מתמטיקה ב' לכלכלנים

1. מתמטיקה ב' לכלכלנים שיעור 2 – הגדרות קבוצות, גבולות ורציפות פרקטיקה

2. חישוב תחום הגדרה שאלה: איך ניגשים? מצא את תחום ההגדרה של F וצייר אותו.

3. חישוב תחום הגדרה אברי מנה צריכים להיות שונים מ-0 שורשים צריכים להיות גדולים או שווים ל0 ln צריך להיות גדול ממש מ-0

4. חישוב תחום הגדרה Y X

5. קבוצות פתוחות וסגורות זהה האם הקבוצות הבאות פתוחות או סגורות (או לא ולא) מצא את השפה של כל קבוצה וציירו אותן. האם הקבוצה חסומה? השפה Y X לא סגורה ולא פתוחה חסומה

6. קבוצות פתוחות וסגורות זהה האם הקבוצות הבאות פתוחות או סגורות (או לא ולא) מצא את השפה של כל קבוצה וציירו אותן. האם הקבוצה חסומה? השפה Y X קבוצה פתוחה חסומה

7. קבוצות פתוחות וסגורות זהה האם הקבוצות הבאות פתוחות או סגורות (או לא ולא) מצא את השפה של כל קבוצה וציירו אותן. האם הקבוצה חסומה? השפה Y X קבוצה סגורה לא חסומה

8. קבוצות פתוחות וסגורות זהה האם הקבוצות הבאות פתוחות או סגורות (או לא ולא) מצא את השפה של כל קבוצה וציירו אותן. האם הקבוצה חסומה? השפה השפה Y X לא חסומה פתוחה

9. קבוצות פתוחות וסגורות הוכח כי הקבוצה הבאה פתוחה: הרעיון: עלינו לבחור נקודה בקבוצה שאיננו יודעים עליה דבר. עלינו להראות שהיא פנימית. Y X

10. קבוצות פתוחות וסגורות הוכח כי הקבוצה הבאה פתוחה: נחשב את המרחק של הנקודה מקצה הקבוצה. ונמצא סביבה של הנקודה ברדיוס קטן יותר. Y X

11. קבוצות פתוחות וסגורות הוכח כי הקבוצה הבאה פתוחה: איך נחשב את המרחק? אם הנקודה נמצאת בy),(x אז מרחקה מהשפה הוא: { { Y 4 X

12. קבוצות פתוחות וסגורות הוכח כי הקבוצה הבאה פתוחה: הוכחה: תהי (x,y)=a נקודה כלשהי בקבוצה. נסתכל על סביבה ברדיוס מסביב לנקודה. מרחקה של a מ0 הוא ואילו מרחקה של כל נקודה בסביבה מa קטן מ- ולכן מרחקה של כל נקודה בסביבה מ0 קטן מ: ולכן סביבה זו כולה בקבוצה.

13. גבולות בהינתן שהגבול קיים חשב אותו: כיוון שהגבול קיים, נציב מסילה לבחירתנו נקבע ונציב: לופיטל

14. גבולות הוכח כי לפונקציה אין גבול: הרעיון: כדי להוכיח כי אין גבול ננסה להראות כי מסילות שונות נותנות גבולות שונים. לשם כך ננסה לגרום לכך שהאיבר בעל החזקה הנמוכה ביותר במכנה יהיה זהה לאיבר בעל החזקה הנמוכה ביותר במונה, אך יחס המקדמים יהיה שונה בכל פעם.

15. גבולות הוכח כי לפונקציה אין גבול: נציב: שני גבולות שונים במסילות שונות אין גבול!

16. גבולות אבל איך הפונקציה נראית?

17. גבולות עוד על השיטה להוכחת היעדר קיומו של גבול: ניזכר בשיטה לחישוב גבול של מנת פולינומים ב0. ראשית נוציא גורם משותף מינימלי. אחר כך נמחק את הגורמים הזניחים בסוגריים, ונקבל:

18. גבולות עוד על השיטה להוכחת היעדר קיומו של גבול: נסמן בm את מעלת האיבר בעל המעלה הנמוכה ביותר במכנה, ובn את מעלתו של האיבר בעל המעלה הנמוכה ביותר במונה. נסמן xm וxn את מקדמיהם בהתאמה.

19. גבולות אימון קצר: מעלת מכנה = m , מעלת מונה = n , מקדם מכנה = xm, מקדם מונה = xn

20. גבולות שים לב: אסור להציב (t,0) כיוון שמסילה זו כולה מחוץ לתחום ההגדרה! כדי לבחור מסילות מתאימות לחישוב היעדר גבול נרצה לבחור בעיר מסילות מסוג. נוכל להשתמש גם במסילה אחת מסוג. המחשה: והוכחנו כי אין גבול. מעלת מכנה = m , מעלת מונה = n , מקדם מכנה = xm, מקדם מונה = xn

21. גבולות כדי לבחור מסילות מתאימות לחישוב היעדר גבול נרצה לבחור בעיר מסילות מסוג. נוכל להשתמש גם במסילה אחת מסוג. המחשה: והוכחנו כי אין גבול. מעלת מכנה = m , מעלת מונה = n , מקדם מכנה = xm, מקדם מונה = xn

22. גבולות ומה עושים כשכל זה לא מסתדר? בדרך כלל מוציאים 1/t. המחשה: לעולם לא נוכל לגרום למעלת המכנה להיות קטנה ממעלת המונה... והוכחנו כי אין גבול כיוון ש- 1/t חסר גבול.

23. גבולות נתון כי קיימים: הוכח: הרעיון: כדי להוכיח את המשפט ניזכר בהגדרת הגבול. לאחר מכן נשתמש בגבולות הנתונים כדי לבנות את הסביבה הנדרשת. הגדרה: אם לכל 0< קיימת סביבת 0< נקובה של x0 שנסמנה A כך שלכל מתקיים

24. גבולות נתון כי קיימים: הוכח: הוכחה: יהי 0<. נבחר לפי קיום שני הגבולות הנתונים קיימות כך שלכול x בסביבת נקובה של מתקיים: וכן לכל x בסביבת נקובה של מתקיים: ולכן בחרנו חצי בגלל שנצטרך לחבר איבר נוסף... הגדרה: אם לכל 0< קיימת סביבת 0< נקובה של x0 שנסמנה A כך שלכל מתקיים

25. שליטה בנושאי הבסיס – תקל עלינו בהמשך. "כשדלת אחת נסגרת, אחרת נפתחת" -- בוב מארלי