Bryły

1. Bryły Pola powierzchni i objętości Wykonywanie obliczeń z wykorzystaniem kalkulatora

2. Bryły – sposób pracy z prezentacją • Zestaw zadań zbiera różnorodne zadania dotyczące pól powierzchni i objętości brył. • Po podaniu treści zadania postaraj się rozwiązać je samodzielnie. • Gdy pojawią się problemy – skorzystaj z podpowiedzi na następnym slajdzie. • Pod koniec możesz sprawdzić poprawność swoich rozwiązań.

3. Zadanie 1 • Oblicz pole powierzchni przekroju kuli o promieniu 2cm.

4. Zadanie 1 -wskazówki • Wybierz odpowiedni wzór P=4πr2 P=πr2 V=4/3πr3 • Podstaw liczbę i wykonaj obliczenia • Podaj jednostkę • Zapisz odpowiedź

5. Zadanie 2 • Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 36cm.Oblicz objętość tego sześcianu.

6. Zadanie 2 -wskazówki • Ile krawędzi ma sześcian? • Jaką mają długość? Oblicz • Wybierz odpowiedni wzór na objętość sześcianu. P=6a2 V=a3 V=a2H • Podstaw liczbę i wykonaj obliczenia • Podaj jednostkę i zapisz odpowiedź

7. Zadanie 3 • Stożek ma wysokość 4cm, a promień jego podstawy jest równy 2 cm. Oblicz pole przekroju osiowego tego stożka.

8. Zadanie 3 -wskazówki • Wybierz szkic bryły • Wybierz odpowiedni wzór P=πr2+πrl V=1/3πr2HP=1/2aH • Podstaw liczby i wykonaj obliczenia • Podaj jednostkę • Zapisz odpowiedź

9. Zadanie 4 • Ile wody pomieści basen? 25m 1m 3m 12m

10. Zadanie 4 -wskazówki • Jaką figurą jest podstawa? • Wybierz odpowiedni wzór P=abH V=1/2(a+b)hHP=(ab+cd)H • Podstaw liczby i wykonaj obliczenia • Podaj jednostkę • Zamień na litry • Zapisz odpowiedź

11. Zadanie 5 • Z kostki sześciennej wycięto walec, którego podstawa jest kołem wpisanym w ścianę. Jakim procentem objętości sześcianu jest objetość wyciętego walca? Krawędź sześcianu ma długość 14cm.

12. Zadanie 5 -wskazówki • Wybierz wzór i oblicz objętość sześcianu P=abH V=1/2(a+b)hHP=(ab+cd)H • Jaki jest promień podstawy walca? • Wybierz wzór i oblicz objętość sześcianu • Ułóż proporcję • Wykonaj obliczenia (zamień na procenty) • Zapisz odpowiedź

13. Zadanie 6 • Po rozwinięciu na płaszczyznę powierzchni bocznej stożka otrzymamy ćwiartkę koła o promieniu 12cm. Oblicz objętość tego stożka.

14. Zadanie 6 -wskazówki • Naszkicuj ćwiartkę koła, powstały stożek i zaznacz równe boki (r, R, l, H) • Pole ćwiartki koła jest polem powierzchni bocznej stożka • Wybierz i zastosuj odpowiednie wzory P=πr2 V=1/3πr2HP= πrl • Oblicz promień podstawy • Oblicz objętość, podaj jednostkę i odpowiedź

15. Zadanie 7 • Prostokąt o polu 108, w którym stosunek długości boków jest równy 1:3, obraca się dookoła prostej równoległej do jego krótszego boku i odległej od niego o 3. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej otrzymanej bryły.

16. Zadanie 7 -wskazówki • Oblicz długości boków prostokąta • Ustal długości dłuższego i krótszego promienia • Przeanalizuj z czego składa się pole powierzchni bryły i wykonaj obliczenia • Przeanalizuj jak obliczyć objętość bryły i oblicz ją (jednostki) • Sformułuj odpowiedź

17. Zadanie 8 • Prostokąt o wymiarach 10cm x 4cm obraca się wokół krótszego boku. Jaki jest promień podstawy walca powstałego w wyniku tego obrotu?

18. Zadanie 8 -wskazówki • Naszkicuj prostokąt i opisaną oś obrotu • Dorysuj powstałą bryłę • Ustal który bok prostokąta staje się promieniem, a który wysokością • Sformułuj odpowiedź

19. Zadanie 9 • Oblicz pole powierzchni kuli o promieniu 2cm.

20. Zadanie 9 -wskazówki • Wybierz odpowiedni wzór P=4πr2 V=4/3πr2 V=4/3πr3 • Podstaw liczbę i wykonaj obliczenia • Podaj jednostkę • Zapisz odpowiedź

21. Zadanie 10 • Oblicz pole przekroju osiowego stożka o średnicy podstawy 6cm i wysokości 10cm.

22. Zadanie 10 -wskazówki • Wybierz szkic bryły • Ustal dane • Wybierz odpowiedni wzór P=πr2+πrl V=1/3πr2HP=1/3aH • Podstaw liczby i wykonaj obliczenia • Podaj jednostkę i zapisz odpowiedź

23. Zadanie 11 • Oblicz wysokość słupa w kształcie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o objętości 2 cm3, jeżeli krawędź podstawy ma długość 0,5m.

24. Zadanie 11 -wskazówki • Wybierz szkic bryły • Ustal dane • Wybierz odpowiedni wzór P=2a2+4aH V=a2HH=1/2a3 • Podstaw liczby i wykonaj obliczenia • Podaj jednostkę i zapisz odpowiedź

25. Zadanie 12 • Kąt nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy wynosi 45o, a długość promienia podstawy jest równa 2 cm. Oblicz objętość stożka.

26. Zadanie 12 -wskazówki • Wybierz szkic bryły • Przypatrz się przekrojowi i ustal dane • Wybierz odpowiedni wzór P=πr2+πrl V=1/3πr2HP=4/3πr2H • Podstaw liczby i wykonaj obliczenia • Podaj jednostkę i zapisz odpowiedź

27. Zadanie 13 • Oblicz objętość stożka ściętego, w którym podstawy leżą od siebie w odległości 4cm, a promienie tych podstaw mają długości 6cm i 4 cm.

28. Zadanie 13 -wskazówki • Naszkicuj bryłę, dorysuj odciętą część stożka • Wprowadź oznaczenia (R,r,H,h) • Na podstawie twierdzenia Talesa ustal proporcję i wykonaj obliczenia • Oblicz objętości obu stożków • Wykonaj odejmowanie, podaj jednostkę i zapisz odpowiedź

29. Zadanie 14 • Kulę o promieniu 10 cm przecięto płaszczyzną w odległości 6 cm od środka kuli. Oblicz pole powierzchni otrzymanego przekroju.

30. Zadanie 14 -wskazówki • Naszkicuj bryłę, zaznacz średnicę, Przypatrz się przekrojowi • Połącz środek kuli z wierzchołkami trapezu dwoma promieniami. • Z twierdzenia Pitagorasa oblicz promień mniejszego przekroju kuli. • Zastosuj wzór na pole koła • Po wykonaniu obliczeń podaj jednostkę i zapisz odpowiedź

31. Rozwiązania zadań Dokonaj porównania zastosowanych przez Ciebie metod oraz poprawności obliczeń Zweryfikuj zapisy w zeszycie

32. r=2cm P= πr2 P= π•22 P= 4π[cm2 ] Sześcian ma 12 krawędzi równej długości 12 • a=36cm a=3[cm] V=a3 V=33 V=27 [cm3] Zadanie 1 Zadanie 2

33. H=4cm r=2cm a=2r a=2 • 2 a=4[cm] P=1/2 • a • H P= ½ • 4 • 4 P=8[cm2 ] a=3m b=1m h=25m H=12m P=1/2 •(a+b) •h P=1/2 •(3+1) • 25 P=50 [cm2 ] V=P • H V=50 • 12 V=600 [cm3] Zadanie 3 Zadanie 4

34. a=14cm r=7cm Vsz=a3 Vsz=143 Vsz=2744 [cm3] Vw=πr2 H Vw=π • 72 •14 Vw=686π [cm3] Vw : Vsz = 686π:2744 •100% Vw : Vsz 78,5% R=12cm l=R 1/4Pk= 1/4 πR2 1/4Pk= 1/4 π • 122 1/4Pk= 36 π [cm2 ] 1/4Pk= πrl ΠrR= 36 π Πr12= 36 π r=3[cm] r2+H2=l2 32+H2=122 H2=144-9 H=135 H=315[cm] V= 1/3πr2• H V=1/3π • 32•315 V=9π15π [cm3] Zadanie 5 Zadanie 6

35. a=3b P=108[cm2 ] P=ab P=3b2 3b2 =108 b2 =36 b= 36 b=6[cm] a=3 • 6 a=18[cm] R=a+3 R=21[cm] V d=πR2 H V d=πR2 H V d=π • 212 •6 V d=2646π [cm3] V m=πr2 H V m=π • 32 •6 V m=54π [cm3] V d – V m =2646π-54π V d – V m =2592π [cm3] P=P b d +P b m +2Pkd -2Pkm P=2πRH+ 2πrH+2 πR2 -2 πr2 P=2π • 21•6+ 2π • 3 • 6+2 π • 212 -2 π • 32 P=252π+ 36π+882π-18π P=1152π [cm2 ] Zadanie 7

36. a=10cm b=4cm r=a H=b r=10[cm] r=2cm P=4πr2 P=4 •π •22 P=16π[cm2] Zadanie 8 Zadanie 9

37. d=6cm H=10cm d=2r a=d P=1/2 • a • H P=1/2 • 6 • 10 P=30 [cm2] V=2 [cm3] a=0,5[cm] V=a2• H 0,52• H =2 0,25 • H =2 H=8[cm] Zadanie 10 Zadanie 11

38. Zadanie 12 Trójkąt jest prostokątny równoramienny, więc r=H r=2cm H=2cm V=1/3πr2H V=1/3π •22 •2 V=8/3π[cm3]

39. R=6cm x=4cm r=4cm H=x+h Na podstawie twierdzenia Talesa H h x+hh R = r R = r (x+h) • r =R • h (4+h) • 4 =6 • h 16+4 h =6 h 6h-4h=16 2h=16 h=8[cm] H=4+8 H=12[cm] V d=1/3πR2 H V d=1/3π • 62 •12 V d=144π[cm3] V m =1/3πr2 H 3 V m=1/3π • 42 •8 V m=128/3π [cm3] V d – V m =144π-128/3π V d – V m =144π-42 2/3π V d – V m =101 1 /3π[cm3] Zadanie 13

40. R=10cm h=6cm Figura, która powstała w przekroju jest trapezem równoramiennym. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa, bo trójkąt jest prostokątny. R2 =h2+r2 102 =62+r2 r2 =102-62 r2 =100-36 r2 =  64 r=8[cm] P=πr2 P=π • 82 P=64π [cm2 ] Zadanie 14