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二、 线性变换的简单性质

§1 酉空间的介绍. 一、 酉空间 定义. 二、酉空间中的重要结论. 二、 线性变换的简单性质. 1) (  ,  ) = (  ,  ) ，这里 (  ,  ) 是 (  ,  ) 的. 一、 酉空间 定义. 欧氏空间是专对实数域上线性空间而讨论的. 酉空间实际就是复数域上的欧氏空间. 定义 1 设 V 是复数域上的线性空间，在 V. 上定义了一个二元复函数，称为内积，记作 (  ,  ),. 它具有以下性质：. 共轭复数；. 2) ( k  ,  ) = k (  ,  ) ;.

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二、 线性变换的简单性质

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  1. §1 酉空间的介绍 一、酉空间定义 二、酉空间中的重要结论 二、 线性变换的简单性质

  2. 1)( , ) = (, ) ，这里 (, ) 是 (, ) 的 一、酉空间定义 欧氏空间是专对实数域上线性空间而讨论的. 酉空间实际就是复数域上的欧氏空间. 定义 1设 V是复数域上的线性空间，在 V 上定义了一个二元复函数，称为内积，记作 ( , ), 它具有以下性质： 共轭复数；

  3. 2)(k , ) = k( , ); 3)( +  ,  ) = ( ,  ) + ( ,  ) ; 4)( , ) 是非负实数，且 ( , ) =0 当且仅当  =0 . 这里 ,  ,  是 V中任意的向量，k为任意复数， 这样的线性空间称为酉空间.

  4. ( , ) = a1 b1 + a2 b2 + … + an bn . (1) 例1在线性空间 Cn中，对向量  = (a1 , a2 , … , an) ,  = (b1 , b2 , … , bn) , 定义内积为 显然，内积 (1) 满足定义 15 中的条件. 这样 Cn 就 成为一个酉空间.

  5. 例2 用C[a,b]表示区间[a,b]上所有连续复值函数组成的线性空间，规定 是C[a,b]上的一个内积，此时 容易验证， C[a,b]成为一个酉空间.

  6. 1) ( , k) = k ( , ) . 二、酉空间中的重要结论 由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似, 有一套平行的理论，因此这儿只简单地列出重要的 结论，而不详细论证. 首先由内积的定义可得到 2) ( ,  +  ) = ( , ) + ( ,  ) .

  7. 与实内积空间类似，酉空间V 中由于有了内积的 概念，从而就有长度、角度、正交、距离等度量概念. 定义2非负实数 叫做向量  的长度， 记为 || . 显然|0|=0，≠0时， ||>0.容易证明：

  8. 定理1 柯西 - 布涅柯夫斯基不等式仍然成立， 即对任意的向量 ,  有 | ( , ) |  |  | |  |， 当且仅当 ,  线性相关时，等号成立. 注意： 酉空间中的内积 ( , ) 一般是复数， 故向量之间不易定义夹角，但我们仍引入

  9. 定义3 酉空间V中，两个非零, 的夹角<, > 规定为 （2） 于是 从（7）式得出， 定义4向量 , ，当 ( , ) = 0 时称为正交或互 相垂直.

  10. 与实内积空间一样，我们可以证明在酉空间中，与实内积空间一样，我们可以证明在酉空间中， 有三角形不等式和勾股定理.我们可以定义两个向 量, 的距离 与实内积空间一样，在酉空间V 中，有正交向 量组的概念，并且可以证明：正交向量组一定线性 无关.从而有正交基、标准正交基的概念，利用施 密特正交化和单位化，可把V 的一个基变成与它等 价的标准正交基.

  11. n 维酉空间V 中，向量组η1,η2,…,ηn是V 的一个 标准正交基当且仅当 利用标准正交基η1,η2,…,ηn，容易计算向量的内 积. 设, 在η1,η2,…,ηn下的坐标分别是  =(x1,x2,…,xn)’, =(y1,y2,…,yn)’, 则

  12. 利用标准正交基，向量的坐标的分量可以用内积利用标准正交基，向量的坐标的分量可以用内积 表达. 设 在标准正交基η1,η2,…,ηn下的坐标是 两边用ηj作内积，得 (x1,x2,…,xn)’,则 因此 （3） （3）式称为 的傅里叶（Fourier）展开，其中每 个系数（ ，ηj）称为 的傅里叶（Fourier）系数.

  13. n维酉空间V 中，向量组η1,η2,…,ηn是V 的一个 标准正交基，向量组1, 2,…, n满足 则i在标准正交基η1,η2,…,ηn下的坐标是P的第 i列Xi, ，于是 1, 2,…, n是V 的一个标准正交基

  14. 定义5 对复数方阵 P，用 P表示以 P的元素 的共轭复数作元素的矩阵. 如 P满足 或 则称之为酉矩阵. 它的行列式的绝对值等于1 .

  15. 两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵. 类似于欧氏空间的正交变换和对称矩阵，可以 它们也分别 引进酉空间的酉变换和埃尔米特矩阵. 具有正交变换和对称矩阵的一些重要性质，我们把 它列举在下面： 1)酉空间 V的线性变换 A，如果满足 (A , A ) = ( ,  )， 就称为 V的一个酉变换. 酉变换在标准正交基下 的矩阵是酉矩阵.

  16. AT = A， 2)如果矩阵 A满足 则叫埃尔米特(Hermite)矩阵. 在酉空间 Cn 中令 (A ,  ) = ( , A )， 则 A 也是对称变换.

  17. C-1AC = CTAC 3)V是酉空间，V1是子空间，V1是 V1的 正交补，则 V = V1 V1 . 又设 V1是对称变换的不变子空间，则 V1 也 是不变子空间. 4)埃尔米特矩阵的特征值为实数. 它的属于 不同特征值的特征向量必正交. 5)若 A是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵 C，使 是对角形矩阵.

  18. 6)设 A是埃尔米特矩阵，二次齐次函数 叫做埃尔米特二次型. 必有酉矩阵 C，当 X=CY 时

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