabilitas relatif" dalam disain. Bagian 12