第二章随机变量

第二章随机变量 第一节随机变量及其分布函数第二节离散型随机变量及其分布第三节　连续型随机变量及其分布第四节　随机变量函数的分布

定义2:设X是一随机变量，x为任意实数，函数 称为随机变量X的分布函数。第一节随机变量及其分布函数定义1: 上一页下一页返回

由概率的 连续性得：上一页下一页返回

例1： 口袋里装有3个白球2个红球，从中任取三个球，求取出的三个球中的白球数的分布函数解：设X表示取出的3个球中的白球数。X的可能取值为1，2，3。而且由古典概率可算得上一页下一页返回

于是，X的分布函数为： 上一页下一页返回

例2: 考虑如下试验：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标X。那么X是一随机变量，根据试验条件可以认为X取到[0，1]上任一点的可能性相同。求X的分布函数。解：由几何概率的计算不难求出X的分布函数当x<0时所以：上一页下一页返回

设离散型随机变量X的可能取值为xk (k=1,2,…),事件发生的概率为pk ,即称为随机变量X的概率或分布律。第二节离散型随机变量及其分布如果随机变量所有的可能取值为有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。 X x1　　x2…　xk… 分布律常用表格形式表示如下： pkp1　　p2…　pk… 上一页下一页返回

分布律的两条基本性质： 上一页下一页返回

因此Ｘ　０　１　２ a p （１）确定常数a的值;（２）求Ｘ的分布函数解：（１）由分布律的性质知上一页下一页返回

（2）由分布函数计算公式易得Ｘ的分布函数为：（2）由分布函数计算公式易得Ｘ的分布函数为：上一页下一页返回

若在一次试验中X只可能取x1或x2两值(x1<x2),它的概率分布是则称X服从两点分布。两点分布当规定x1=0,x2=1时两点分布称为（0－1）分布。简记为X~(0-1)分布。上一页下一页返回

二项分布 若离散型随机变量X的分布律为其中0<p<1, 称X服从参数为n,p的二项分布，记为X~b(n,p)。上一页下一页返回

　　在n重贝努里试验中，假设A在每次试验中出现的概率为p，若以X表示n次试验中A出现的次数。那么由二项概率公式得X的分布律为：　　在n重贝努里试验中，假设A在每次试验中出现的概率为p，若以X表示n次试验中A出现的次数。那么由二项概率公式得X的分布律为：即X服从二项分布。当n=1时，二项分布化为： P{X=k}=pk(1-p)1-k 　 k=0,1 　即为（0－1）分布（0－1）分布可用b(1，p)表示。上一页下一页返回

例４： 某交互式计算机有10个终端，这些终端被各个单位独立使用，使用率均为0.7，求同时使用的终端不超过半数的概率。解：设X表示10个终端中同时使用的终端数，则X~b(10,0.7)。所求的概率为：在涉及二项分布的概率计算时，直接计算很困难时，采用了近似计算。下面给出近似公式：上一页下一页返回

泊松定理设 λ>0是一常数，n是任意整数，设npn=λ，则对任意一固定的非负整数k，有证明上一页下一页返回

从而其中λ=np。在实际计算中，当时用　　（λ=np）作为　的近似值效果很好。而当时效果更佳。的值有表可查。定理的条件npn=λ，意味着n很大时候pn必定很小。因此当n很大，p很小时有近似公式上一页下一页返回

例5： 有同类设备300台，各台工作状态相互独立。已知每台设备发生故障的概率为0.01，若一台设备发生故障需要一人去处理，问至少需要配备多少工人，才能保证设备发生故障而不能及时修理的概率小于0.01？解：设X表示同一时刻发生故障的设备台数，依题意知 X~(300,0.01)，若配备N位维修人员，所需解决的问题是确定最小的N，使得：P{X>N}<0.01 （λ=np=3）查表可知，满足上式最小的N是8。至少需配备8个工人才能满足要求。上一页下一页返回

设随机变量X的所有可能取值为0,1,2…,而取各值的概率为其中λ>0为常数,则称X服从参数为的泊松分布，记为X~ ()。上式给出的概率满足：pk=P{X=k}0, 且泊松(Poisson)分布上一页下一页返回

例6: 放射性物质在规定的一段时间内，其放射的粒子数X服从泊松分布。罗瑟福和盖克观察与分析了放射性物质放出的粒子个数的情况。他们做了2608次观察（每次时间为7.5秒），整理与分析如表所示: 上一页下一页返回

粒子数k 观察到的次数Mk 频率按泊松分布计算的概率 0 57 0.022 0.021 1 203 0.078 0.081 2 383 0.147 0.156 3 525 0.201 0.201 4 532 0.204 0.195 5 408 0.156 0.151 6 273 0.105 0.097 7 139 0.053 0.054 8 45 0.017 0.026 9 27 0.010 0.011 16 0.006 0.007 总计 2608 0.999 1.000 上一页下一页返回

设想把体积为V的放射性物质分割为n份相同体积 △V的小块，并假定：（1）对于每个小块，在1秒内放出一个粒子数的概率p为其中μ>0是常数（与n无关且与每小块的位置无关）。分析推导放射的粒子数为何服从泊松分布考虑单位时间1秒内放射出的粒子数X。在1秒内放出两个或两个以上粒子的概率为0 （2）各小块是否放出粒子,是相互独立的。上一页下一页返回

由泊松定理知 其中在这两条假定下，1秒内这一放射性物质放出k个粒子这一事件，可近似看作该物质的n个独立的小块中，恰有k小块放出粒子。放出k个粒子的概率：其中P{X=k}是随n而变的，它是一个近似式。把物质无限细分，得到 P{X=k}的精确式，即上一页下一页返回

定义3:设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f(t),使得对于任意实数x，有定义3:设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f(t),使得对于任意实数x，有则称X为连续型随机变量，称f(t)为X的概率密度函数，简称概率密度或分布密度。（4）若x为f(x)的连续点，则有第三节连续随机变量及其分布概率密度f(x)具有以下性质：上一页下一页返回

图１图２由性质（2）知：介于曲线y=f(x)与Ox轴之间的面积等于1（见图1）。由性质（3）知： X落在区间（x1,x2）的概率等于区间（x1,x2）上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积（见图2）。由性质（4）知：若已知连续型随机变量X的分布函数F(x)求导得概率密度f(x)。上一页下一页返回

(1)若X为具有概率密度f(x)的连续型随机变量。则有(1)若X为具有概率密度f(x)的连续型随机变量。则有如果x0为f(x)的连续点，有（2）若X为连续型随机变量，由定义知X的分布函数F(x)为连续函数（注意：反之不然）。X取一个点a的概率为零，事实上两点说明 f(x)在x0处的函数值f(x0)反映了概率在x0点处的“密集程度”，而不表示X在x0处的概率。设想一条极细的无穷长的金属杆，总质量为1，概率密度相当于各点的质量密度。

概率为零的事件不一定是不可能事件； 概率为1的事件不一定是必然事件。在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半开半闭区间，即有事件{X=a} 并非不可能事件上一页下一页返回

求：（1）常数a；（2） （3）X的分布函数F（x）（1）由概率密度的性质可知例1：设随机变量X具有概率密度解：所以 a＝1/2 上一页下一页返回

均匀分布 设连续型随机变量X的概率密度函数为则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为X~U(a,b)， X的分布函数为：上一页下一页返回

概率密度函数f(x)与分布函数F(x)的图形可用图示概率密度函数f(x)与分布函数F(x)的图形可用图示上一页下一页返回

指数分布 设连续型随机变量X具有概率密度则称X服从参数为的指数分布。 X的分布函数为上一页下一页返回

f(x)和F(x)可用图形表示 上一页下一页返回

设随机变量X的概率密度为 其中 ,(>0)为常数,则称X服从参数为 , 的正态分布或高斯分布,记为X~N(,2). X的分布函数为利用可以证明，正态分布上一页下一页返回

（1）最大值在x=μ处，最大值为 ; （2）曲线y=f(x)关于直线x= μ对称，于是对于任意h>0，有（3）曲线y=f(x)在处有拐点；（4）当时，曲线y=f(x)以x轴为渐近线正态分布的密度函数f(x)的几何特征：上一页下一页返回

当固定，改变的值，y=f(x)的图形沿Ox轴平移而不改变形状，故 又称为位置参数。若固定，改变的值，y=f(x)的图形的形状随的增大而变得平坦。 越小，X落在附近的概率越大。上一页下一页返回

参数 =0，=1的正态分布称为标准正态分布，记为X~N(0,1)。其概率密度函数和分布函数分别用和表示，即和的图形如图所示。上一页下一页返回

由正态密度函数的几何特性易知 函数写不出它的解析表达式，人们已编制了它的函数表，可供查用。一般的正态分布，其分布函数F(x)可用标准正态分布的分布函数表达。若X~ , X的分布函数F(x)为因此，对于任意的实数a,b(a<b)，有上一页下一页返回

例2：设X~(0,1),求P{1<X<2},P{ }. 例3：某仪器需安装一个电子元件，要求电子元件的使用寿命不低于1000小时即可。现有甲乙两厂的电子元件可供选择，甲厂生产的电子元件的寿命服从正态分布N(1100,502), 乙厂生产的电子元件的寿命分布服从正态分布N(1150,802)。问应选择哪个厂生产的产品呢？若要求元件的寿命不低于1050小时，又如何？上一页下一页返回

解：设甲、乙两厂的电子元件的寿命分别为X和Y，则X~ N(1100,502)，Y~ N(1150,802). (1)依题意要比较概率的大小, 两个概率如下：比较两个概率的大小就知应选甲厂的产品。上一页下一页返回

(2)依题意要比较概率 的大小, 两个概率如下：比较两个概率的大小就知应选乙厂的产品。上一页下一页返回

第四节随机变量函数的分布 设y=g(x)为一个通常的连续函数，X为定义在概率空间上的随机变量，令Y=g(X)，那么Y也是一个定义在概率空间上的随机变量。设X是离散型随机变量，Y是X的函数Y=g(X)。那么Y也是离散型随机变量。上一页下一页返回

例1：设离散型随机变量X的分布律为 X -1 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 求：（1）Y=X-1； (2) Y=-2X2的分布律。 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 X -1 0 1 2 3 X-1 -2 -1 0 1 2 -2X2 -2 0 -2 -8 -18 解：由X的分布律可得 (2) Y=-2X2分布律为 Y -18 -8 -2 0 P 0.3 0.3 0.3 0.1 （1）Y=X-1的分布律为 Y -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 由上表易得Y的分布律上一页下一页返回

对此类问题，先由X的取值xk，（k=1，2…） 求出Y=g(X)的取值yk=g（xk），（k=1，2…）；如果诸yk各不相同，则由X的分布律P{X= xk }=pk, k=1，2…，便可得y的分布律：P{Y= yk }=pk, k=1，2…。如诸yk中有些值相同，则应把相同的值合并并将对应的概率加在一起。本例（2）中，X的两个取值-1和1都对应Y的一个值-2，这样： P{Y=-2}=P{X=-1或X=1} =P{X=-1}+P{X=1} =0.2+0.1=03 上一页下一页返回

由FY(y)便可求出Y的概率密度fY(y)=F’Y(y)。计算的关键是给出上式的积分区间。即将事件 转化为用X表示的事件。其中。设X为连续型随机变量，具有概率密度fX(x)。又Y=g(X)，在大部分情况下Y也是连续型随机变量。为了求出Y的概率密度fY(y)，可以先求出Y的分布函数FY(y) 这种方法称之为分布函数法。上一页下一页返回

例2: 设连续型随机变量X具有概率密度 求Y=2X+1的概率密度fY(y)。解 : 先求出Y的分布函数FY(y) 从而Y的概率密度为上一页下一页返回

解: X的概率密度为 Y的概率密度为例3 : 设随机变量X~N(0,1)，求Y=X2的概率密度fY(y)。记Y的分布函数为FY(y)，那么FY(y)=P{Y≤y}= P{X2≤y} 当y<0时，FY(y)=0 当y≥0时，FY(y)= P{X2≤y} 上一页下一页返回

当函数y=g(x)可导且为严格单调函数时，有： 定理设随机变量X具有概率密度fX(x)。函数g(x)为（-∞，+∞）内的严格单调的可导函数，则Y=g(X)也是一个连续型随机变量，且Y的概率密度函数为其中x=h(y)是y=g(x)的反函数， α=min（g(-∞),g(+∞)）, β=max（g(-∞),g(+∞)）。证明: 若y=g(x)严格单调增加，则其反函数x=h(y)存在且也严格单调增加。 Y=g(X)在区间(，β)内取值，上一页下一页返回

第二章 随机变量