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上节回顾. 材料力学的任务 等直杆的 强度条件 刚度条件 稳定性条件. 上节回顾. 材料力学的基本概念 1. 内力 —— 指某个截面内分布内力 的三个主矢分量和三个主矩分量: 轴力 F N ,剪力 F Q ( F y ,F z ) 扭矩 T ,弯矩 M ( M y ,M z ) 2. 应力 —— 正应力 σ ,切应力 τ 3. 应变 —— 线应变 ε ,切应变 γ. z. z. F Q z. F N. x. x. F Q y. y. y.
E N D
上节回顾 材料力学的任务 等直杆的 强度条件 刚度条件 稳定性条件
上节回顾 材料力学的基本概念 1.内力—— 指某个截面内分布内力 的三个主矢分量和三个主矩分量: 轴力FN ,剪力FQ (Fy ,Fz) 扭矩T ,弯矩M (My ,Mz) 2.应力——正应力σ,切应力τ 3.应变——线应变ε,切应变γ
z z FQz FN x x FQy y y Mz T My 上节回顾 内力 轴力FN,剪力FQ (Fy ,Fz) 扭矩T ,弯矩M (My ,Mz) 剪力 弯矩 扭矩 剪力 弯矩 轴力
上节回顾 注意事项 计算约束力时, 可将平衡对象视为刚体; 计算其他问题时 则应将研究对象视为变形体。
120kN 20kN/m 20kN/m B B C C A A 2m 2m 4m 4m 请判断下列 简化在什么情形 下是正确的,什 么情形下是不正 确的:
F1 F2 上节回顾 应力—分布内力在一点的集度
F1 DFR F2 ΔA 正应力s(法向应力) 应力的定义 切应力τ(切向应力) ΔFQ ΔFN
应力就是单位面积上的内力 工程构件,大多数情形下,内力并 非均匀分布,通常“ 破坏”或“ 失效”往 往从内力集度最大处开始,因此,有必 要区别并定义应力概念。
上节回顾 注意事项 • 计算应力时应注意 既要算正应力,也要算切应力; • 应弄清是那一点的应力; • 还要弄清是那一个面上的应力; • 应力的单位是MPa.
§1.7 位移 变形 应变 一、位移displacement 线位移—— 一点空间位置的改变 单位:m , mm 角位移—— 一面方位的改变 单位:rad
二、变形 deformation 尺寸改变 形状改变 变形引起位移
三、应变strain 线应变(linear strain)ε —— 一点在某方向上尺寸改变程度的描述。 切应变(shearing strain)γ —— 过一点两互相垂直截面的角度改变。
σ x σ x dx u+du dx u τ α τ β γ=α+β 直角改变量 微元体(单元体)element
注释 线应变 ε —— 与点的位置有关; 与 x的方向有关; 伸长变形为正; 无量纲。 切应变 γ —— 与点的位置有关; 与垂直两边的方位有关; 无量纲。
σ x σ x dx u+du dx u τ α τ β 注释 应力与应变的对应关系 正应力 ——线应变 ε 切应力τ ——切应变 γ γ=α+β 直角改变量
§1.8 杆件变形的基本形式 1. 轴向拉伸和压缩 axial tension or compression 拉伸 压缩
F F 2. 剪切shear
3. 扭转torsion 联轴器 轴
F F2 F3 F1 F F2 2F F3 F1 第二章 轴向拉伸和压缩 §2.1 概述 轴向载荷(axial load)——载荷作用线位于杆轴上
F2 2F F3 F1 轴向拉伸(axial tension)(压缩compression) 受力特点——外力全部为轴向载荷 变形特点——轴向伸长或缩短
压杆 拉杆 例
例 拉杆 压杆
100kN 200kN 200kN 100kN 1 2 例
F F 拉杆 F F F F 压杆 F F 拉杆和压杆模型
F2 F3 F1 拉杆和压杆模型 统称: 拉压杆
m m F2 F1 F3 m m F2 F1 FN §2.2 轴力 轴力图 一、轴力FN(axial force)—— 拉压杆的内力 截断,取半,画内力,平衡 —— 截面法步骤 ∑Fx = 0 , FN-F1+F2 = 0 ∴ FN = F1-F2
m m m F2 F1 F3 m m m F2 F1 FN FN F3 取左半和取右半计算内力,结果是一样的。 FN = F3 FN= F1 -F2=F3 因此,可选择简单的一侧计算轴力。
m m F2 F1 F3 m m F2 F1 FN FN F3 m m 轴力axial force 定义——内力主矢的法向分量 求法——截面法method of section 步骤:截开,取半,画内力,平衡 大小= 截面任一侧所有外力的代数和 正负号——拉伸为正(离开截面为正) 注意正负号不是由坐标轴的方向决定的 单位—— N , kN
F2 F3 2 3 F4 1 F1 1 3 2 二、轴力图axial force diagram 问题:如何描述不同截面的轴力既简单又直观? 方法:1. 临用时逐个截面计算; 2. 写方程式; 3. 画几何图线—— 轴力图 横坐标——杆的轴线 纵坐标——轴力数值
1 2 3 1 2 3 FN (kN) 例1 作图示杆的轴力图 3kN 4kN 2kN 3kN A B C D 1 2 3 解:1.各段轴力计算: FN1 = -2 kN, FN2 = -2+3 =1 kN, FN3 = -3 kN 2.作轴力图 B截面的轴力=?
20kN 1 10kN 10kN 2 20kN 3 A B C 1 D 2 3 FN (kN) 例2 作图示杆的轴力图 10 10 20 解:1.各段轴力计算: FN1 = 10 kN, FN2 =-10 kN, FN3 =-20 kN 2.作轴力图
20kN 1 10kN 10kN 2 20kN 3 1 2 3 FN (kN) 轴力图要求 A D B C 10 1. 与杆平行对齐画 2. 标明内力的性质( FN) 3. 正确画出内力沿轴线的变化规律 4. 标明内力的正负号 5. 注明特殊截面的内力数值(极值) 6. 标明内力单位 10 20
12.98 C FN2 2 2 l2 x2-l1 B 12.42 x2 FN1 l1 l1 1 1 x1 x1 12 A FN(kN) F F F 例题3 已知:A1=3 ㎝2 , A2=4 ㎝2 , l1= l2= 50m , F=12 kN , γ = 0.028 N/㎝3 求:作轴力图(考虑自重) 解:⑴ 计算轴力 2 AB段: FN1 = F +γA1x1 (0≤x1≤l1) 1 BC段: FN2=F + γA1l1 +γA2(x2-l1) (l1≤x2≤l1+l2) ⑵ 绘轴力图
§2.3 拉压杆的应力 已知轴力求应力,这是静不定问题, 需要研究变形才能解决。 思路: 观察变形(外表) 变形假设(内部) 应变分布 应力分布 应力表达式
F F 一、横截面上的应力 1. 变形特点 纵线——仍为直线,平行于轴线 横线——仍为直线,且垂直于轴线
2. 平面假设 plane cross-section assumption 杆件的任意横截面在杆件受力变形后 仍保持为平面,且与轴线垂直。
3. 应变分布 由平面假设,轴向应变分布是均匀的, 切应变等于零。 • 应力分布 • 由均匀性假设,横截面上的应力也是 • 均匀分布的,即各点应力相同。
σdA dA 5. 应力公式 由于切应变等于零,横截面上 τ = 0 因此,拉压杆横截面上只存在正应力。 静力学关系 ∴
F F F F F F ?
F F F F 二、圣维南(Saint-Venant)原理 原理:等效力系只影响荷载作用点附近局部 区域的应力和应变分布。 问题: 两杆横截面的正应力分布是否相同? 结论:无论杆端如何受力,拉压杆横截面的正应力均可用 下式计算:
变截面杆件的应力 A2 A3 F2 A1 F1 F3 D A B C B截面的轴力能否确定? B截面的应力能否确定? C截面的应力能否确定? 最大应力等于多少?
B 1 45º A C 2 F y FN1 x A 45° FN2 F 已知:A1= 1000 mm2, A2= 20000mm2, F = 100 kN 求:各杆横截面的应力 例题 ∑Fy= 0, FN1 sin45°-F = 0 解:⑴ 轴力计算 取结点A = 141.4 kN ∑Fx= 0, -FN1cos45°-FN2 = 0 FN2 =-FN1cos45° =-141.4 cos45° =-100 kN
B 45º A C F y FN1 x A 45° FN2 F FN1 = 141.4 kN FN2 =-100 kN 例题 ⑵ 应力计算
三、斜截面的应力 拉压杆横截面上没有切应力, 只有正应力, 斜截面上是否也是这样?
斜截面上的应力 k F k Pα F F α α k k k F α pα α k pα 横截面面积 A , 正应力σ =F/A , 斜截面面积 Aα =A/cosα 内力 Pα = F, 全应力为 将斜截面k-k上的全应力分解为正应力σ α和切应力τα, 则
k F α pα α k 可见,斜截面上既有正应力,也有切应力。 讨论 ⅰ α = 0 , σαmax= σ, τα = 0 ⅱ α =45° ,σα = σ/2 , ταmax = σ/2 ⅲ α = 90° , σα = 0 , τα = 0
F F F σ60 τ60 拉压杆的 任意截面上 应力随截面变化
结论与讨论 • 拉压杆横截面上的内力只有轴力, 因此,横截面上只存在正应力,没有切应力。 • 拉压杆横截面上的正应力是均匀分布的, 即 • 拉压杆的斜截面上一般既有正应力, 又有切应力。 正应力最大值位于横截面上,数值为 σ; 切应力最大值在与轴线成45°角的截面上, 数值为 σ/2.
问题 拉压杆内只有正应力,没有切应力,这种说法是否正确?说说理由。