1 / 31

二、有限多重集的 r- 组合数 设多重集 S={n 1 ·a 1 ,n 2 ·a 2 ,…,n k ·a k }, n=n 1 +n 2 +…+n k ,

令 A i (i=1,2,3) 表示 D 的具有性质 P i (i=1,2,3) 的10-组合全体。则 S 的10-组合数等于. 二、有限多重集的 r- 组合数 设多重集 S={n 1 ·a 1 ,n 2 ·a 2 ,…,n k ·a k }, n=n 1 +n 2 +…+n k , 当 r<n, 且存在某个 n i <r 时, S 的 r- 组合数没有一般的求解方法,但可利用容斥原理予以解决 例:求 S={3·a,4·b,5·c} 的10-组合数。 解:把容斥原理应用到多重集 D={  ·a,  ·b,  ·c} 的所有10-组合的集合 Y 上,

yen-doyle
Download Presentation

二、有限多重集的 r- 组合数 设多重集 S={n 1 ·a 1 ,n 2 ·a 2 ,…,n k ·a k }, n=n 1 +n 2 +…+n k ,

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. 令Ai(i=1,2,3)表示D的具有性质Pi(i=1,2,3)的10-组合全体。则S的10-组合数等于令Ai(i=1,2,3)表示D的具有性质Pi(i=1,2,3)的10-组合全体。则S的10-组合数等于 • 二、有限多重集的r-组合数 • 设多重集S={n1·a1,n2·a2,…,nk·ak}, n=n1+n2+…+nk, • 当r<n,且存在某个ni<r时,S的r-组合数没有一般的求解方法,但可利用容斥原理予以解决 • 例:求S={3·a,4·b,5·c}的10-组合数。 • 解:把容斥原理应用到多重集D={·a, ·b, ·c}的所有10-组合的集合Y上, • 则S的10-组合全体即为Y的子集。 • 令P1表示D的10-组合中多于3个a这一性质, • P2表示D的10-组合中多于4个b这一性质, • P3表示D的10-组合中多于5个c这一性质, 考察A1:A1是D的10-组合中多于3个a的组合全体, 即A1是D的10-组合中a至少出现4个的组合全体。 对A1的任一10-组合中拿走4个a,就是D的6-组合。 对D的任一6-组合,加入4个a,就是a至少出现4个的10-组合,所以|A1|就是D的6-组合数,即 |A1|=C(3+6-1,6)=C(8,6)=C(8,2),

  2. 考察A2:A2是D的10-组合中多于4个b的组合全体 • 即A2是D的10-组合中b至少出现5个的组合全体 • 对A2的任一10-组合中拿走5个b,就是D的5-组合。 • 对D的任一5-组合,加入5个b,就是b至少出现5个的10-组合, • 所以|A2|就是D的5-组合数,即 • |A2|=C(3+5-1,5)=C(7,5)=C(7,2), • 考察A3:A3是D的10-组合中多于5个c的组合全体, • 即A3是D的10-组合中c至少出现6个的组合全体 • 对A3的任一10-组合中拿走6个c,就是D的4-组合。 • 对D的任一4-组合,加入6个c,就是c至少出现6个的10-组合, • 所以|A3|就是D的4-组合数,即 • |A3|=C(3+4-1,4)=C(6,4)=C(6,2),

  3. 考察A1∩A2:A1∩A2是D的10-组合中多于3个a和多于4个b的组合全体,考察A1∩A2:A1∩A2是D的10-组合中多于3个a和多于4个b的组合全体, • 即A1∩A2是D的10-组合中a至少出现4个且b至少出现5个的组合全体。 • 对A1∩A2的任一10-组合中拿走4个a和5个b就是D的1-组合。 • 对D的任一1-组合,加入4个a和5个b,就是a至少出现4个且b至少出现5个的10-组合, • 所以|A1∩A2|就是D的1-组合数,即 • |A1∩A2|=C(3+1-1,1)=C(3,1),

  4. 考察A1∩A2∩A3:A1∩A2∩A3是D的10-组合中多于3个a、多于 4个b和多于5个c的组合全体, 即A1∩A2∩A3是D的10-组合中a至少出现4个,b至少出现5个且c至少出现6个的组合全体, 这样的组合是不存在的。 所以|A2∩A3|=| A1∩A2∩A3|=0。 因此 • 考察A1∩A3:A1∩A3是D的10-组合中多于3个a和多于5个c的组合全体, • 即A1∩A3是D的10-组合中a至少出现4个且c至少出现6个的组合全体。 • 对A1∩A3的任一10-组合中拿走4个a,6个c就是D的0-组合。 • 所以|A1∩A3|就是D的0-组合数,即 • |A1∩A3|=1, • 考察A2∩A3:A2∩A3是D的10-组合中多于4个b和多于5个c的组合全体, • 即A2∩A3是D的10-组合中b至少出现5个且c至少出现6个的组合全体, • 这样的组合是不存在的。

  5. 例:求x1+x2+x3=5(0x12,0x22,1x35)的整数解个数。例:求x1+x2+x3=5(0x12,0x22,1x35)的整数解个数。 • 解:将约束条件一律改为0。 • 令x3'=x3-1, • 则原问题即为求在约束条件0x12, 0x22,0x3'4下x1+x2+x3'=4的整数解个数。 • 此问题与多重集S={2·a,2·b,4·c}的4-组合数相同。 • 把容斥原理应用到多重集D={·a,·b,·c}的所有4-组合的集合Y上,则S的4-组合全体即为Y的子集。

  6. 令P1表示D的4-组合中多于2个a这一性质,P2表示D的4-组合中多于2个b这一性质,P3表示D的4-组合中多于4个c这一性质,令Ai(i=1,2,3)表示D的具有性质 Pi(i=1,2,3)的 4-组合全体。则4-组合数等于

  7. 考察A1:A1是D的4-组合中多于2个a的组合全体, • 即A1是D的4-组合中a至少出现3个的组合全体。 • 对A1的任一4-组合中拿走3个a,就是D的1-组合。 • 又对D的任一1-组合,加入3个a,就是a至少出现3个的4-组合, • 所以|A1|就是D的1-组合数,即 • |A1|=C(3+1-1,1)=C(3,1), • 考察A2:A2是D的4-组合中多于2个b的组合全体, • 即A2是D的4-组合中b至少出现3个的组合全体。 • 对A2的任一4-组合中拿走3个b,就是D的1-组合。 • 对D的任一1-组合,加入3个b,就是b至少出现3个的4-组合, • 所以|A2|就是D的1-组合数,即 • |A2|=C(3+1-1,1)=C(3,1),

  8. 考察A3:A3是D的4-组合中多于4个c的组合全体 • 即A3是D的4-组合中c至少出现5个的组合全体, • 这样的组合是不存在的。即|A3|=0 • 考察A1∩A2:A1∩A2是D的4-组合中多于2个a和多于2个b的组合全体, • 即A1∩A2是D的4-组合中a至少出现3个且b至少出现3个的组合全体。 • 这样的组合是不存在的。即|A1∩A2|=0, • 类似可以知道|A1∩A3|=|A2∩A3|=| A1∩A2∩A3|=0。 • 因此

  9. 三、错位问题 • 现在考虑这样的问题:在书架上有5本书,把它们全部拿下来,然后再放回去,要使得没有一本在原来位置上,有多少种放法? • 这就是错位排列问题。 • 定义:设集合S={1,2,…,n},如果S的一个排列,i1,i2,…,in,满足i11,i22,…,inn,则称该排列是S的一个错位排列。S的所有错位排列数记为Dn。 • 当n=1时,只有一个数,不存在错位,所以D1=0; • 当n=2时,1,2错位,只能排成2,1,所以D2=1; • 当n=3时,1,2,3错位,可排成2,3,1,或3,1,2,所以D3=2;

  10. 定理:对于n1,有 证明:设S={1,2,…,n},用X表示S的所有排列集合,则|X|=n!。 对于j=1,2,…,n,规定在一个排列中,如果j在第j个位置上,则该排列具有性质pj。 令Aj表示具有性质pj的所有排列集合。 则S的错位排列全体是:

  11. 例:(1)重新排列1,2,…,8,9,使得偶数在其自然顺序位置上,而奇数不在其自然顺序位置上,问满足这样要求的排列个数是多少?例:(1)重新排列1,2,…,8,9,使得偶数在其自然顺序位置上,而奇数不在其自然顺序位置上,问满足这样要求的排列个数是多少? • (2)若要求只有4个数在原来位置上,又有多少种排列个数? • 解:(1)偶数在原来位置上,因此仅是把1,3,5,7,9重新排列问题, • 现要求奇数错位,因此是5个元素错位排列问题, • 所以D5=44。 • (2)在1,2,…,8,9中,只有4个数在原来位置上, • 对于确定的4个数,实质上是对其余5个数的错位排列问题。 • 而哪4个数在原来位置上,则是从{1,2,…,8,9}中无序选取4个数,所以有C(9,4)。 • 由乘法原理得所求排列数是C(9,4)D5=5544

  12. 2、相邻禁位排列问题 • 定义:设集合S={1,2,…,n},如果S的一个排列的任何两个相邻位置上不出现i,i+1(i=1,2,…,n)的模式,则称该排列是S的一个相邻禁位排列。S的所有相邻禁位排列数记为Qn。 • 当n=1时,只有一个数,当然不相邻,所以Q1=1; • 当n=2时,只能排成2,1,所以Q2=1; • 当n=3时,可排成1,3,2或2,1,3,或3,2,1,所以Q3=3;

  13. 定理:对任意的正整数n,有 • Qn=n!-C(n-1,1)(n-1)!+C(n-1,2)(n-2)!-…+(-1)n-1C(n-1,n-1)0! • 证明:设S={1,2,…,n},用X表示S的所有排列集合,则|X|=n!。 • 对于j=1,2,…,n,规定在一个排列中,有j(j+1)出现,则该排列具有性质pj。 • 令Aj表示具有性质pj的所有排列集合。 • 则S的相邻禁位排列全体是:

  14. 例:8人一列行走一天,现要变换位置,使得第2天行走时,没有一个人的前面是第一天在他前面的人,求变换位置方式数.例:8人一列行走一天,现要变换位置,使得第2天行走时,没有一个人的前面是第一天在他前面的人,求变换位置方式数. • 解:把这些人用1,2,3,4,5,6,7,8按第一天的位置编号,排在最后的为1,排在首位的为8,则所求问题就是8个数的相邻禁位排列问题,所以Q8=8!-C(7,1)(7)!+C(7,2)(6)!- C(7,3)(5)!+C(7,4)(4)!-C(7,5)(3)!+C(7,6)(2)!-C(7,7)1!。 • 相邻禁位排列与错位排列之间有着密切的联系: • Qn=Dn+Dn-1

  15. 3. 相邻禁位环排列问题 • 定义:设集合S={1,2,…,n},如果S的一个环排列的任何两个相邻位置上不出现i,i+1(i=1,2,…,n)的模式,并且也没有出现n,1的模式,则称该环排列是S的一个相邻禁位环排列。S的所有相邻禁位环排列数记为An。 • 当n=1时,只有一个数,当然不相邻,所以A1=1; • 当n=2时,无法满足要求,所以A2=0;

  16. 定理:对任意的正整数n,有 • An=(n-1)!-C(n,1)(n-2)!+C(n,2)(n-3)!-…+(-1)n-1C(n,n-1)0!+(-1)nC(n,n)1! • 例:8个小孩坐在旋转的木马上,,如果让他们交换位置,使得每个小孩前面都不是原来在他前面的孩子,问有多少种变换位置方式? • 解:把这些孩子用1,2,3,4,5,6,7,8编号,则所求问题就是8个数的相邻禁位环排列问题,所以Q8=7!-C(8,1)(6)!+C(8,2)(5)!-C(8,3)(4)!+C(8,4)(3)!-C(8,5)(2)! +C(8,6)1! -C(8,8)1!=1625。

  17. 第十二章 生成函数与递推关系 生成函数(称为母函数)是组合数学中的一个重要内容,可用来求解组合计数问题。

  18. 12.1幂级数型生成函数 • 在前面讨论多重集S={n1·a1,n2·a2,…, nk·ak}(n=n1+n2+…+nk})的r-组合数时, • 当对一切i=1,2,…,k有nir时,有计算公式N=C(k+r-1,r); • 当r<n,且存在某个ni<r,利用容斥原理予以解决。

  19. 利用下面的组合模型来模拟多重集的r-组合数 • 设有n个标志为1,2,…,n的网袋,第i个(i=1,2,…n)网袋里放有ni个球 • (不同网袋里的球是不同的,同一网袋里的球则是没有差别的,认为是相同的)。 • 因此多重集S的一个6-组合{a1a1a3a3a3a4}就相应于从第1个网袋里取2个球,第3个网袋里取3个球,第4个网袋里取1个球。 • 反之,从第1个网袋里取2个球,第3个网袋里取3个球,第4个网袋里取1个球。就对应了S的一个6-组合a1a1a3a3a3a4。 • 一般地,多重集S的r-组合数就等于从n个网袋里取r个球的取法数。

  20. 现在用x代表球,xi1代表从第1个网袋里取i1个球,xi2代表从第2个网袋里取i2个球,…, xik代表从第k个网袋里取ik个球。 • i1,i2,…,ik个满足条件i1+i2+…+ik=r (ijnj,j=1,2,…,k)。 • 故xi1xi2…xik= xi1+i2+…+ik=xr就对应了多重集S的一个r-组合。 • 因为给出1个xr的构成就等于给出了多重集S的一个r-组合, • 所以xr的系数就是多重集S的r-组合数。 • 利用上述方法就得到了求组合数的方法,就称为生成函数法。

  21. 定义12.1:设a0,a1,…,an,…是一个数列,构造形式幂级数f(x)=a0+a1x+a2x2+…+ anxn+…,称f(x)是数列a0,a1,…,an,…的生成函数,且两个形式幂级数 相等当且仅当对每个i,有ai=bi。 对于有限序列,可看成自某项后全为0的无穷序列。 为什么称为形式幂级数? 作为幂级数要讨论它们的收敛范围, 即当x在收敛范围内取值时,幂级数才会收敛于某个函数f(x)。 而这里,x仅是记号,并不需要赋值, 也不需要考虑收敛范围,故称为形式幂级数,而x也称为形式变元。

  22. 定理12.1:设数列{an},{bn},{cn}的生成函数分别是 f(x),g(x)和h(x),r为常数。 • (1)如果bn=ran,则g(x)=rf(x)。 • (2)如果cn=an+bn,则h(x)=f(x)+g(x)。

  23. (8)如果bn=rnan,则g(x)=f(rx)。 (9)如果bn=nan,则g(x)=xf '(x)。 证明略。

  24. 例:(1)设有质量分别为n1克,n2克,…,nk克的k个砝码。现要用天平称i克的物体,物体放在左边,砝码放在右边,共有多少种不同称法?例:(1)设有质量分别为n1克,n2克,…,nk克的k个砝码。现要用天平称i克的物体,物体放在左边,砝码放在右边,共有多少种不同称法? • 解:设有ai种方法称i克物体。则{ai}的生成函数为 • (1+xn1)(1+xn2)…(1+xnk)。 • 该展开式中的xi幂来源于xm1xm2…xmk=xi, • m1+m2+…+mk=i,mj{0,nj}。 • 其中第一个括弧提供m1次幂, • 第二个括弧提供m2次幂,…, • 第k个括弧提供mk次幂, • mj=0表示nj克砝码没有用上,mj=nj表示nj克砝码用上了, • 因此展开式中xi的系数恰好是称i克物体的方法数,故有:

  25. (2)用质量分别为1克,2克,4克,8克,16克的5个砝码,在天平上能称几种质量的物体?每种质量的物体有几种不同的称法?(2)用质量分别为1克,2克,4克,8克,16克的5个砝码,在天平上能称几种质量的物体?每种质量的物体有几种不同的称法? • 解:设质量r克物体有ar种称法,则数列{ar}的生成函数是 f(x)=(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)(1+x16), • (1+x)表示砝码为1克的或者不取或者取,取了就是1克, • 1+x16表示砝码为16克的或者不取或者取,取了就是16克) • (1-x)f(x)=(1-x)(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)(1+x16) =1-x32。 • 所以f(x)=(1-x32)/(1-x)=1+x+x2+…+x31。 • 因为xi前面系数都是1,这表明凡是不超过31克的物体都能用给定的5个砝码称出,且每个恰有一种称法。

  26. (3)用2个质量为1克,3个质量为2克,2个质量为5克的砝码在天平上能称几种质量的物体?且每种质量的物体有几种不同的称法?(3)用2个质量为1克,3个质量为2克,2个质量为5克的砝码在天平上能称几种质量的物体?且每种质量的物体有几种不同的称法? • 解:设质量r克物体有ar种称法,则数列{ar}的生成函数是f(x)=(1+x+x2)(1+x2+(x2)2+(x2)3)(1+x5+(x5)2)) • =1+x+2x2+x3+2x4+2x5+3x6+3x7+2x8+2x9+2x10+3x11+3x12+2x13+ 2x14+x15+2x16+x17+x18。 • 这表明凡是质量不超过 18 克的物体都能用给定的砝码称出。 • 其中质量为 1,3,15,17,18克的只有一种称法, • 质量为 2,4,5,8,9,10,13,14,16克的物体有2种称法,质量为 6,7,11,12克的物体有3种称法。 • 从上例中看出用生成函数可比较容易地解决一些计数问题。 • 下面用生成函数来求多重集的r-组合数。

  27. 因此展开式中yr的系数对应了不定方程x1+x2+…+xk=r的非负整数解的个数。故所构造的幂级数就是{ar}的生成函数 f(y)。由推论11.4可得: • 例:设多重集S={·a1,·a2,…, ·ak},S的r-组合数是ar=C(r+k-1,r),它也是方程x1+x2+…+xk=r的非负整数解的个数。 • 现用生成函数的方法求ar。 • 设{ar}的生成函数为f(y), • 构造幂级数(1+y+y2+…)k, • (1+y+y2+…)表示ai可以不取,取1个,2个…, • 把幂级数(1+y+y2+…)k展开后, • yr幂来源于yx1yx2…yxk=yx1+x2+…+xk,x1+x2+…+xk=r, • 其中 yx1来自第一个因式(1+y+y2+…), • yx2来自第二个因式(1+y+y2+…),…, • yxk来自第k个因式(1+y+y2+…),且x1,x2,…,xk为非负整数。 所以ar=C(k+r-1,r) 设多重集S={n1·a1,n2·a2,…,nk·ak},S的r-组合数ar就相当于方程x1+x2+…+xk=r(x1n1,x2n2,…,xknk}的非负整数解的组数。 设{ar}的生成函数为f(y),类似可以得到: f(y)=(1+y+y2+…+yn1)(1+y+y2+…+yn2)…(1+y+y2+…+ynk), 则 f(y)的展开式中yr的系数ar就是所求的S的r-组合数。

  28. 例:设S={·a1,·a2,…, ·ak},求S的每个元素只出现偶数次的r-组合数ar。 • 解:令{ar}的生成函数是f(y),因为要求S的每个元素只出现偶数次,则对a1来讲,或者不出现,或者是2,4,6,…其他也类似。故生成函数为: • f(y)=(1+y2+y4+…)k=1/(1-y2)k • =1+ky2+C(k+1,2)y4+…+C(k+n-1,n)y2n+… • 所以有

  29. 例:求S={3·a,4·b,5·c}的10-组合数a10。 • 令{ar}的生成函数是f(y), • 则 • f(y)=(1+y+y2+y3)(1+y+y2+y3+y4) (1+y+y2+y3+y4+y5) • =1+3y+6y2+10y3+14y4+17y5+18y6+17y7+14y8+ 10y9+6y10+3y11+y12 • 所以10-组合数是6, • 事实上我们已求得S的所有r-组合数。 • 同样,用生成函数的方法也可求解不定方程的整数解组数。

  30. 例:求x1+x2+x3=5(0x1,0x2,1x3)的整数解组数。例:求x1+x2+x3=5(0x1,0x2,1x3)的整数解组数。 • 解:令x3'=x3-1, • 则原问题即为求在约束条件 0x1,0x2,0x3‘下x1+x2+x3’=4的非负整数解组数。 • 解的组数为a4,{ar}的生成函数是 所以有a4=C(4+2,4)=15。

  31. 作业: • P238:35, 36(2),37,39,40 • P253:2,5

More Related