二面角 (2)

二面角 (2) 师院附中宗来红

复习 α ι 二面角 α ι β β p β p α ι β ι β p α P B γ α A 二面角 ι 2、求二面角的平面角方法一、二面角的定义从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角二、二面角的平面角 1、定义 —定义法 ①点P在棱上 —三垂线定理法 ②点P在一个半平面上 —垂面法 ③点P在二面角内 B A B A B O A

α M P O A B N β C ∴CO=a，DO=a，PC a ，PD a ∴CD=PC a O P 例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在α、β内引射线PM、PN，且∠MPN=60º∠BPM=∠BPN=45º，求此二面角的度数。解：在PB上取不同于P 的一点O， C 在α内过O作OC⊥AB交PM于C，在β内作OD⊥AB交PN于D，连CD，可得 D ∠COD是二面角α-AB-β的平面角设PO = a，∵∠BPM =∠BPN = 45º 又∵∠MPN=60º a ∴∠COD=90º 因此，二面角的度数为90º

P B β α A ι 由余弦定理得例2．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。解：过PA、PB的平面PAB与棱ι交于O点 ∵PA⊥α ∴PA⊥ι ∵PB⊥β ∴PB⊥ι O ∴ι⊥平面PAB ∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=7 ∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º ∴这二面角的度数为120º

例3．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。例3．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。 P ∴OE∥BC且OE BC E B 在Rt△PBE中，BE ，PB=1，PE A P O C 在Rt△POE中， OE ，PO ∴ O E ∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为解：取AB 的中点为E，连PE，OE ∵O为 AC 中点， ∠ABC=90º OE⊥AB ，因此 PE⊥AB ∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角

练习1：已知Rt△ABC在平面α内，斜边AB在30º的二面角α-AB-β的棱上，若AC=5，BC=12，求点C到平面β的距离CO。练习1：已知Rt△ABC在平面α内，斜边AB在30º的二面角α-AB-β的棱上，若AC=5，BC=12，求点C到平面β的距离CO。 B’ 练习2：在平面四边形ABCD中，AB=BC=2，AD=CD= , ∠B=120º；将三角形ABC沿四边形ABCD的对角线AC折起来，使DB′= ，求△AB ′C所在平面与△ADC所在平面所成二面角的平面角的度数。 D α C β C O O A A B B D

思考 A为二面角α– CD –β的棱CD上一点，AB在平面α内且与棱CD成45º角，又AB与平面β成30º，求二面角α– CD – β的大小。 α B C D A β

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