Misteriosul număr Pi

1. Misteriosul număr Pi Eleva: Opriș Roxana Clasa a X-a GrupulScolar de IndustrieUsoaraCisnadie Profesorcoordonator: RotaruFlorentina

2. Ce e cu numărul pi ? Matematicieniinoteazăraportuldintrecircumferintaunuicercsidiametrulsauprinliteragreceasca PI care reprezintainitialacuvintelor din aceeasilimba “perimetros” (perimetru) si “periferia” (periferie) , folosite de Arhimede in lucrareasadesprecerc. Dar nu intotdeaunamatematicienii au intrebuintatlitera PI pentru a reprezentaraportuldintrecircumferintasidiametrulcercului. El a fostintrodusabia in secolul al XVIII-lea, siatunci nu de catretotimatematicienii ,care pentru a marcaacestraportfoloseaulitera “p” . Literagreceasca PI a fostfolosita in geometriepentru prima data de Isaac Barrow (1630-1677) in lucrarea “Lectiitinute in scoalapublica a Academiei din Cambridge” de W. Oughtred in “Matematicarecreativa”, pentru a nota insalungimeacercului. Abiaspresfarsitulsecolului al XVII-lea, candrapoartele au fost assimilate cu numerele, a inceputsa fie folosit PI in sensul de astazi. Celdintii mathematician care l-a folositpe PI pentru a-l nota pe 3,14… a fost W. Jones (1675-1749), in anul 1706, apoiCristianGoldbach (1690-1764), in anul 1742. Celebrulmatematicienelvetian Leonhard Euler (1707-1783), membru al Academiei de Stiinte din Petersburg, maiintrebuintaprin 1734 litera “p” pentru a nota raportuldintrelungimeacerculuisidiametrulsau,apoicativaanimaitarziulitera “c”, pentru ca in lucrarea “Introducere in analizainfinitilor”, publicata in 1748, saadopte definitive literagreceasca PI, si, datoritalui, acestsimbol a intrat definitive in uzul general al matematicienilor.

3. Pi, vechi de mii de ani Noi cunoaștem azi drept valoare pentru Pi numărul 3,141.592.653…, dar , în decursul istoriei , valoarea lui nu a fost întotdeauna aceeași , ci a variat față de acest număr, în funcție de epocă, zona geograficăși popoare. Vechile valori ale lui Pi au fost calculate empiric, mai mult deduse pe cale de încercări. Astfel, se lua pur și simplu o sfoarăși se înconjura cu ea un cilindru, după care se măsurau lungimea ei și diametrul cercului. Ceea ce ieșea din aceastăîmpărțire era valoarea lui Pi, deși în aceea vreme , așa cum am arătat, acest raport nu se nota cu această literă. Cea mai veche valoare a raportului dintre circumferința cercului și diametrul sau a dat-o scribal egiptean Ahmes în jurul anului 1.800 î. Chr. , în “Manualul lui Ahmes”, aflat pe papirusul Rhind . Ea este de 3,1604, mai mare decât valoarea reală cu aproximativ 0,0188, rezultat care este însă mult mai apropiat de valoarea sa reală față de rezultatul obținut mai târziu de Arhimede.

4. Pi-ul la egipteni,evrei,grecisiromani Egipteniimai obțineauvaloarealui Pi folosindraportuldintreperimetrul pătratului de la bazapiramideiluiKeopssidublulînălțimiiacestui monument, rezultatulfiind de 3,1415982. Încă din antichitate, matematicienii au încercat să rezolve așa-numita problemă a cvadraturiicercului, adică săcontruiască un patrat care săaibă aria egală cu a unuicercdat, folosindnumaicompasulșirigla, darpentruaceasta le trebuiavaloarea exactă a lui Pi. Prindescifrareaunortabelescrisepe tăblițe de lut, descoperite in 1950, de M. Bruius, la Susa, în Iran, rezultă că, înurmă cu 2.000 de aniî. Chr. , Babilonieniicalculaserăpentru Pi valoareade 3,125, cu 0,0166 maimică decâtvaloarea reală. La vechiicaldeeni,valoarealui Pi era egală cu 3, pentru căeiconsiderau cărazacercului se poateînscrie de 6 oripe circumferința cercului. Evrei, care au avutrelații culturaleșipoliticefoartestrânse cu asiro-caldeenii.Îl consideraupe Pi egal tot cu 3. În “Biblie” se relatează căîn templulluiSolomon,ridicatîn secolul al XI-lea î. Chr, era un mare bazin de aramă, “de formă rotundă,având zece coți de la o margine la altași o linie de 30 de coțiîimasuracircumferinta”. Din descriereaacestuibazi, făcut de arhitectul Hiram de Tyr, la cererealui Solomon, rezultă că Pi era egal cu 3,așa cum rezultăși din “Talmud”, o culegere de tradiții rabiniceposterioare “Bibliei”, în 3 care se afirmă că “ceeace are un înconjur de treipalme e lat de o palmă”. Aceeașivaloare de3 o dășichinezulCeu-peiîn lucrareasa “CarteaSfântă a socotitului”,apărutăîn secolul III î.Chr.

5. Prinsecolele VIII-VII î. Chr. , geometriigreciaveaudouaideifundamentaleîn legătură cu cvadraturacercului: prima – căcercul se poateasimila cu un poligonregulat cu un număr înfinit de laturiși, a doua – că aria cerculuiestecuprinsăîntrecea a unuipoligonregulatînscrisșice-a a unuipoligonregulatcircumscris,avândacelași număr infinit de laturi. Eicredeau căproblemacvadraturiicercului se poaterezolvaprinmetodăgramică, adicăprintrasarea unorcurbemai complicate decât cercul. Printregreci care au căutat să rezolvecvadraturacerculuișisăaflevaloarealui Pi se număraHipocrat din Chios (secolul V i. Chr.) , care s-a folosit de arilelimitate de douaarce de cercavândaceleașiextremitătiși a cărorconvexitatesunt situate de aceeași parte, figura geometrică planănumită “lunula”. Dinostrat (sec. IV. î. Chr.), fostulelev a luiPlaton, s-a folosit de o curbăajutătoare,cunoscutăaziîn geometrie de “cvadricealuiDinostrat”, iarArhimede din Siracuza (287-212 î. Chr.), în lucrareasa “Despremasurareacercului”, a găsit valoarealui Pi ca fiindcuprinsăîntre 3,141606 și 3,141590, valoareaceamaiapropiată de cea realăfiind 3,1416, care esteșiastăzifolosită de cătrematematicieni. Valoriapropiate de celeobținute de Arhimede au găsit șiClaudiuPtolomeuși Heron din Alexandria. Cel dintîigrec care a popularizatproblemacvadraturiicercului,ridiculizând-o, a fostscriitorulAristofan (sex V. î. Char.),în comediasa“Păsările”. În general romanii au folositpentru Pi valoareadată de Arhimede, în schimbindieniifoloseaupentruraportuldintrelungimeacerculuișidiametruluisauvaloarea de 3,0625. La începutulEvuluiMediu, matematicianularabMahomedben Musa (sec IX), în lucrareasa “Algebra”, dădeapentru Pi aceeașivaloare ca șiArhimede , afirmând că “Procedeulcelmai bun estesaînmulțimdiametrul cu 3 1/7. Acestaestemijloculcelmai rapid șicelmai ușor. Mai multștie Dumnezeu!” . În secolul VI d. Chr. , renumitulmatematicianindian Aria-Bahata a datpentru Pi valoarea de 3,1416, plecând de la un hexagon înscrisîntr-un cerc, căruiai-a dublatsuccesivlaturile până la un poligon cu 384 de laturi. Apoi, considerând căperimetrulunuipoligon cu un număr de laturi se apropie de lungimeacircumferințeiîn care se înscrieacelpoligon, a calculatacestperimetru, pe care l-a împărțit apoi la diametrul său.

6. Un rezultatsurprinzator de exact Un alt matematicianindian, Bhaskaraînteleptul, care a trăit în secolul al XII-lea, a datpentru Pi valoarea de 3,1416, folosindacelașiprocedeu de calculaplicat de Arhimede. Mareleînvățat uzbecDjemsid-benMasuded-Din al-Casi, care a trăit în jurulanului 1400,primul director al observatorului astronomic de lângă Samarkand, a scris o carte intitulată “învățăturadesprecerc” în care a calculatraportuldintrelungimeacircumferițeișirazaservindu-se de un poligonregulat cu 800.335.168 de laturi, obținândpentru Pi urmatoareavaloare, cu 16 zecimale, 3,141.592.653.589.793.2… rezultatsurprinzător de exact. MatematicianulolandezLudolph van Keulen (1540-1610) din Leyda, a obținut, in 1596, valoarealui Pi cu 35 de zecimale, număr care a fostagravatpe mormântullui,germaniinumindșiastăzisimbolul Pi număr ludolphian.

7. Controversele numărului Pi În Europa medievală,problema cvadraturii cercului i-a preocupat mai puțin pe matematicieni,acest lucru fiind prezentat ca având ceva mistic, ca un fel de piatră filosofală a matematicienilor , cel care ar fi putut rezolva această problema ar fi putut sa înțeleagă o mulțime de lucruri tainice despre lume și viață. În timpul Renașterii,unii matematicieni au încercat să-I combată pe vechii greci,care au susținut că această problemă a cvadraturii cercului nu s-ar putea rezolva , deși toată lumea știe că nici una din valorile date lui Pi nu este exactă, din moment ce ele se bazează pe perimetrele unor poligoane, și nu pe circumferința certului. Lipsa soluției la această problemă a făcut ca orice acțiune de orice natură, grea și încurcantă, căreia nu i se întrevedea o soluție să fie numită în literatură, ca fiind o adevarată cvadratura a cercului.

8. Controversele numărului Pi Matematicianul și astronomul olandez Cristiaan Huygens (1629-1695) a publicat in 1651 lucrarea “Teoreme asupra cvadraturii hiperbolei, elipsei și cercului din datele proporțiilor centrului de greutate”, iar în 1654 “Despre aflarea marimii cercului”, în care, folosind aceeași metodă a perimetrelor, a determinat valoarea lui Pi, el fiind ultimul care a mai folosit metoda perimetrelor pentru determinarea valorii Pi. După el, matematicienii nu au mai folosit metode geometrice, ci analitice pentru aflarea valorii Pi, așa cum a facut matematicianul francez Francois Viete (1540-1603), care, în anul 1593, a scos lucrarea “Opt cărți despre raspunsuri la diferite probleme”, în care a demonstrat că raportul dintre aria pătratului înscris în cerc și aria cercului se poate exprima printr-un produs cu un număr infinit de factori.

9. Controversele numărului Pi Matematicianul și filosoful englez Thomas Hobbes (1588-1679) a încercat să rezolve problema cvadraturii cercului, dar după mulți ani de muncă rezultatul la care a ajuns a fost total eronat,lucru demonstrat de distinstul matematician englez John Wallis (1616-1703), care a polemizat cu Hobbes o perioadă de timp, demonstrându-i că s-a înșelat. În cele din urma, Hobbes i-a scris lui Wallis : “Sau eu singur sînt nebun, sau ei toți (profesorii de matematică) și-au pierdut mințile; nu văd o părere de mijloc – doar dacă nu va veni altcineva care să spună că toți am înnebunit”. Wallis i-a dat replica,scriindu-i: “Afirmația d-lui Hobbes nu poate fi combătută. Pentru că daca el ar fi nebun,ar fi extrem de improbabil să fie convins prin rațiune de acest lucru; pe de altaparte, dacă noi toți am fi cei nebuni, n-am avea calificarea necesară pentru a încerca să o facem”. Duelul verbal dintre ei a continuat până la moartea lui Hobbes, la vârsta de 91 de ani. În unul din ultimele sale atacuri,Hobbes scria despre afirmațile lui Wallis: “Tot ce ați spus până acum este eroare și răutate; astfel spus,, vânt rău mirositor, asemenea celui lansat de o mirtoagă cu burta prea plină atunci când este înseuată”. Despre Hobbes s-a spus că reprezintă cazul clasic al omului de geniu care se aventurează într-o ramură a științei pentru care nu era bine pregătit și care și-a cheltuit cea mai mare parte din energia sa creatoare în tot felul de absurdității pseudoștiințifice.

10. Calcululzecimalelornumarului Pi În secolul al XVIII-lea, Johann Lambert (1728-1777) a reușit săsoluționezeuna din problemele legate de numărul Pi, arătând căaceastaeste un număr irațional,sau, cu altecuvinte, că el nu se poateexprima sub forma unui număr zecimalfinitși cănici nu are vreungrup de zecimale care să se repete, adică săpoatăfiscris sub formă de fracțiezecimală periodică. Mai târziu in 1882, matematicianulgerman Ferdinand Lindemann (1852-1939) a demostrat căproblema găsiriicvadraturiicercului nu poatefirezolvată, pentru Pi face parte din clasanumerelortrascendente, care nu pot fi rădăcini ale unorecuații algebrice cu coeficiențiîntregi. Ori, pentru a construi o linie cu riglașicompasultrebuie ca lungimea respectiveilinii să fie rădăcinauneiecuații algebrice cu coeficiențiîntregi. Din moment ce Pi este transcendent, el nu poatefi o astfel de rădăcinăși, căatare, găsireacvadraturiicerculuiesteimposibilă. La sfârșitulsecolului al XIX-lea, numeroșimatematicieni au căutat săcalculeze, cu creionulși hârtiaîn față, cât maimultezecimalepentru Pi. Celmaineobosit calculator s-a doveditmatematicianulenglez William Shanks, care, de-a lungul a peste 20 de ani, a reușit săcalculeze 707 zecimale, numai că, dupăinventareacalculatorului, în 1945, s-a constatat că Shanks greșisece-a de-a 528-a zecimală, iartoatecelelante care urmaueraușiele,evident,eronate. În anul 1945,folosindu-se calculatorul ENIAC, s-au obținut nu maipuțin de 2.000 de zecimale, în numai 70 de ore. Mai târziu, un alt calculator, maiperformant, a obținut 3.000 de zecimaleîn numai 13 minute ! în 1959, cu ajutorulunorcalculatoarefrancezeșiengleze s-a ajuns la performanța de 10.000 de zecimale, iar la 29 iulie 1961, un calculator IMB 7090 Data Center, din New York, a calculatpentru Pi 100.265 de zecimale, după 8 ore și 1 minut, și dupăalte 42 de minute pentru a transformarezultatulbinar in formăzecimală.

11. Enigma numărului Pi Din revista “Science et Vie” aflăm că la centrul de calcul al Universității din Tokyo, cercetătoruljaponezYasumaraKanada a lucrat la 1024 de microprocesoaremontateîn paralel, timp de 10 ore, pentru a-l cunoaștemaibinepe Pi. La sfarșitulacestuiefortdeosebit, matematicianul a aflatpentru Pi 51 de miliarde de zecimale, fără să găsească o anumităregulămatematicăîn însușireaacestorcifre, deși existășigrupe de cifre care se repetă, astfelfiindgrupuri de 7777 șichiar un neașteptat 999999, darelesunt total întâmplătoare. Scriinddesprefaptul căastăzicalculatoarele potobținepentru Pi câtevamii de zecimaleîn mod obișnuit, Philip j. Davis scrieîn carteasa “Legendelenumeroaselor mări “, ca o asemenea operație a devenit un fel de “gărgară cu ajutorul căreiamașinile de calculîș curăță gâtul”.

12. Poezii dedicate lui Pi! Pentrumemorareamaifacilă a cat maimultorzecimale ale numărului Pi s-au înlocuit, in diferitelimbi, tot felul de fraze,zicale,poezioare etc. ușor de memoratși care dau, prin numărul de litere ale cuvintelor, luateîn ordine,cifrelezecimale respective. În LimbaRomânăpropoziția “Așa e ușor a scrierenumitulșiutilul număr” davaloarealui Pi cu 8 zecimale, în germanăeste un catren care dă 23 zecimale, iar in limbafranceză, 4 versuri alexandrine dauprimele 30 de zecimale ale numarului Pi. Acestaesteaproaperecordulabsolut, pentru cămaideparte nu se maipoatedeoarece a 32-a zecimala e…. zero! În LimbaRomânăperformanța este de 25 de zecimale, dată de urmatoareledouapoezii: Deșiestestudiat de maibine de 5.000 de ani, niciastăzi numărul Pi nu estecunoscutîndeajuns, el continuînd să fie un număr ciudat,careiși păstreazătaineleșipoate să ne rezerveîncamultesurprize. 1. “Dar o știm, e număr important cetrebuieiubit Din toatenumerele inseminate diamante neasemuit, Ceicevortemeinicastapreui Eiveșnicbinevortrăi” 2. “Sus e luna; O zeițăfermecată, Ca nebuna Peste ape trece supărată. Cânteceletoamneiparfumate Mor de dor; Legănate ușor Visuri de iubire Sprecerzbor”

13. Bibliografie • http://www.almeea.com/misteriosul-numar-pi/ • Istoria Matematicii de N. Mihăileanu • Istoria matematicii de Descartes până la mijlocul secolului al XIX-lea – H. Wieleitner.