Matematikai háttér Probability theory and statistics Time interval distributions Arrival processes

2. Bevezetés 1. Matematikai háttér • Probability theory and statistics • Time interval distributions • Arrival processes • The Poisson process Az angol megnevezések megismerése is célkitűzés Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

3. Bevezetés 2. • A Poisson folyamat a legfontosabb pont-folyamat. • amint vv-k összegezése  központi határeloszlás tétel  normális eloszlás • úgy sztochasztikus pontfolyamatok szuperpozíciója  exponenciális eloszlás • A Poisson folyamat a leginkább véletlenszerű folyamat • Fizikai modell  matematikai leírás • Tulajdonságok • Megszakított (interrupted) Poisson folyamat Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

4. Alapvető tulajdonságok Már láttuk: • Stacionárius (k esemény bekövetkezésének valószínűsége csak az időtartam hosszúságától függ.) • Független(Minden időpontra  emlékezet nélküliség) • Egyszerű (Egy időpontban egyetlen esemény.) Nem okvetlenül szükséges. Lehet időtől függő intenzitás. b) és c) alapján levezethetők további tulajdonságok: Darabszám szemlélet  Események száma rögzített hosszúságú idő intervallumban Poisson eloszlású. Időtartam szemlélet  Két egymást követő esemény közötti időtartam eloszlása exponenciális eloszlású. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

5. Kapcsolódó eloszlások 1. Levezetés fizikai modell alapján: t 0 Az igények véletlenül, a többi igénytől függetlenül érkeznek. Igények gyakorisága , azaz  igény érkezik időegységenként. Egy adott igény-elrendezés (pattern) megjelenése valamely idő intervallumban független az intervallum helyétől a t tengelyen. Jelölés: p(υ, t) annak valószínűsége, hogy υ esemény következik be a t hosszúságú idő intervallumban. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

6. Kapcsolódó eloszlások 2. A t1 és t2intervallumok értelmezése Definíciók (nem levezetés !):  1. Függetlenség miatt Két egymást követő igény közötti távolság várható hosszúsága  2. p(0,t) annak valószínűsége, hogy a (0,t) intervallumban nem érkezik igény, azaz az első igény érkezéséig eltelő idő hosszabb mint t. Ezért: 3. és 4. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

7. 1. 2. -ből -ből Kapcsolódó eloszlások 3. Az 1.- 4. tulajdonságok alapján p(0,t) meghatározható. Kimutatható, hogy [1 - (p(0,t)] exponenciális eloszlású. Lépések: Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

8. Kapcsolódó eloszlások 4. p(0,t) annak valószínűsége, hogy a következő igény több mint t idő múlva érkezik. Ebből: Továbbá: Annak valószínűsége, hogy a (t, t+dt) intervallumban igény érkezzék = dt, nem függ t-től. Nincs emlékezet. Első következményExponenciális eloszlás (éskapcsolódó Poisson folyamat) az eredmény. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

9. Kapcsolódó eloszlások 5. Az az időtartam, amíg pontosan kigény érkezik k darab IID exponenciális eloszlású vv. összege. Ez az Erlang-k eloszlás. <- Második következmény Az összefüggés érvényessége teljes indukcióval bizonyítható. Ha k=1, akkor az exponenciális eloszlást kapjuk. Statisztikai szempontból az Erlang-k eloszlás speciális gamma eloszlás Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

10. Kapcsolódó eloszlások 6. Példa: Számítás. Részletek a jegyzetben. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

11. Kapcsolódó eloszlások 7. Az előzőekből már következik, hogy a rögzített t idő-intervallumban beérkező igények száma Poisson eloszlású. Feltételezés: 0 t1 t1+ dt1 t (a) (b) (c) Az idő-intervallumokban bekövetkező események függetlenségének feltételezése alapján  Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

12. Kapcsolódó eloszlások 8. Továbbá: Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

13. Kapcsolódó eloszlások 9. Ez az előző három valószínűség szorzatának integrálja  Harmadik következmény A Poisson eloszlás jó modell a távközlésben megjelenő hívásokhoz vagy számítógépes rendszerekben jelentkező „job”-okhoz. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

14. Kapcsolódó eloszlások 10. Number of Internet dial-up calls per second. Számítás. Részletek a jegyzetben. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

15. Eredmények A vázolt fizikai modell alapján: • A beérkező igények közötti időszakasz eloszlása exponenciális • A pontosan k igény beérkezéséhez szükséges időszakasz Erlang-k eloszlású • A rögzített hosszúságú t idő alatt beérkező igények száma Poisson eloszlású és várható értékük t. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

16. Slotted ALOHA Satellite System Felajánlott és átvitt forgalom viszonya. (Számítási példa részletei jegyzetben/gyakorlaton.) Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

17. Poisson folyamat kockadobásból 1. • Poisson folyamat levezethető a • binomiális folyamatból, ha • kísérletszám n ∞ • sikervalószínűség p 0 • n.p állandó Összehasonlítások: Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

18. Poisson folyamat kockadobásból 2. Emlékezete egyik eloszlásnak sincs !! Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

19. Poisson folyamat kockadobásból 2a. A geometriai eloszlás várható értékének számítása: Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

20. Poisson folyamat kockadobásból 3. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

21. Poisson folyamat kockadobásból 4. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

22. Poisson folyamat tulajdonságai 1. Palm tétel – Superposition theorem (Analóg a központi határeloszlás tétellel.) Palm’s theorem: by superposition of many independentpoint processes theresulting total process will locally be a Poisson process. locally – a vizsgált idő-intervallumok olyan rövidek, hogy minden folyamat legfeljebb egyetlen eseménnyel járul hozzá az összetett folyamathoz. – Csak egyszerű pont folyamatokra érvényes Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

23. Poisson folyamat tulajdonságai 2. Palm tétel szemléltetése Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

24. Poisson folyamat tulajdonságai 3. • Bizonyítás menete: • n folyamat összesítése a teljes folyamatba, • az időegység alkalmas megválasztásával a beérkezések közötti átlagos időtartam a teljes folyamatban n-től függetlenül állandó, • valamely véletlen időponttól a következő beérkezés a teljes folyamatra: ….. Részletek a jegyzetben. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

25. Poisson folyamat tulajdonságai 4. Raikov tétel – Decomposition theorem Raikov’s theorem: by a random decomposition of a point process into sub-processes,the individual sub-process converges to a Poisson process, when the probabilitythat an event belongs to the sub-process tends to zero. Felbontás véletlenszerűen. Ha az alfolyamatban n-szer kevesebb esemény van, akkor n-szeresen lehet összenyomni az időtengelyeket. Véletlen áthelyezés – translation. Ha az áthelyezés minden eseményre véletlenszerű, akkor  Poisson folyamathoz. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

26. Poisson folyamat tulajdonságai 5. We have seen that a uniform distribution in a very large interval corresponds to a Poisson process. The inverse property is also valid. If for a Poisson process we have n arrivals within an interval of duration t,then these arrivals are uniformly distributed within this interval. The length of this interval can itself be a random variable if it is independent of the Poissonprocess. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

27. Poisson folyamat általánosítása 1. • IPP – Interrupted Poisson process • MMPP – Markov Modulated Poisson Process • MAP – Markov Arrival Process A Poisson folyamat nagyon könnyen alkalmazható. Egyes esetekben azonban nem elegendő a tényleges folyamatok leírására, mert csak egyetlen paramétere van. A IPP-t elterjedten alkalmazzák. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

28. Poisson folyamat általánosítása 2. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

29. Poisson folyamat általánosítása 3. A kapcsolót két állapotú Markov folyamat vezérli. A beérkezés a túlcsordulási nya- lábhoz Onvagy Off állapotban lévő Poisson folyamat. Paraméterek Olyan mint egy hiper-exponenciális beérkezési folyamat. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.

30. Poisson folyamat általánosítása 4. Feltételezés: az On és Off idő-intervallumok közelítésként exponenciális eloszlásúak γ és ω intenzitással Paraméterek viszonya: A kétfázisú hiper-exponenciális eloszlás Cox-2 eloszlássá alakítható át. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 17.