Розміщення коренів квадратного тричлена

1. Розміщення коренів квадратного тричлена Властивості квадратного тричлена та їх геометрична графічна інтерпретація

2. Основна мета: • Узагальнити і систематизувати знання учнів про кількість розв’язків квадратного рівняння; • Ознайомити учнів із дослідженням кількості розв’язків квадратного рівняння залежно від значення параметра; • Показати застосування теореми Вієта в задачах з параметрами.

3. Учні повинні вміти: • Проводити дослідження кількості коренів квадратного рівняння залежно від параметра; • Застосовувати теорему Вієта в задачах з параметрами.

4. Розглянемо розміщення коренів квадратного тричленаax2+bx+c в залежності від значень параметра

5. В залежності від параметра а: • Якщо a>0 х1 х х2 D<0 D=0 D=0 D>0 D>0

6. В залежності від параметра а: • Якщо a<0 х1 х2 D=0 D>0 D<0

7. В залежності від параметра а: • Якщо a=0, то квадратне рівняння ax2+bx+c=0 перетворюється на лінійне bx+c=0. • Корінь рівняння bx+c=0, x=-c/b

8. Висновок • Отже, дослідження квадратного тричлена розпочинаємо з аналізу старшого коефіцієнта. • Якщо старший коефіцієнт не дорівнює 0, то аналізуємо значення дискримінанту.

9. Теорема Вієта • Для розв’язування завдань на співвідношення між коренями квадратного рівняння з параметром зручно користуватися теоремою Вієта. При цьому не знаходити корені квадратного рівняння, а лише аналізувати значення дискримінанту. • ax2+bx+c=0, якщо D>0, то x1+x2= - b/a x1·x2= c/a

10. Розв’яжіть рівняння abx2+(a2-b2)x+(a-b)2=0; Основні кроки: • а=0, b=0 • а=0, b≠0 • а≠0, b=0 • а≠0, b≠0 • a=b • a≠b

11. abx2+(a2-b2)x+(a-b)2=0 • а=0, b=0, xR • а=0, b≠0, -b2x+b2=0, x=1 • а≠0, b=0, a2x+a2=0, x=-1 • а≠0, b≠0, D= (a-b)4 • a=b, D=0, x=0 • a≠b, x1=(b-a)/a, x2=(b-a)/b.

12. Завдання для самостійного розв’язування: • При яких а рівняння ax2+(a-2)x-2=0 має один корінь? • При яких значеннях а сума коренів квадратного рівняння x2+(a2+2а-3)x+a=0 дорівнює 0? • Корені x1, x2квадратного рівняння x2-(2a-13)x+а-5=0 задовольняють рівняння . Знайдіть а.

13. При яких а рівняння ax2+(a-2)x-2=0 має один корінь? Якщо а=0, то х=-1. Якщо а≠0, то рівняння матиме один коріньпри умові D=0. D=(a+2)2=0; a=-2; Відповідь: при а=0, а=-2 рівняння має один корінь

14. При яких значеннях а сума коренів квадратного рівняння x2+(a2+2а-3)x+a=0 дорівнює 0? За теоремою Вієта x1+x2=-(a2+2a-3), a2+2a-3=0, a1=-3, a2=1. З врахуванням значення дискримінанта D=(a2+2a-3)2-4a≥0 маємо значення а=-3. Відповідь: а=-3.

15. Корені x1, x2квадратного рівнянняx2-(2a-13)x+а-5=0 задовольняють рівнянняЗнайдіть а. За теоремою Вієта x1+x2=2a-13, x1·x2=a-5 Оскільки, , то . Підставимо , розв’яжемо рівняння відносно параметра а. а1=21, а2=9 Значення а=21 не задовольняє умову завдання. Отже, а=9, тоді х1=1, х2=4. Відповідь: а=9.

16. Домашнє завдання на вибір • При яких а обидва корені рівняння (a-2)x2-2аx-а+3=0 додатні? • При яких m корені рівняння (m-2)x2-3(m+2)x+6m=0 мають різні знаки?

17. До побачення!