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Funciones reales de varias variables

UPC. UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS. Funciones reales de varias variables. Tema:. Gráficas de algunas superficies. http://www.math.umn.edu/~rogness/quadrics/index.shtml. Funciones reales de dos variables. Sea D contenido en R 2.

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Presentation Transcript


  1. UPC UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS Funciones reales de varias variables Tema:

  2. Gráficas de algunas superficies http://www.math.umn.edu/~rogness/quadrics/index.shtml

  3. Funciones reales de dos variables Sea D contenido en R2. Una función f:D R (x,y) z=f(x,y) es una correspondencia que asocia a cada par (x,y) un único número real denotado por z=f(x,y)

  4. Curvas de Nivel: Son aquellas curvas que se generan al hacer z = k, cte. real DOMINIO: Conjunto de pares (x;y) para el cual tiene sentido la regla que define a f. Gráfica de una función: Gf = {(x,y,z)/ z = f(x,y), (x,y) D}

  5. Curvas de nivel http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/readings/levelcurve/

  6. DERIVADA PARCIAL RESPECTO X Z Y X

  7. Interpretación geométrica de derivada parcial http://www.math.umn.edu/~rogness/multivar/partialderivs.shtml

  8. Ejemplo: Si Entonces:

  9. Otras notaciones z = f(x,y)

  10. Reglas de cálculo: u=f(x,y) v=g(x,y)

  11. Ejemplo: hallar fx y fy si

  12. Derivadas parciales de segundo orden

  13. Derivadas parciales de segundo orden

  14. Ejemplo hallar Si

  15. Teorema de Clairaut Sea z = f(x,y) una función real de dos variables. Si fxy y fyx son continuas en una región D, entonces fxy = fyx en D .

  16. DERIVADAS DIRECCIONALES z y x

  17. Interpretación geométrica de derivada direccional http://www.math.umn.edu/~rogness/multivar/dirderiv.shtml

  18. Definición: La derivada direccional de f en la dirección dada por el vector unitario u está dada por: si el límite existe.

  19. Teorema: Si f tiene sus primeras derivadas parciales continuas entonces tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u y:

  20. Hallar la derivada direccional de f(x,y) = x2-xy+y en la dirección del vector v = (1,2).

  21. GRADIENTE z y x

  22. Ñ Derivada direccional en término s del

  23. Teorema a) El valor máximo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección f(x0,y0). b) La tasa máxima de crecimiento de f en (x0,y0) es || f (x0,y0 ) ||.

  24. Corolario a) El valor mínimo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección de - f(x0,y0) b) La tasa mínima de crecimiento de f en (x0,y0) es -||f (x0,y0) ||.

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