1 / 55

統計學

統計學. 郭信霖 許淑卿. 第八章 估 計. ■ 8 - 1 統計推論之意義與種類 ■ 8 - 2 估計之基本概念 ■ 8 - 3 母體平均數  的估計 ■ 8 - 4 母體比例 p 的估計 ■ 8 - 5 母體變異數  2 的估計 ■ 8 - 6 兩母體平均數差  1 -  2 的估計 ■ 8 - 7 兩母體比例差 p 1 - p 2 的估計 ■ 8 – 8 兩母體變異數比 / 的估計 ■ 8 - 9 電腦範例 ■ 8-10 流程圖. 8-1 統計推論之意義與種類.

yazid
Download Presentation

統計學

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 統計學 郭信霖 許淑卿

  2. 第八章 估 計 ■ 8 - 1統計推論之意義與種類 ■ 8 - 2估計之基本概念 ■ 8 - 3母體平均數的估計 ■ 8 - 4母體比例p的估計 ■ 8 - 5 母體變異數2的估計 ■ 8 - 6 兩母體平均數差1-2的估計 ■ 8 - 7兩母體比例差p1-p2的估計 ■ 8 – 8 兩母體變異數比 / 的估計 ■ 8 - 9電腦範例 ■ 8-10流程圖

  3. 8-1 統計推論之意義與種類 統計推論主要的目的在根據樣本資料的訊息，對母體參數作估計或檢定有關母體假設。 傳統的統計推論分為：估計（Estimation）與假設檢定（Tests of hypothese）。

  4. 8-2 估計之基本概念 (一) 估計之意義 所謂估計，是指如何利用機率原理，決定以何種樣本統計量，推測母體未知參數最為適當的一種統計方法。 母體參數，以表示。 樣本統計量(或估計量，Estimator)，以 表示。通常以大寫的英文字母 ，如X，Y，Z等表示。 估計值（Estimate）將樣本的觀察值代入估計量，所得到的一個確定數值。通常以小寫的英文字母 ，如x、y、z等表示。

  5. (二) 估計之種類：點估計及區間估計兩種方式。(二) 估計之種類：點估計及區間估計兩種方式。 1. 點估計（Point Estimation）： 所用的統計量就稱為點估計量。 我們較常用的母體參數與點估計量（樣本統計量）、點估計值及點估計量有關抽樣分配之間的對應關係，如下表：

  6. /

  7. 優良點估計量的評判標準有二： 令表母體的未知參數，為一點估計量，而為的點估計值。 (1) 不偏性（Unbiasedness）： 若E() = ，則稱統計量為的不偏估計量（unbiased estimator）。 例如： • E( ) = ，E(Me) = ，E(S2) = 2，E( ) = p。 • 如果E( ) ，則偏誤= bias = E( ) - ，表示以 估計，具有偏誤，即是的有偏誤估計量，圖形如下。

  8. (2)有效性（Efficiency）： 若E( ) = ，i = 1, 2, …, k，則 Var( )就是 的最有效估計量（most efficient estimator）。 圖8-2 的抽樣分配

  9. 的三個不同估計量 ， ， 的抽樣分配，較為有效，故選為 的優良估計量。 對之 相對有效性（Relative Efficiency或R.E.）有下列表示方法： ( 1 )R.E. = 。 其中MSE( ) = E( -)2 = Var( ) + [Bias( )]2為 的均方誤差（mean square error）。 ( 2 )R.E. = 。

  10. 2. 區間估計（Interval Estimation）： 根據樣本資料所求得點估計值及其抽樣分配與機率原理，提供母體未知參數一個可能所在範圍的方法，稱為區間估計，其範圍稱之為信賴區間（Confidence Interval）。 在應用上，我們希望會包含參數的估計區間(T1 , T2)所佔的百分比(或機率值)至少為1 - ，即P(T1T2)≧1 -。

  11. 若(x1, x2…, xn)為隨機樣本(X1, X2…, Xn)的一組觀測值，則區間(t1, t2)謂之在信賴係數（confidence coefficient，或信賴度degree of confidence）100(1 - )%之下的信賴區間（confidence interval），t2與t1分別稱為信賴上限與信賴下限，而信賴區間（t1, t2）的長度為 = t2 - t1 • 根據相對次數的觀點而言，信賴係數可做如下解釋： • 若重覆從母體中，隨機抽出相同樣本大小為n的隨機樣本，則包含未知參數 的區間約佔全部的100(1 - )%，如圖8-3。

  12. 如何進行區間估計呢？其處理的步驟如下： (一) 選擇母體未知參數 的優良點估計量。 ( 1 ) 估計誤差= | - |。 ( 2 ) P ( | - | d ) 1 -，其中d稱為誤差界限。 (二) 找出樣本統計量的抽樣分配。如Z、t、2及F等分配。 (三) 配合抽樣分配在機率為1 -下的機率區間。如1 - = P。 最後，導出母體參數 的信賴區間。如1 -  = P(T1T2)。

  13. 估計的估計誤差 圖8-4

  14. 8-3 母體平均數的估計 (一) 的估計： 設從常態母體N(, 2)，2已知，隨機抽出一組大小為n的隨機樣本，X1, X2, …, Xn，則樣本平均數 抽樣分配為常態分配N 。 Z = ～N(0, 1)

  15. 1. 點估計量： 樣本平均數作為的點估計量。 2. 區間估計： ( I ) 常態母體的變異數2已知，則不論樣本大小，皆可採 用標準常態分配處理。 ～N ，則Z = ～N(0, 1)

  16. 圖8-5 2已知，的(1-)100%信賴區間

  17. 在信賴係數(1 - )100%下，的信賴區間為 可簡化為 z/2． = 點估計量  臨界值  點估計量的標準誤差 = 點估計量  抽樣誤差（或誤差界限）

  18. 由這個式子，可知的信賴區間由三個部分組成：由這個式子，可知的信賴區間由三個部分組成： (1) 點估計量 。 (2) 臨界值z/2。 點估計量的標準誤差 = 。 其中z/2 = z/2 稱為抽樣誤差（Sampling error）或誤差界限。

  19. ( II ) 任意母體變異數2未知，但n 30，根據中央極限定理（CLT），則以標準常態分配處理， Z = 在信賴係數(1 - )100%下，母體平均數之信賴區間為 或 簡化為 z/2

  20. ( III ) 常態母體變異數2未知且n < 30，則以t分配來處理， T = ~ t ( n – 1 ) 在信賴係數(1 - )100%下，的信賴區間為 ，v = n - 1。 【注意】 若自有限母體抽樣，其抽出率 不小於5%，則 樣本平均數 的變異數就變數Var( ) =  ，其中 稱為有限母體校正數。

  21. (二) 點估計的誤差與樣本大小 1. 估計誤差： 信賴係數為(1 -)100%下，當靠近信賴區間的信賴上、下限兩端點時，誤差的值達到極大值，故估計誤差| - |不大於z/2 ，如圖 圖8-7 的(1 - )100%信賴區間及以 估計的誤差 - | z/2 估計誤差= |

  22. 2. 樣本大小： (1) 由點估計量的誤差決定所需樣本大小若以 估計，為了達到信賴係數為(1 - )100%下，並使估計誤差不會超過指定的e值，則至少須隨機抽取多少樣本大小？ ∵ z/2 = z/2e n

  23. 若2未知時，須以S2代替2，則S2可依下列二種方法求得：若2未知時，須以S2代替2，則S2可依下列二種方法求得： 不抽取樣本，以過去經驗或統計資料估計樣本標準差S，代入公式，以求n。 預先試查隨機抽取大小為n1 30，計算樣本標準差S，代入公式，以求n。(a) 若n > n1，則補抽(n - n1)個樣本資料作估計。(b) 若n n1，則就以原n1個樣本資料作估計。

  24. (2)由信賴區間的長度決定所需樣本大小在信賴係數(1 -)100%下，的信賴區間為 z/2 ，在其信賴區間的長度不超過常數e時，至少須隨機抽取的樣本為 n 4

  25. B(1, p)，p未知 n … ( X1 , X2 , …………, Xn ) 8-4 母體比例p的估計 令X = X1 + X2 + … + Xn， 則樣本比例 = ，且E( ) = p，Var( ) =

  26. (一) 點估計量： = (二) 區間估計： 當np  5且nq  5時，根據CLT，可知X～N(np, npq)，則 = ～N或 Z = ～ N(0, 1)。 在信賴係數(1-)100%下，則信賴區間為 也可簡化為 z/2

  27. (三) 點估計誤差與樣本大小 1. 點估計誤差 圖8-9 p的(1 - )100% 信賴區間及以 估計p的誤差 - p|  z/2 ∴ 估計誤差 = |

  28. 2. 樣本大小 (1)點估計量的誤差決定所需樣本大小： z/2 e ， 則n 事實上，可依下列 三種方法求得： 不抽取樣本，而根據以往統計資料，猜測的大約值，代入公式，以求n。

  29. 預先試查隨機抽取樣本，其大小為n1 30，求得 值，代入公式，以求n。 (a) 若求出的n > n1，則補抽(n -n1)個樣本資料作估計。 (b) 若求出的nn1，則就以原n1個樣本資料作估計。 求n值的上界：因0 < < 1，由 = (1 - ) = - 當 = 時， 的值大值為 ，故樣本大小至多為 n =

  30. 由信賴區間的長度決定所需樣本大小若要求信賴區間的長度  不超過常數e時，則至少須隨機抽取多少樣本？ n = 4

  31. 8-5 母體變異數2的估計 當 已知 若2 = ～2(n)，v = n，其中S2 = ，則稱2為具有自由度v = n的卡分配，以2～2(n)表示。 (1) 點估計量：S2 =

  32. (2) 區間估計： 在信賴係數(1 - )100%下，2之信賴區間為 ， v = n 而之信賴區間為 ，v = n

  33. 當未知 若 = ～(n - 1)，其中S2 = ， = ，則稱為具有自由度v = n - 1的卡方分配，以～ (n - 1)表示 (1) 點估計量：S2 =

  34. (2) 區間估計： 在信賴係數(1 - )100%下， 2之信賴區間為 ，v = n - 1 而之信賴區間為 ，v = n - 1

  35. 8-6 兩母體平均數差1-2的估計 (一) 點估計量：統計量 - (二) 區間估計： 兩常態母體的變異數 , ，已知，則不論樣本大小，皆採用標準常態分配處理。在信賴係數(1-)100%之下，兩母體平均數差1 - 2的信賴區間為 ，

  36. 簡化為 ( - ) z/2 = 點估計量  臨界值  點估計量的標準誤差 = 點估計量  抽樣誤差（或誤差界限） 2. 從兩個未知，的獨立母體中，分別各抽出一組大樣本，n1 30，n2 30，則在信賴係數(1 - )100%下，兩母體平均數差1 - 2之信賴區間為

  37. 兩獨立常態母體變異數 及 未知，且n1 < 30，n2 < 30，則以t分配處理； ， 有兩種未知情形： (1) = = 2未知，且n1 < 30，n2 < 30 (2)  未知，且n1 < 30，n2 < 30 這兩種情況，皆為t分配處理。 (1) = = 2未知，且n1 < 30，n2 < 30 由t分配的定義，知 T = = ～ t(n1 + n2 - 2)

  38. 其中 = 為2的不偏估計量，稱為聯合樣本變異數（Pooled Sample Variance）。 在信賴係數(1 -)100%下，兩母體平均數差1 - 2之信賴區間為

  39. ※(2)  未知，且n1 < 30，n2 < 30此時由Welch，B.提出一個近似t分配，以 、 分別代替 、 ， 因此，T = ～ t (v)， 其中v = ，v不一定為整數，則以四捨五入表示。 在信賴係數(1 - )100%下，兩母體平均差1 - 2之信賴區間為

  40. 成對樣本時1 - 2的估計： 為了消除每對之間X1與Y1，X2與Y2, …, Xn與Yn的不獨立，可以它們之間的差異(Xi- Yi)來處理，即令Di= Xi- Yi，i = 1, 2, …, n

  41. = = ， 又E( ) = D， ) = Var( 則 ～ 。 圖8-14

  42. ( 1 ) 當n 30時，以 代替 ，根據CLT， 則Z = ～N(0, 1) 在信賴係數(1 -)100%下，成對樣本中兩母體平均數差1-2之信賴區間為 或 簡化為 z/2

  43. ( 2 ) 當n < 30時，以 代替 ， 則T = ～t(n - 1) 在信賴係數(1 - )100%下，成對樣本中兩母體平均數差1 - 2之信賴區間為 ，v = n-1 或簡化為 t/2(v) ，v = n- 1

  44. 8-7 兩母體比例差P1-P2的估計 • 點估計量：統計量 - = - • 區間估計： 當n1，n2甚大時，根據CLT，　　-　　的抽樣分配近似於常態分配 則 Z = ～N(0, 1)

  45. 在信賴係數(1 -)100%下，當n1, n2足夠大時，兩母體平均數差p1-p2之信賴區間為 也可簡化為 ( - ) z/2

  46. 8-8 兩母體變異數比 / 的估計 • 2 2 • 1 2 (一) 當1，2已知， / 的估計 F = = ~ F ( n1，n2 ) 1. 點估計量：統計量 /

  47. 2. 區間估計： 在信賴係數(1 - )100%下， / 之信賴區間為 ，v1 = n1，v2 = n2 而1/2之信賴區間為 ，v1 = n1，v2 = n2

  48. 2. 區間估計： 在信賴係數(1 - )100%下，/之信賴區間為 ，v1 =n1 - 1，v2 = n2 - 1 而1/2之信賴區間為 ，v1 = n1 - 1，v2 = n2 - 1

More Related