MOUVEMENTS DE CHUTE VERTICALE

1. MOUVEMENTS DE CHUTE VERTICALE ETUDE ET MODELISATION

2. ETUDE DE MOUVEMENTS DE CHUTES VERTICALES OBJECTIFS : • Étudier la chute verticale à partir d’une vidéo • Faire l’étude dynamique du mouvement • Modéliser le mouvement par deux méthodes numériques (méthode d’Euler, Range Kutta d’ordre 2).

3. I-CHUTE D’UN CORPS

4. 1-PROBLEME POSE • On désire étudier dans un référentiel terrestre, supposé galiléen, le mouvement d’un corps (A) de masse m, constitué d’un matériau de masse volumique rs. A est lâché sans vitesse initiale dans un fluide de masse volumique rl. • On pourra faire varier : • La masse du corps A, • La masse volumique de A, • Le fluide dans lequel on lâche la bille.

5. 1-PROBLEME POSE Comment décrire le mouvement de la bille ?

6. 2-DEMARCHE UTILISEE • On étudie le mouvement de chute d’une bille dans un fluide. • On applique le théorème du centre d’inertie, au système « bille ». • On utilise la méthode d’Euler et Runge-kuttad’ordre 2 pour simuler le mouvement de la bille, et on compare les résultats aux résultats expérimentaux.

7. ETUDE EXPERIMENTALE On étudie le mouvement avec avimeca

8. II – ETUDE DYNAMIQUE

9. THEOREME DU CENTRE D’INERTIE • Référentiel : terrestre supposé galiléen • Système étudié : la bille de masse m • Forces appliquées au système: p Le poids de la bille La poussée d’Archimède ( ) Les forces de frottement visqueux du liquide sur la bille ( ) f P

10. O f P y 2- Modèle n°2 FORCES APPLIQUEES REMARQUE : On travaille maintenant avec un axe orienté vers le bas ce qui permet d’avoir des valeurs positives pour v et y. p

11. O f P y 2- Modèle n°2 FORCES APPLIQUEES • POIDS : • POUSSEE D’ARCHIMEDE : • FORCES DE FROTTEMENT FLUIDE (direction du mouvement, sens opposé au déplacement) : (avec n = 1 ou n=2) p

12. O f P y 2- Modèle n°2 THEOREME DU CENTRE D’INERTIE m a = P + p + f m a = m g - rfV g - m k vn a = g - rfV/m g - k vn Or m = rsV donc a = g - rf/ rs g - k vn a = (1- rf/ rs )g - k vn a = A- B.vn avec A= (1- rf/ rs)g

13. THEOREME DU CENTRE D’INERTIE a = A- B vn • L’accélération de la bille dépend de sa vitesse  l’accélération dépend du temps • On ne résout pas cette équation facilement

14. III- LA METHODE D’EULER PRINCIPE ET MISE EN OEUVRE

15. 1- LA METHODE D’EULER : PRINCIPE • Méthode numérique utilisée pour résoudre pas à pas une équation différentielle à partir des conditions initiales (en mécanique : position et vitesse, en électricité : tension et intensité du courant) • Basée sur les propriétés de la dérivée

16. EULER : MISE EN OEUVRE • On cherche, par exemple à résoudre par cette méthode l’équation différentielle suivante : • Condition initiale : • v(t=0) = vo

17. EULER : MISE EN OEUVRE La définition de la dérivée donne : • Le problème posé est donc le suivant : • On connaît à ti: V(i) • On cherche à ti+1 =ti+h : V(i+1)

18. III-LA METHODE D’EULER 3-Chute d’une bille dans un fluide

19. 3-Chute d’une bille dans un fluide CONDITIONS INITIALES DU MOUVEMENT Lorsqu’on lâche la bille : • Son accélération est a0 = A • Sa vitesse est nulle : V(1) = Vo • La bille est à l’origine du repère donc : y0 = 0

20. 3-Chute d’une bille dans un fluide ITERATIONS Pour i=1:N+1 • V(2)=V(1)+h(A-BV(1)) • V(3)=V(2)+h(A-BV(2)) • ………………………………… • V(N)=V(N-1)+h(A-BV(N-1)) • V(N+1)=V(N)+h(A-BV(N))

21. III-LA METHODE De range-kutta

22. La méthode de runge-kutta consiste à discrétiser l’équation de cette forme: • À • Tel que K1=h*f(V(i))=h ( A-BV(i) • Et K2=h*f( V(i) + hf(v(i)) ) =h( A- B ( V(i) +h (A-BV(i) )

23. Après calcul on aboutit à l’expression suivante : • V(i+1)=V(i)+(h/2)* (A-B*V(i)+A- B*(V(i)+h*(A-B*(i)))) ;

24. 3-Chute d’une bille dans un fluide Programmation sur matlab de l’équation d’euler

26. Résultats trouvé par matlab Comparaison des résultats numérique trouvé avec ceux trouvé analytiquement

28. Conclusion

29. Merci pour votre attention