実験屋のための実践的核反応論

1. 実験屋のための実践的核反応論 東大CNS　下浦　享

2. はじめに (目標) 「核反応で、何をどうやれば何がどの程度わかるか?」についてのセンスを磨き、実験提案や実験解析に実践的に生かせるようになろう (素朴な疑問) • 核反応モデルの背後にある基本的考え方、予言能力、限界は？ • 計算コード(ECIS, DWUCK, ...)は結局何を計算しているのか？ • 手計算で何がわかり、計算コードの出力から何を読み取るのか？ • その他(受講者からの疑問を歓迎する) (内容) 初日(2コマ)は、主に青色の部分について、非相対論的な散乱の量子論の解説を中心にする (資料) プレゼンテーションに加えて、実際の計算のための公式、コードの使い方、advance level の公式などのメモを提供する

3. 核反応測定 核反応の測定 • 量子(ミクロ)系の情報を、古典(マクロ)系における物理量－エネルギー・運動量－から得る • 反応確率を、運動量とエネルギーの関数としてみる 量子系と古典系を結ぶ物理量: 相対波動関数の自由空間での漸近形 “散乱(反応)の量子論” 古典系 核反応 量子系

4. 核構造と核反応 量子多体系の“波動関数”の性質 • 密度分布、形、配位、相互作用、相関、集団性、応答… 原子核 構造 核構造モデル • 座標空間・配位空間におけるモデル波動関数 核反応論(モデル) 相対波動関数の自由空間での漸近形を反応に関与する相互作用と核構造から求め、反応で得られる物理量を得る 運動量空間における波動関数

5. 座標空間と運動量空間 運動量空間 ⇔座標空間 : Fourier変換 • その状態が運動量 {pi}を持つ確率振幅 • 座標空間の波動関数を平面波展開したときの係数が運動量空間の波動関数 • 平面波を基底にとったときの波動関数の表現 • エネルギー固有状態の波動関数を、運動量固有状態で展開 • デルタ関数の Fourier 変換は平面波

6. 座標空間と運動量空間 座標空間における密度⇔運動量空間における形状因子 F(q)

7. 運動量 ドブロイ波長 l

8. 運動学 この講義では、非相対論的運動学について解説する 相対論的運動学の summary は、Particle Data Group の document http://pdg.lbl.gov/2007/reviews/kinamarpp.pdf に詳しい また「Memo relating to relativistic kinematics」に有用と思われる公式などを記述してある

9. 運動学 自由空間における2体系の非相対論的運動学：並進運動と相対運動 1 2 TCM, PCM : 系全体の並進のエネルギー(核反応には寄与しない) Trel , Prel : 核反応で本質的なエネルギー(系全体の内部エネルギー) 　　ガリレイ変換で不変(速度の加法則が成立) 　　相対論では、[(1+2)系の不変質量]ー[m1+m2]

10. 速度差の測定分解能が方向によらず同じ(sv)だと仮定すると、を速度差の測定値から求めたときの相対エネルギーが、[T,T+dT]となる確率 F(T,T0)dTは、 相対運動のエネルギー　　　　　　　　　　　の分解能について(advanced) この確率密度 F(T,T0)を用いたときの期待値は 分解能∝T01/2

11. c.f. Nucl. Phys. A452 (1986) 123 運動学 自由空間における3体系の非相対論的運動学：Dalitz plot 1 3 2

12. 運動学―エネルギー運動量保存― b A a B 2体反応 A(a,b)Bの非相対論的運動学(実験室系) 反応後 反応前 相対運動の運動量変化 運動量移行 のとき エネルギー移行

13. 運動学―エネルギー運動量保存― 2体反応 A(a,b)Bの非相対論的運動学(重心系) b A a B 反応前 反応後 相対運動の運動量変化 が運動量移行になる のとき

14. 運動学　実験室系と重心系の変換：速度図 反応後の粒子の速度 v’ v’c VCM q qc V’ V’c

15. 運動学　運動量移行と運動学上の制限(on-shell)運動学　運動量移行と運動学上の制限(on-shell) 非弾性散乱の場合(m’=m, M’=M) 反応でやりとりされるエネルギー(Q)と運動量(q)は、反応チャネルと入射エネルギー、散乱角度を決めると一意に決まってしまう。(on-shell) 非弾性散乱の場合(m’=m, M’=M)、運動量移行を０にすることはできない Stripping 反応の場合(m’=m-x, M’=M+x) : m→m’ (a の中の x の運動量) : M→M’ (B の中の x の運動量)

16. Proton Transfer in Momentum Space 12Be(d,n) @ 50 A MeV 12Be(a,t) @ 50 A MeV 2 2 Ex=0 Ex=40 Ex=0 q^ (fm-1) 1 q^ (fm-1) 1 Ex=40 p p 13B*(10MeV) 13B*(10MeV) a d 0 0 t 12Be 12Be n 0 0 -1 1 -1 1 -2 -2 qz (fm-1) qz (fm-1) a d 13B* 13B*

17. Phase Space (位相空間) 摂動論におけるフェルミの黄金律(Golden rule No. 2) 遷移確率(反応の断面積)は、終状態密度(位相空間の大きさ)に比例する 運動エネルギー T=p2/(2m)の非相対論的自由粒子の状態密度は、 運動エネルギーの平方根に比例

18. Phase Space (位相空間) 崩壊(M→m1+m2+…)の場合(相対論的) 反応(M1+M2→m1+m2+…)の場合 運動学的には、 M1+M2 →M→m1+m2+…と同じ M m1+m2+… M1+M2

19. 核反応の量子力学的記述 重心系で、全エネルギー Etotの2体衝突 a+A を考える 一般に、衝突後は、以下のような様々な反応が起こり、aとAだけでなく, bとB, cとC, d1とd2とD, …が、漸近領域に放出される。 これら核子群の組み合わせそれぞれをチャンネルとよぶ。 なお、e+E が束縛状態である場合も、閉じたチャンネル(closed channel)とよぶこともある。

20. 2体の重心系 (a+A=aチャンネル) のハミルトニアン、固有関数 A a

21. (a+A)→ b+B 反応： b+B チャンネルのハミルトニアン b B

22. a+A → (b+B) 反応の境界条件 • この反応を含む、a+Aで入射する核反応を記述する波動関数は、漸近形が以下の条件を満たさなければならない • すべての開いたチャンネルには、原点から外向きに広がる波がある • 入射チャンネルだけに入射平面波がある • 入射平面波以外に内向きの波はない • 閉じたチャンネルの振幅は0である • これらの条件を満たす波動関数

23. Lippmann-Schwinger Equation 境界条件を含んだ積分方程式 内向き球面波をもつ解 散乱行列(S行列)： 平面波 Fbが見出される確率振幅

24. T行列、微分断面積、散乱振幅 T行列が計算できれば、微分断面積が計算できる

25. 平面波ボルン近似 (PWBA) 外向き球面波 内向き球面波

26. 球ベッセル関数

27. 弾性散乱の平面波ボルン近似 (PWBA) c.f. Memo for Woods-Saxon form factor

28. Criterion (c.f. Schiff p.326) 弾性散乱の平面波ボルン近似 (例) 0.7 1.4

29. 非弾性散乱の平面波ボルン近似 (PWBA) l により、山谷の位置が特徴づけられる

30. 非弾性散乱(L=2)の平面波ボルン近似 (例) 0.7 1.4

31. ストリッピング反応の平面波ボルン近似 (PWBA) b rb a rxb ra rxA A x B 以下、第1項のみを考慮する

32. b rb a rxb ra rxA Binding energies of a and B A x B Same value but different expressions Fourier Transforms of wave functions of nucleon (x) in a and B

33. ストリッピング反応 • 微分断面積は、２つの波動関数のFourier成分の積で書ける • Fourier成分の運動量は、入射エネルギー、Q値、および散乱角度が決まると一意的に決まる。 • エネルギーが数10MeV以上になると、これらの運動量は、大きくなってしまう(1fm-1程度かそれ以上)。→運動量ミスマッチ • 入射粒子 a=b+xが (0s)nの場合、xの運動量分布は、0 を最大に、ほぼ単調に減少する。 • 残留核 B=A+x の波動関数は、主量子数により node の数が決まるが、有限の運動量の領域では、l によらず、運動量が大きくなるにつれ、ほぼ単調に減少する。角度分布は lによらない。 • 大運動量成分は、短距離相関と関連し、相対距離だけの関数とは限らない。

34. Proton Transfer in Momentum Space 12Be(d,n) @ 50 A MeV 12Be(a,t) @ 50 A MeV 2 2 Ex=0 Ex=40 Ex=0 q^ (fm-1) 1 q^ (fm-1) 1 Ex=40 p p 13B*(10MeV) 13B*(10MeV) a d 0 0 t 12Be 12Be n 0 0 -1 1 -1 1 -2 -2 qz (fm-1) qz (fm-1) a d 13B* 13B*

35. Transition Density と遷移行列 １体演算子　　　　　　による２つの状態の遷移行列は

36. Transition Density と弾性散乱・非弾性散乱　－Folding Model － 弾性散乱は: U(r) : Optical Potential Alpha particle at 140-400 MeV: U ~ 130 – 60 MeV, W ~ 25 – 40 MeV Proton at 50-200 MeV : U ~ 50 – a few MeV, W ~ 10 – 20 MeV (see JLM)

37. Transition Density と弾性散乱・非弾性散乱　－Folding Model － 非弾性散乱では: Microscopic or Collective Transition Density Transition Potential Transition Density Collective model Compression mode Tassie model

38. c.f. JLM, PRC10, 1391 (1974) Density Dependence in Folding Model • 核内核子は、縮退したフェルミ量子系 • フェルミガスで近似すると kFまで詰まっている。 • 通常密度の核物質では kF~ 1.36 fm-1 ∝(密度)1/3 • フェルミ球内の状態は占有されているので、その領域への散乱はおこらない(Blocking) • 占有領域の大きさによって、有効相互作用が異なる • エネルギーが高いほど • 密度が低いほど(kFが小さいほど) • Blocking の効果は小さい 散乱不可 核内核子 • 中心領域の核子に対する相互作用は、密度の薄い表面の核子に対する相互作用より小さい 入射核子 kF~1.36 fm 散乱可能 運動量空間

39. Potential Depth for Nucleon based on Density Dependence c.f. JLM, PRC10, 1391 (1974)

40. Inelastic excitation (Analysis) Transition Matrix Element WF’s of gnd. and exc. states (f0(r), f(r)) Microscopic Macroscopic Gnd. State density (r0(r)) transition density (rtr(r)) BM; Tassie a, b, d d sum rule Folding with effective interaction veff Macroscopic Transition pot. (Vtr(r)) Distorting pot. (V0(r)) BM b, d O.M. analysis DWBA Experimental Data Integrated C.S., Ang. Distr. Ang. Cor. Jp , d=bR , … Elastic Scat. Data Global Systematics

41. Spectroscopic Factor • Spectroscopic Factor は、配位空間における overlap で定義されている。 • 核子移行反応では、波動関数の運動量成分が、ある限定された領域に存在する割合が求められる。 • 大きな運動量をもつ領域の場合、短距離相関のため、1核子＋芯を仮定した、local な波動関数がよいとは限らない。 • ノックアウト反応の場合、運動量移行を制御できるので、基底状態における1粒子状態の占有率を求められる可能性がある。

42. Heavy Nuclei: Strong EM Field Coulomb Excitation, Coulomb Dissociation E1, E2, (M1) / Isovector (Lifetime measurement) H, D, 4He [Liquid targets – large luminosity] Inelastic Scattering Isovector (H) / Isoscaler(H, D, 4He) [T=1, 0] Spin-Flip (H, D) / Spin-Non-Flip (H, D,4He) [S=1, 0] Charge Exchange Fermi type (H) / Gamow-Teller type (H, D) IAS/GTS Nucleon Transfer (a,t), (a,3He) Single particle Excited states Knockout Other (Be, C, …) [strong absorption] Knockout / Fragmentation Spectroscopic factors in Ground state Direct reactions Isoscaler Monopole Isoscaler Dipole Reactions at lower energies • (d,p) reaction • Transfer/DIC/Fusion : high spin states

43. Transition Strengths : to be studied Selectivity • Determine Quantum numbers and C.S. (lifetime) • Configuration / Collectivities • Single particle / Correlation energies

44. Observables – reaction/decay meas. • Yields (Cross Sections) / Lifetime / Width • Properties of populated states (Selectivity) • Angular Distribution / Momentum Transfer • Assignment of LJp Reliable Reaction Models • Eikonal Model [Knockout] • Virtual Photon / DWBA / Coupled Channels [Coulex, Inelastic, Transfer] • Optical Potential / Transition Density • Folding Model with Density Dependent Effective Interaction • Angular Correlation / Alignments • Assignment of Jp

45. 今後の予定 • Distortion • 核子あたり 100 MeV 以上の陽子衝突を除いて、平面波ボルン近似の criterion は満たさない • 別の近似方法：Eikonal 近似 • 相互作用領域で、どれくらい波が歪んでいるのか？ • 歪んだ波を用いた近似は？ (DWBA) • 非弾性散乱と B(Ol) • Isovector と Isoscalar • Bernstein’s Prescription • 核応答 • 集団性、相関 • 非束縛状態 (共鳴、連続状態) • 閉じたチャネルとの結合と共鳴 • 共鳴状態の“波動関数” • 3体系の漸近形 • 非束縛状態への反応 • その他 (核融合、分子的共鳴などなど[手に余りそうですが…])