一些抽象概念

一些抽象概念 赵建华

集合的概念 • 没有定义 • 被认为“具有某种共同性质”的若干不同的对象合在一起构成集合，而所谓“共同性质”也只不过是让你能将它们想到一起罢了。 • Georg Cantor的描述：“Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objeckten in unserer Anschauung oder unseres Denkens(welche die Elemente von M genannt werden) zu einem ganzen” [English traslation] A set is a collection into a whole of definite, distinct objects of our intuition or our thought. The objects are called elements (member) of the set. 作为数学模型的集合，其元素是抽象的数学对象确定性元素各不相同本身是一个对象元素的广泛性

集合的表示 • {x | P(x)}, P必须是“数学可定义”的性质 • “不存在任何 YX”是关于X的有效性质 • “对任意的 U, UZ iff. UX 且 UY”是关于X, Y 和 Z 的有效性质。 • 一个集合可以有多种表示 • {2, 3, 5} • [1, 7)区间内的所有质数 • 方程 x3-10x2+31x-30=0 的所有实根

子集 • “子集”关系是两个集合之间的关系，其中一个称为另一个的子集: • AB 定义为: “for all x, if xA, then xB” • 更符号化的描述：x (xA  xB ) • 因此，AB 的意思是: 至少存在一个 x, 满足 xA, 但是xB • 更符号化的描述：x (xA  xB )

真子集 • 如果集合A=B，当然A是B的子集，B也是A的子集。 • 既然A=B，A,B就是同一个集合． • 任何集合都是其自己的子集。 • 如果AB, 但BA, (即B中至少有一个元素是A中没有的)，则A是B的真子集。

空集 • 空集是没有元素的集合 • 例. A={x|x 是整数且 x>x} • 空集是任何集合的子集。 • 假设 A 是空集, B 是任给的一个集合。命题 “存在某个元素x, 满足xA, 但 xB” 总是假。 • 空集是唯一的，可以用 Ø表示 • 如果 Ø1, Ø2都是空集，则Ø1Ø2 和Ø2Ø1 均为真。

幂集 • (A)={x|xA}, 其中A 是任意集合。 • ({a,b}) = {Ø,{a},{b},{a,b}} • (Ø) = {Ø} • 如果|A|=n, 则|(A)|=2n • 幂集的另一种记法: 2A

1 3 2 B A 运算的定义 • 运算定义的基本方式：将结果定义为一个新的集合（这也可以看做是一种集合表示方法） • 并：AB={x|xA 或者xB} • 并集: 1, 2 和 3 • 交： AB={x|xA 并且xB} • 交集: 3

相对补 • 相对补：A-B={x|xA并且xB} • A-B: 1 • 证明：A-B1=A-B2  B1=B2 不成立　用反例证明“…不成立” 　令A={1,2,3,4}, B1={2,5}, B2={2,6} 　则A-B1 = A-B2 = {1,3,4} • 若A即我们关心的“所有”对象的集合，称为全集（常用E表示）．E-B成为B的“绝对补集”，记为~B • x~B iff. xB 1 3 2 B A E B

对称差 • 对称差： AB=(A-B)(B-A) 　　　　　即AB＝{x|xA且xB 或者 xB且xA} • 证明: AB=(AB)-(AB) I. AB  (AB)-(AB) 任给x AB , x(A-B) 或 x(B-A) Ia. 假设x(A-B) ，即xA, xB, x (AB) 但 x(AB) x (AB)-(AB) Ib. 假设x(B-A) , …… Ｂ穷举法 A

~A ~B (A-(BC))((BC)-A) 文氏图的更多例子

容斥原理(Principle of Inclusion and Exclusion ) 例如：4个子集的公式为： N - (|S1|+ |S2|+ |S3|+ |S4|) + (|S1S2|+|S1S2|+|S1S4|+|S2S3|+|S2S4|+|S3S4|) - (|S1S2S3|+|S1S2S4|+|S1S3S4|+|S2S3S4|) + |S1S2S3S4|

集合的实现方法 • 数组 • Tset[MAX]；intcnt； • bitSet • 对于32/64个元素以下的集合，使用一个长整数表示； • 对于数量不多的集合也可以用整数数组表示； • 链表 • 当还需要考虑集合中的一些关系时，通常有其它的表示方法；比如图。

二元关系的定义 • 若A, B是任意的非空集合, 笛卡尔乘积AB的任意一个子集称为从A到B的一个关系. • 集合 • 集合的元素是有序对 • 或者是空集合 • 关系意味着什么？ • 两类观察对象之间建立起来的联系！

从集合A到B的二元关系 • 笛卡尔乘积的子集 • “从A到B的关系”R；RAB • 可以有A=B： “集合A上的二元关系” • 例子 • 常用的数学关系：不大于、整除、集合包含等 • A={1,2,3,4}上的“倍数”、“(x-y)2A”、“x/y是素数”、不等于

特殊的二元关系 • 集合A上的空关系: 空关系即空集(记住:空集是唯一的) • 全域关系EA: EA ={<x,y>| x,yA } • 恒等关系IA : IA ={<x,x>| xA }

关系的表示 (假设A={a,b,c,d}, B={α,β,γ}) • 集合表示: R1={<a,β >,<b,α>,<c, α>,<c,γ>} • 关系矩阵关系图（有向图） a     a b c d b  c  d B A

二元关系和有向图 有向图 (VD, ED ) 顶点集： VD 有向边集： ED 顶点x,y相邻图D中存在从 x1 到 xn的长度为 n-1的通路关系 RAB 论域：AB 有序对集合元素x,y满足关系R 若A=B, R中存在序列：<x1,x2>, <x2,x3>,…,<xn-1,xn>

有穷关系的实现方式 • 二元组集合的实现方式 • 如果关系是Map，即对于每个x，最多只有一个y使得R(x,y)，那么R称为Map。 • 将定义域中的x编号，然后使用数组的方式实现 • 使用boolean矩阵的实现方式

关系的性质 • 关系的几类重要性质 • 自反 • 对称 • 传递 • 性质满足的充分必要条件 • 性质与运算之间的关系 • 等价关系 • 等价关系与集合划分的对应

自反性 • 集合A上的关系R: • 自反：定义为：对所有的aA, (a,a)R • 反自反：定义为：对所有的aA, (a,a)R 注意区分”非”与”反” • 设 A={1,2,3}, RAA • {(1,1),(1,3),(2,2),(2,1),(3,3)} 是自反的 • {(1,2),(2,3),(3,1)} 是反自反的 • {(1,2),(2,2),(2,3),(3,1)} 既不是自反的，也不是反自反的

对称性 • 集合A上的关系R： • 对称的：定义为：若 (a,b)R, 则 (b,a)R • 反对称的：定义为：若(a,b)R且(b,a)R ，则a=b • 强反对称的：定义为：若(a,b)R则 (b,a)R • 设 A={1,2,3}, RAA • {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),(3,3)} 是对称的 • {(1,2),(2,3),(2,2),(3,1)} 是反对称的 • {(1,2),(2,3),(3,1)} 既是反对称的，也是强反对称的

传递性 • 集合A上的关系R： • 传递的：定义为：若 (a,b)R, (b,c)R, 则 (a,c) R • 设 A={1,2,3}, RAA • {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,3)} 传递的 • {(1,2),(2,3),(3,1)} 是非传递的 • Both {(1,3)}和  均为传递关系

等价关系的定义 • 满足性质：自反、对称、传递 • “等于”关系的推广 • 例子 • 对3同余关系: RZZ， xRy当且仅当是整数。 • RNN， xRy当且仅当存在正整数k,l，使得xk=yl。 • 自反: 若x是任意正整数，当然xk=xk ; • 对称：若有k,l, 使xk=yl；也就有l,k, 使yl=xk； • 传递：若有k,l, 使xk=yl；并有l,m, 使yl=zm；则有k,m, 使xk=zm

等价类 • R是非空集合A上的等价关系，xA，等价类[x]R={y|yA  xRy} • 每个等价类是A的一个非空子集。 • 例子：对3同余关系: RZZ， xRy当且仅当　　　　是整数。 • ３个等价类：[0]={…, -6, -3, 0, 3, 6, 9, …}; [1]={…, -5, -2, 1, 4, 5, 7, …}; [2]={…, -4, -1, 2, 5, 8, 11, …}

等价类的代表元素 • 对于等价类[x]R={y|yA  xRy}，x称为这个等价类的代表元素． • 其实，该等价类的每个元素都可以做代表元素：若xRy，则[x]=[y] • 证明：对任意元素t, 若t[x], 则xRt, 根据R的对称性与传递性，且xRy, 可得yRt, 因此 t[y], [x][y]; 同理可得[y][x]

商集 • R是非空集合A上的等价关系，xA，则其所有等价类的集合称为商集，A/R • 集合A={a1,a2, …, an}上的恒等关系IA是等价关系，商集A/IA={{a1}, {a2},…, {an}} • 定义自然数集的笛卡儿乘积上的关系R: (a, b)R(c,d) 当且仅当 a+d=b+c 证明这是等价关系，并给出其商集．

等价关系的一个例子 • R1,R2分别是集合X1,X2上的等价关系。定义X1X2上的关系S如下： <x1,x2>S<y1,y2> 当且仅当 x1R1y1且 x2R2y2 • 证明：S是X1X2上的等价关系 • [自反性]对任意<x,y>X1X2, 由R1,R2满足自反性可知，<x,x> R1, <y,y> R2; <x,y>S<x,y>; S自反。 • [对称性]假设<x1,x2>S<y1,y2>, 由S的定义以及R1,R2满足对称性可知：<y1,y2>S<x1,x2>; S对称。 • [传递性]假设<x1,x2>S<y1,y2>, 且<y1,y2>S<z1,z2>, 则x1R1y1, y1R1z1, x2R2y2, y2R2z2, 由R1,R2满足传递性可知：x1R1z1, 且x2R2z2, 于是： <x1,x2>S<z1,z2>; S传递。

集合的分划 集合A的分划, ,是A的一组非空子集的集合，即 (A), 且满足： 1. 对任意 xA, 存在某个 Ai, 使得 xAi. A A6 A1 A5 A2 A4 2. 对任意 Ai, Aj,如果 ij, 则： A3

由等价关系定义的分划 • 假设R是集合A上的等价关系，给定aA, R(a)是由R 所诱导的等价类。 • Q={R(x)|xA}是相应的商集。 • 容易证明，这样的商集即是A的一个分划： • 对任意 aA, aR(a) (R是自反关系) • 对任意 a,bA • (a,b) R当且仅当 R(a)=R(b), 同时 • (a,b) R当且仅当 R(a)R(b)=

商集即分划 – 证明 • 不相等的等价类必然不相交。换句话说，有公共元素的任意两个等价类必然相等。 • 证明： • 假设R(a)R(b)Ø, c是任一公共元素。 • 根据等价类的定义，<a,c>R, <b,c>R • 对任意xR(a), <a,x>R, 由R的传递性和对称性，可得<c,x>R, 由此可知<b,x>R, 即xR(b), R(a)R(b) • 同理可得：R(b)R(a)。因此: R(a)=R(b)

等价关系的应用 • 可以只处理等价类中的一个元素； • 具体用例 • 大部分的动态规划问题

有穷等级关系的实现 • 并查集 • 关系传递闭包的实现 • boolean矩阵 • Floyd算法

关系复合运算与矩阵相乘 定义集合A={a,b,c,d}上的关系： R1={(a,c),(b,c),(b,d),(c,b),(d,a),(d,d)} R2={(a,a),(b,a),(b,d),(c,c),(d,a),(d,b)} 则: R1◦R2= {(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,d),(d,a),(d,b)}

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