８．数値微分・積分・微分方程式

８．数値微分・積分・微分方程式 工学的問題においては解析的に微分値や積分値を求めたり，微分方程式を解くことが難しいケースも多い。このような場合は数値的に解かざるを得ない。

８．１　数値微分（１）差分法を用いる の定義における微分係数の関数：刻み幅差分近似［前進差分近似］［中心差分近似］［後退差分近似］

（２）差分法の誤差 ①刻み幅が大きいと，誤差が大きい（打切り誤差）。 ②刻み誤差が小さ過ぎると，丸め誤差による誤差が大きくなる。

①前進差分法の打切り誤差 前進差分では，以下のテーラ展開から導くを代入して，整理すると。に比例した打切り誤差

②後退差分法の打切り誤差 後退差分では，以下のテーラ展開から導くを代入して，整理すると。に比例した打切り誤差

③中心差分法の打切り誤差 後退差分では，以下の２つのテーラ展開から導くを代入して，整理すると。に比例した打切り誤差

誤差の比較（１） 前進差分，後退差分，中心差分をＥｘｃｅｌで式定期

誤差の比較（２） 前進差分や後退差分に比べ，中心差分の誤差が少ない!!

誤差の比較（３） 微分値は，ほとんど中心差分と重なっているが… 細かくみると誤差はある…

刻み幅による誤差の比較 小さすぎると丸め誤差が大きくなる誤差刻み幅が小さくなると誤差が減るが刻み幅 h

［参考］ Function FX(X) As Single X2 = X * X: X3 = X2 * X: X4 = X3 * X FX = X4 + X3 + X2 + X + 1 End Function Function DFX(X) As Double X2 = X * X: X3 = X2 * X DFX = 4 * X3 + 3 * X2 + 2 * X + 1 End Function 刻み幅による誤差データの生成プログラム（１）誤差の影響を大きくするために，あえて関数値はSingle，微分値はDoubleにしてある。次のページの変数値も同様である。

［参考］ Sub ボタン1_Click() Dim DF1 As Single: Dim DF2 As Single With Worksheets("Sheet2") h = 0.1 For i = 1 To 100 DF = DFX(1) ‘真値 DF1 = (FX(1 + h) - FX(1)) / h ‘前進差分 DF2 = (FX(1 + h) - FX(1 - h)) / (2 * h) ‘中心差分 G1 = Abs(DF1 - DF) ‘誤差の計算 G2 = Abs(DF2 - DF) .Cells(i + 1, 1) = h .Cells(i + 1, 2) = G1 .Cells(i + 1, 3) = G2 h = h / 1.2 Next End With End Sub 刻み幅による誤差データの生成プログラム（２）

ＶＢＡによる表現　①Excelシートの定義 Ａ～Ｄ列はExcelでの式定義における定義と同じにする。ＥＦＧ列は，２行目以降は空白にして，差分の結果を入れるセルとする。

ＶＢＡによる表現　②データ宣言とデータ設定ＶＢＡによる表現　②データ宣言とデータ設定 Private DX As Double Private Y() As Double Private DY() As Double Private N As Double Sub データ設定() With Worksheets("Sheet4") i = 2 ‘　入っているデータをカウントする。 Do While .Cells(i, 2) <> "": i = i + 1: Loop N = i - 2 ReDim Y(N), DY(N) DX = .Cells(2, 1) For i = 1 To N Y(i) = .Cells(i + 1, 3) Next End With End Sub

ＶＢＡによる表現　③結果設定とボタンのClickイベントハンドラＶＢＡによる表現　③結果設定とボタンのClickイベントハンドラ Sub 結果設定(DY, Ist, N, ID) With Worksheets("Sheet4") For i = Ist To N .Cells(i + 1, ID) = DY(i) Next End With End Sub Sub Sheet4_ボタン1_Click() データ設定前進差分 DX, Y, DY, N 結果設定 DY, 1, N - 1, 5 後退差分 DX, Y, DY, N 結果設定 DY, 2, N, 6 中心差分 DX, Y, DY, N 結果設定 DY, 2, N - 1, 7 End Sub Sub 前進差分(DX, Y, DY, N) For i = 1 To N - 1 DY(i) = (Y(i + 1) - Y(i)) / DX Next End Sub Sub 後退差分(DX, Y, DY, N) For i = 2 To N DY(i) = (Y(i) - Y(i - 1)) / DX Next End Sub Sub 中心差分(DX, Y, DY, N) For i = 2 To N - 1 DY(i) = (Y(i + 1) - Y(i - 1)) / (2 * DX) Next End Sub Sub Sheet4_ボタン1_Click() データ設定前進差分 DX, Y, DY, N 結果設定 DY, 1, N - 1, 5 後退差分 DX, Y, DY, N 結果設定 DY, 2, N, 6 中心差分 DX, Y, DY, N 結果設定 DY, 2, N - 1, 7 End Sub

ＶＢＡによる表現　④各差分の定義 Sub 前進差分(DX, Y, DY, N) For i = 1 To N - 1 DY(i) = (Y(i + 1) - Y(i)) / DX Next End Sub Sub 後退差分(DX, Y, DY, N) For i = 2 To N DY(i) = (Y(i) - Y(i - 1)) / DX Next End Sub Sub 中心差分(DX, Y, DY, N) For i = 2 To N - 1 DY(i) = (Y(i + 1) - Y(i - 1)) / (2 * DX) Next End Sub

（３）高次の差分法 をテーラ展開し

（３）高次の差分法 を1次の式に代入ししたがって，２次の前進差分

（３）高次の差分法 ２次の後退差分同様に，２次の後退差分，中心差分も求めることができる。２次の中心差分

前進差分における１次と２次の誤差 同様に，２次の後退差分，中心差分でも確認してみよう。

８．数値微分・積分・微分方程式

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