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Approximate Convex Decomposition of Polygons

Approximate Convex Decomposition of Polygons. Jyh-Ming Lien Nancy M. Amato {neilien, amato}@cs.tamu.edu Parasol Lab.,Department of Computer Science Texas A&M University ACM Symposium on Computational Geometry 2004[32]. 多边形的凸剖分： 利用对角线 剖分为一组凸多边形. 凸剖分的意义： 凸物体更易于操作 很多算法对于凸的物体更加有效

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Approximate Convex Decomposition of Polygons

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Presentation Transcript

  1. Approximate Convex Decomposition of Polygons Jyh-Ming Lien Nancy M. Amato {neilien, amato}@cs.tamu.edu Parasol Lab.,Department of Computer Science Texas A&M University ACM Symposium on Computational Geometry 2004[32]

  2. 多边形的凸剖分： 利用对角线 剖分为一组凸多边形

  3. 凸剖分的意义： 凸物体更易于操作 很多算法对于凸的物体更加有效 应用领域： 计算机图形学 模型识别 Minkoski sum computation Motion planning Origami folding

  4. Nazca monkey

  5. 多边形凸剖分局限性： 计算量大，耗时 剖分结果不理想，分块数太多且不易控制 多边形“近似”凸剖分： 剖分结果：“近似”凸多边形 类似的应用价值 剖分块数显著减小，计算更加有效 改善一些实际应用的结果

  6. 已有工作可归类为： 输入多边形：简单多边形，带洞或不带洞 剖分方法：允许或不允许有Steiner点 输出的剖分结果：最小剖分数目或最短周长 带洞：无论哪种最优条件，都是NP-难 不带洞：最小剖分数目：不允许Steiner点时 允许时 最短周长：不允许Steiner点时 允许时 ：尚未有最优解 无最优要求时： 本文结果：

  7. 本文的工作： 对任意的简单多边形，带洞或不带洞 提供一个机制，关注于关键特征进行处理 给出不同近似水平上的近似凸剖分系列表示

  8. 一些定义： concave(P)： notch-----凹顶点 bridge------- pocket------

  9. 算法 Approx_CD(P, ) 输入：多边形P,凹度容差 输出： c=concave (P) if c.value< return P else { }=Resolve(P, c.witness). for i=1,2 do Approx_CD( ， ).

  10. Resolve (P, r )： 在凹顶点r处添加对角线使之不再凹。 r在外边界上时， 取r处的角平分线； r在洞的边界上时， 取外边界上离r最近的顶点， 连线

  11. 度量凹度： 面积比 曲率

  12. 度量外边界的凹度： SL_Concavity: 直线距离 经剖分后凹度可能会增加 不能很好反映凹度

  13. SL_Concavity: 对于由pocket 和bridge 构成的简单多边形 ， 对 上每个顶点x都找一条到边 的完全在 中的最 短路径 ，它的长度即为x的凹度。

  14. 把多边形 分为三部分 、 、 。 对于 和 ，最短路径可在 和 处的visibility tree中找到， 对于 ，可把其顶点分为两类 、 。 中顶点的最短路径必然过 中的顶点。

  15. 算法SP_Concavity( , ) 把多边形 分为三部分 、 、 。 分别以 和 为根对 中顶点构造visibility tree 和 。 ，在 ( )中计算最短路径 。 由 和 计算 中的一个有序点集 。 for ,do for i<k<j do 。 return {x , c} ,其中x是具有到 最远距离c的 中顶点。

  16. 算法复杂度O (n)。 多边形的凹度随剖分单调递减。

  17. Hybrid Concavity( H-Concavity) SL_concavity: 简单，计算容易 SP_concavity: 更加有效，且随剖分单调递减 考虑一个混合模式，兼具它们的优点。

  18. 算法H1-Concavity( , ) if , s.t. then return SL-concavity and its witness. else return SP-concavity and its witness. 算法H2-concavity( , ) 1. SL-concavity and its witness {x , c}. 2. if then return {x , c}. 3. if , s.t. then return {x , c}. 4. return SP-concavity and its witness.

  19. 洞的凹度 精确求解p、cw(p)的复杂度 近似求解：中轴线法( medial axis) 主轴线法(principal axis)

  20. 中轴线法对应于SP_concavity 主轴线法对应于SL_concavity 对于每个洞 ，找到一对 和 ,以及离 最近的顶点x, 连接 。

  21. 总体算法的复杂度： 设多边形P具有n个顶点，r个凹顶点，k个洞，则P的近似 分解的时间为O(nr). 证： 求凸包，bridge, pocket都是O(n). 度量凹度， 求凹度最大点是O(n)（SL,SP,H1,H2). resolve子程序也是O(n)，所以每轮循环是O(n). 由于每剖分一次，最多产生三个新顶点，设最终分解为m块， 则循环次数为m-1,总的时间为：

  22. 有洞时，度量凹度需要O(n)时间，添加对角线需要O(n)时间，有洞时，度量凹度需要O(n)时间，添加对角线需要O(n)时间， 每次处理一个洞最多产生3个新顶点，所以类似于前面，它需要 时间。 总的剖分时间为 由于m<=r+1, k<r,r<n,

  23. 谢谢大家!

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