1 / 70

LÝ THUYẾT TỔ HỢP

Chương 3:. LÝ THUYẾT TỔ HỢP. TỔ HỢP. 3. 1 BÀI TOÁN TỒN TẠI. 3.2 BÀI TOÁN ĐẾM. 3.3 BÀI TOÁN LIỆT KÊ. 3.4 BÀI TOÁN TỐI ƯU. BÀI TOÁN TỒN TẠI. MỞ ĐẦU.

washi
Download Presentation

LÝ THUYẾT TỔ HỢP

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Chương 3: LÝ THUYẾT TỔ HỢP

  2. TỔ HỢP 3. 1 BÀI TOÁN TỒN TẠI 3.2 BÀI TOÁN ĐẾM 3.3 BÀI TOÁN LIỆT KÊ 3.4 BÀI TOÁN TỐI ƯU

  3. BÀI TOÁN TỒN TẠI

  4. MỞ ĐẦU Trong rất nhiều bài toán tổ hợp, việc chỉ ra sự tồn tại của một cấu hình tổ hợp thỏa mãn các tính chất cho trước có ý nghĩa quan trọng về mặt lí thuyết cũng như thực tế. Trong tổ hợp xuất hiện một bài toán quan trọng là Bài toán tồn tại: Xét sự tồn tại của các cấu hình tổ hợp thỏa mãn các tính chất cho trước.

  5. Một bài toán tồn tại tổ hợp xem là giải xong nếu hoặc chỉ ra một cách xây dựng cấu hình, hoặc chứng minh rằng chúng không có. Tuy nhiên cả hai khả năng trên đều không phải dễ. Để thấy rõ sự phức tạp của vấn đề, dưới đây ta sẽ xét một số bài toán tồn tại tổ hợp cổ điển nổi tiếng.

  6. MỘT SỐ VÍ DỤ Bài toán 36 sĩ quan: Bài toán này do nhà toán học Euler đưa ra, nội dung như sau: Người ta triệu tập từ 6 trung đoàn, mỗi trung đoàn 6 sĩ quan có 6 cấp bậc khác nhau: thiếu úy, trung úy, thượng úy, đại úy, thiếu tá, trung tá. Hỏi có thể sắp xếp 36 sĩ quan này thành hình vuông 66 sao cho mỗi hàng dọc cũng như hàng ngang đều có đại diện của 6 trung đoàn và cũng có 6 cấp bậc khác nhau.

  7. Để đơn giản ta dùng các chữ cái in hoa A, B, C, D, E, F để chỉ 6 trung đoàn và các chữ cái thường a, b, c, d, e, f để chỉ 6 cấp bậc. Bài toán có thể tổng quát hóa bằng cách thay số 6 bằng n.

  8. Trong trường hợp n = 4, một lời giải của bài toán 16 sĩ quan:

  9. Một lời giải cho trường hợp n = 5 của bài toán 25 sĩ quan:

  10. Do lời giải của bài toán có thể biểu diễn bởi hai hình vuông với các chữ cái hoa và thường xếp cạnh nhau nên bài toán tổng quát còn có tên gọi là bài toán hình vuông la tinh trực giao. Sinh thời, nhà toán học Euler đã mất nhiều công sức đi tìm lời giải cho bài toán nhưng đã không thành công. Vì vậy, ông đã đưa ra giả thuyết rằng lời giải cho bài toán tổng quát là không tồn tại.

  11. Giả thuyết này được nhà toán học Pháp Tarri chứng minh năm 1901 bằng cách duyệt tất cả các khả năng xếp. Dựa trên giả thuyết không tồn tại lời giải chon = 2 và n = 6, Euler còn đưa ra giả thuyết tổng quát hơn là: Không tồn tại hình vuông la tinh trực giao cấp 4k + 2.

  12. Giả thuyết này tồn tại suốt 2 thế kỷ. Mãi đến năm 1960 ba nhà toán học Mỹ là Boce, Parker, Sricanda mới chỉ ra một lời giải với n = 10 và sau đó đưa ra phương pháp xây dựng hình vuông la tinh trực giao cấp 4k + 2 với k > 1.

  13. Bài toán 2n điểm trên lưới nn ô vuông Cho một lưới gồm nn ô vuông. Hỏi có thể đặt 2n điểm trên lưới sao cho không có 3 điểm nào cùng nằm trên 1 hàng hay 1 cột? Hiện nay người ta mới biết lời giải đối với n  15. Sau đây là lời giải với n = 12.

  14. NGUYÊN LÝ DIRICHLET Nguyên lý Dirichlet (nguyên lý chuồng chim): Nếu xếp nhiều hơn n đối tượng vào n chiếc hộp thì tồn tại hộp chứa ít nhất 2 đối tượng. Ví dụ: 1. Trong 367 người bao giờ cũng có ít nhất 2 người trùng ngày sinh nhật, bởi vì trong năm có nhiều nhất 366 ngày.

  15. 2. Trong một kì thi học sinh giỏi, điểm bài thi được dánh giá bởi một số nguyên trong khoảng từ 0 đến 100. Hỏi rằng có ít nhất bao nhiêu thí sinh dự thi để chắc chắn tìm được hai học sinh có kết quả thi như nhau?

  16. Nguyên lý Dirichlet tổng quát Nếu xếp n đối tượng vào k chiếc hộp thì tồn tại hộp chứa không ít hơn n/k đối tượng. Ví dụ: 1. Trong 100 người thì có ít nhất 9 người trùng tháng sinh.

  17. 2. Có 5 loại học bổng khác nhau. Hỏi rằng phải có ít nhất bao nhiêu sinh viên để chắc chắn rằng có ít nhất 6 người cùng nhận học bổng như nhau? Ví dụ: Chứng minh rằng: Trong hội nghị có n người bao giờ cũng có 2 người có số người quen trong số những người tham dự bằng nhau.

  18. HD Gọi ni là số người quen của người thứ i (i = 1, 2,...,n), ni{0, 1, …, n – 1}. Nhưng không thể đồng thời xảy ra có người không quen ai cả và có người quen (n – 1) người còn lại.

  19. Vậy xảy ra một trong hai trường hợp sau: Theo nguyên lý Dirichlet thì có ít nhất 2 người cùng số người quen tức bao giờ cũng có 2 người có cùng số người quen.

  20. Dẫn vào bài toán đếm:Một trong những vấn đề đầu tiên của việc nghiên cứu tổ hợp là đếm xem có bao nhiêu cấu hình tổ hợp có thể được tạo ra với những quy tắc đã nêu? Những bài toán như vậy gọi là bài toán đếm tổ hợp. Dưới đây là một số thí dụ đơn giản nhằm minh họa cho một số kĩ thuật đếm.

  21. 3.2.1 CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN 3.2.2 CÁC CẤU HÌNH TỔ HỢP ĐƠN GiẢN 3.2.3 MỘT SỐ VÍ DỤ ỨNG DỤNG 3.2.4 NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ 3.2 BÀI TOÁN ĐẾM

  22. 3.2.1 MỘT SỐ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN a. Nguyên lí cộng: - Nếu A và B là hai tập rời nhau (AB = ) thì - Nếu A1, A2, …Ak là k tập đôi một rời nhau thì

  23. Chú ý: Nguyên lí cộng còn được phát biểu như sau: Một công việc được thực hiện theo k phương án độc lập, trong đó: + Phương án 1: có m1 cách thực hiện + Phương án 2: có m2 cách thực hiện …………………………………… + Phương án k: có mk cách thực hiện Tổng số cách thực hiện công việc là: m1 + m2 + …+mk

  24. b. Nguyên lí nhân: Một công việc được chia làm k bước thực hiện, bước thứ i có ni cách thực hiện, i=1, 2, …, k Khi đó số cách thực hiện công việc: n1n2 …nk (cách)

  25. Ví dụ 1: Một nhà hàng có thực đơn sau: • Khai vị: • Salad 2. Súp • Món ăn chính: • Thịt bò 2. Thịt lợn 3. Cá • Đồ uống: • Trà 2. Sữa 3. Bia 4. Coca Có bao nhiêu cách chọn bữa ăn gồm: 1 món khai vị, 1 món chính và 1 loại đồ uống?

  26. Ví dụ 2: • Cho 5 kí tự A, B, C, D, E • Có bao nhiêu xâu kí tự có độ dài 4 có thể lập được từ các kí tự đã cho nhưng không lặp kí tự. • Có bao nhiêu xâu kí tự trong (a) bắt đầu từ B. • Có bao nhiêu xâu kí tự trong (a) không bắt đầu từ B.

  27. HD: Gọi xâu s = abcd a) a có 5 cách chọn, b có 4 cách, c có 3 cách, d có 2 cách Theo nguyên lý nhân số xâu chữ là: 5.4.3.2 = 120 b) Số xâu chữ bắt đầu từ B: 4.3.2 = 24 c) Số xâu chữ không bắt đầu từ B: 120 – 24 = 96

  28. Ví dụ 3: a- Đếm các xâu nhị phân có kích thước 1 byte. b-Đếm các xâu nhị phân có kích thước 1 byte có hai bit đầu 10 hoặc 01

  29. HD: a- 1byte = 8 bit, mỗi bit có 2 cách chọn (0 hoặc 1). Theo nguyên lí nhân có: 28 = 256 số 1 byte b- Bắt đầu bằng 10 có 26 = 64 số - Bắt đầu bằng 01 có 26 = 64 số Vậy có 64 + 64 =128 số 1 byte bắt đầu bằng 10 hoặc 01

  30. Dẫn dắt: Các khái niệm về Hoán vị, chỉnh hợp và chỉnh hợp lặp đã được học ở Cấp 3. Tuy nhiên như đã giới thiệu Lý thuyết tổ hợp ứng dụng rất nhiều trong các lĩnh vực và mỗi lĩnh vực có một đặc trưng riêng. Vì vậy ta tìm hiểu xem các ứng dụng của nó trong bài toán đếm của toán Rời rạc như thế nào Phần các cấu hình tổ hợp đơn giản, tôi giới thiệu 4 cấu hình là: …

  31. 3.2.2 CÁC CẤU HÌNH TỔ HỢP ĐƠN GIẢN a. Hoán vị * Một hoán vị của n phần tử là một cách sắp xếp thứ tự n phần tử đó. * Số các hoán vị của n phần tử: n! Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách xếp 3 người Việt, 5 người Pháp và 6 người Mỹ ngồi một ghế dài sao cho người cùng quốc tịch ngồi cạnh nhau?

  32. b. Chỉnh hợp lặp * Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một bộ có thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã cho, các phần tử có thể được lặp lại. * Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: Ví dụ 5: Có bao nhiêu số hàng trăm được thiết lập từ các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5?

  33. c. Chỉnh hợp (không lặp) * Một chỉnh hợp chập k của n phần tử là một bộ có thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã cho, các phần tử không được lặp lại. * Số các chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử:

  34. Ví dụ 6: Có bao nhiêu số hàng trăm với 3 chữ số khác nhau được thiết lập từ các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5?

  35. d. Tổ hợp * Một tổ hợp chập k của tập X gồm n phần tử là một tập con có k phần tử của X. * Số các tổ hợp chập k của n phần tử:

  36. Ví dụ 7: a. Có n đội thi đấu vòng tròn. Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu? b. Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài 32 mà trong đó có đúng 6 số 1? HD: a. Số trận đấu: (*thi đấu vòng tròn: cư 2 đội gặp nhau 1 trận*) b. Số xâu nhị phân:

  37. 3.2.3 MỘT SỐ VÍ DỤ ỨNG DỤNG a. Bài toán đếm cách xếp chỗ Ví dụ 8: a. Có bao nhiêu hoán vị của các chữ cái trong xâu ABCDEF mà trong đó có chứa xâu con DEF? b. Có bao nhiêu hoán vị của các chữ cái trong xâu ABCDEF mà trong đó 3 chữ các D, E, F đứng cạnh nhau?

  38. HD: a) Số các hoán vị: 4! = 120 b) Số các hoán vị: 4!3! = 144 (*a. Xem xâu con DEF là một vị trí*) b. Có 3! Cách xếp D, E, F gần nhau, 4! Hoán vị

  39. Ví dụ 9: Một nhóm sinh viên có 7 nam và 5 nữ xếp thành hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp hàng để không có 2 nữ nào đứng cạnh nhau? (*Cho sv đề xuất cách giải, nếu ko được gọi 2 sinh lên ghi 2 cách xếp sau cho 2 nữ không đứng cạnh nhau*=> tổng quát cách giải.*)

  40. HD Mỗi cách xếp hàng tương ứng với một hoán vị của 7 (SV nam A1, A2, …, A7) và một chỉnh hợp chập 5 (SV nữ) của 8 (khoảng trống kí hiệu bằng dấu gạch ngang): _A1_A2_A3_A4_A5_A6_A7_ Vậy số cách xếp hàng:

  41. Ví dụ 10: Có bao nhiêu cách xếp k bít 0 và m bít 1 (k  m) trên hàng ngang sao cho không có 2 bit 0 kề nhau? (*Từ bài trên thay 7 sv nam bởi 7 bit 1 và 5 sv nữ bởi 5 bit 0=>đề xuất cách giải(bít 1 ko phân biệt thứ tự)*)

  42. b. Bài toán đếm số đường đi Ví dụ 11: Cho lưới hình chữ nhật gồm mxn ô vuông (xem hình vẽ) (n, m) (0, m) (0, 0) (n, 0)

  43. Có bao nhiêu cách đi từ nút (0, 0) đến (n, m) nếu chỉ cho phép đi trên cạnh các ô vuông theo chiều sang phải hoặc lên trên? HD: Mỗi đường đi như thế gồm (m + n) cạnh (trong đó có m cạnh lên trên và n cạnh sang phải) Mỗi đoạn đi lên ta mã là 1, sang phải ta mã là 0

  44. Bài toán dẫn về việc đếm xem có bao nhiêu dãy nhị phân có độ dài m + n trong đó có đúng m thành phần bằng 1. Có dãy như vậy. Vậy số cách đi thỏa yêu cầu đề bài:

  45. 3.2.4 NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ - Cho A và B là hai tập bất kì thì - A, B, C là 3 tập bất kì thì

  46. Ví dụ 12: Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài 10 hoặc bắt đầu bởi 00 hoặc kết thúc bởi 11?

  47. HD: •  Số xâu nhị phân có độ dài 10 bắt đầu bởi 00 là: 28 = 256, và kết thúc bởi 11 là 28 = 256. • Số xâu bắt đầu bằng 00 và kết thúc bởi 11 là: 26 = 64 Vậy số xâu hoặc bắt đầu bởi 00 hoặc kết thúc bởi 11 là: 256 + 256 – 64 = 448

  48. BÀI TẬP • Một hội đồng có 6 người: A, B, C, D, E, F. Cần chọn 1 chủ tịch, 1 thư kí và 1 thủ quỹ. • a. Có bao nhiêu cách chọn? • b. Có bao nhiêu cách chọn mà E giữ 1 trong các chức vụ trên? • c. Có bao nhiêu cách chọn mà cả D và E đều giữ chức vụ?

  49. 2. Có bao nhiêu cách xếp các chữ cái A, B, C, D, E, F sao cho A, B không đứng kề nhau? 3. Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài 10 hoặc là bắt đầu bởi 3 số 1, hoặc kết thúc bởi 4 số 0? 4. Cho tập X = {1; 2; …; 10000}. Hỏi trong tập X có bao nhiêu số không chia hết cho bất cứ số nào trong các số 3, 4, 7?

More Related