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Lógica Proposicional. Sintaxe (uma revisão mais formal). Def.1 Um alfabeto é um conjunto qualquer de símbolos. Def. 2 Dado um alfabeto , uma palavra (ou cadeia) sobre é uma sequência finita de símbolos de .
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Sintaxe (uma revisão mais formal) • Def.1 Um alfabeto é um conjunto qualquer de símbolos. • Def. 2 Dado um alfabeto , uma palavra (ou cadeia) sobre é uma sequência finita de símbolos de . • Def. 3 Uma linguagem sobre um alfabeto , L(), é um conjunto qualquer de palavras sobre .
Sintaxe (uma revisão mais formal) • Def. 4 Um alfabeto proposicional consiste da união dos seguintes conjuntos de símbolos: • (i) conjunto de símbolos lógicos: pontuação: ( , ) conectivos: ~(negação), &(conjunção), (disjunção), (implicação) e (bi-implicação) • (ii) conjunto de símbolos não-lógicos: conjunto enumerável de símbolos proposicionais
Sintaxe (uma revisão mais formal) • Def. 5 O conjunto das fórmulasproposicionais sobre um alfabeto proposicional é o menor conjunto de palavras sobre satisfazendo as condições: • todo símbolo proposicional P é uma fórmula (fórmula atômica) sobre . • se P e Q são fórmulas sobre , então (~P), (P & Q), (P Q), (P Q) e (P Q) são fórmulas sobre .
Sintaxe (uma revisão mais formal) • Def. 6 Uma fórmula a é uma sub-fórmula de uma fórmula se e somente se a é ou a ocorre em . • Def. 7 Uma linguagem proposicional sobre um alfabeto , L(), é o conjunto das fórmulas proposicionais sobre .
Convenção sobre omissão de parênteses • Parênteses mais externos podem ser omitidos Ex.: P & Q é (P & Q) • Negação aplica-se à menor fórmula possível Ex.: ~P & Q é ((~P) & Q) e não ~(P & Q) • Conjunção e disjunção aplicam-se à menor fórmula possível Ex.: P & Q R é (P & Q) R e não P & (Q R) • Agrupamento pela direita quando houver repetição de conectivos Ex.: P & Q R é (P & (Q R))
Exemplo: Formalizar o problema que segue • Descrição da situação: “Suponhamos que Sócrates estaria disposto a visitar Platão, se Platão estivesse disposto a visitá-lo; e que Platão não estaria disposto a visitar Sócrates, se Sócrates estivesse disposto a visitá-lo, mas estaria disposto a visitar Sócrates, se Sócrates não estivesse disposto a visitá-lo”. • Pergunta: • Sócrates está ou não disposto a visitar Platão?
Continuação do Exemplo: Formalização da situação: • Escolhendo um P = {P, Q} com o seguinte significado: P : Sócrates está disposto a visitar Platão. Q : Platão está disposto a visitar Sócrates. • A situação pode ser descrita por: Sócrates: (Q P) Platão: (P ~Q) & (~P Q) • Então, a pergunta pode ser posta na seguinte forma: {(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= P ou ? {(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= ~P
Continuação do Exemplo: Como Provar qual das respostas está correta? • Como a Lógica Proposicional é um sistema formal coerente e completo pode-se provar por Derivação ou por Implicação Lógica. a) Por derivação (|- ). A partir das premissas deriva-se a resposta certa {(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |- P ou ? {(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |- ~P b) Por Implicação Lógica, |= . Pela atribuição de valores lógico, verifica-se qual das respostas é uma implicação lógica {(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= P ou ? {(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= ~P
Continuação do Exemplo: Como Provar qual das respostas está correta? • {(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |- P 1. Q P P 2. (P ~Q) & (~P Q) P 3. | ~ P H P/ RAA 4. | ~P Q 2 ^E 5. | Q 3, 4 MP 6. | P 1, 5 MP 7. | P ^ ~P 3, 6 ^I 8. ~~P 3-7 RAA 9. P 8 ~E • Fica provado que “ Sócrates está disposto a visitar Platão” |- ((Q P) & ((P ~Q) & (~P Q))) P • Não Existe uma prova/derivação para ~P (verifique)
Continuação do Exemplo: Como Provar qual das respostas está correta? b) Para provar por Implicação Lógica, |= {(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= P ou? {(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= ~P E necessário atribuir valores verdade (semântica) às fórmulas, e verificar qual das respostas (conclusão) é uma implicação lógica das premissas.
Semântica da Lógica Proposicional • As fórmulas de uma linguagem proposicional têm como significado os valores-verdade (ou valores-lógicos) VERDADEIRO (V) ou FALSO (F). • Como atribuir um valor-verdade às fórmulas?
Semântica • Def. 8 Seja um alfabeto proposicional e P o conjunto de símbolos proposicionais de . Uma atribuição de valor-verdade para é uma função de atribuição: v : P {V, F} também chamada uma interpretação para .
Semântica • Def. 9 Seja um alfabeto proposicional e v uma interpretação para . • A função de avaliação para L() induzida por v é a função: v´: L() {V, F} v´ é definida da seguinte forma:
Semântica Continuação da Def. 9: • v´(P) = v (P), se P é um símbolo proposicional de • v´(~ ) = V, se v´() = F = F, se v´() = V • v´( & ) = V, se v´() = v´() = V = F, nos outros casos
Semântica Continuação da Def. 9: • v´() = V, se v´() ou v´() = V = F, se v´() = v´() = F • v´() = F, se v´() = V e v´() = F = V , nos outros casos • v´() = V, se v´() = v´() = F, se v´() v´()
Exemplo • = (P ~Q) & (~P Q) • v´() = v´((P ~Q) & (~P Q)) = V a avaliação de , v’ , é Verdadeira para as interpretações 2 e 3.
Semântica • Def. 10: ( alfabeto, G conjunto de fórmulas e fórmula). • é verdadeira em uma atribuição de valor-verdade v (interpretação) para sse v () = V • é válida (tautologia) (|= ) sse v () = V ( é verdadeira) para toda interpretação v para
Semântica • Def. 10: ( alfabeto, G conjunto de fórmulas e fórmula). • uma atribuição de valor-verdade vsatisfazG (v é um modelo para G;v deixa G verdadeira) sse para toda G, v´() = V (vsatisfaz) • G é satisfatível (consistente) sse existe uma atribuição de valor-verdade vpara G que satisfaz G. • G é insatisfatível (inconsistente) ( |G ) sse não for satisfatível.
Semântica • Sumário da classificação das fórmulas (Def. 10: ) a) VÁLIDA (TAUTOLOGIAS (|= )) b1) SATISFATÍVEL (CONSISTENTE) FÓRMULA b) INVÁLIDA b2) INSATISFATÍVEL( |G ) (INCONSISTENTE, CONTADIÇÃO)
Exemplos • a = ~(~P) P • G = {P, P Q}
Semântica • Def. 11 Seja um alfabeto proposicional, a uma fórmula sobre e G um conjunto de fórmulas de L(). a é uma consequêncialógica(implicação lógica) de G (G |= a ) se e somente se, para toda atribuição de valor-verdade v, se v satisfaz G então v satisfaz a. “Argumento dedutível válido: se as premissas forem verdadeiras, é impossível a conclusão ser falsa”
Exemplo • G = {P, P Q} e a = Q; observe que G |= a
Método de Prova: Tabelas Verdade • Provar que uma fórmula a é consequência lógica de um conjunto G de fórmulas é um problema decidível.
Tabelas Verdade • Procedimento de decisão: • SeG é um conjunto finito de fórmulas e a é uma fórmula. • então o número de símbolos proposicionais ocorrendo em G e a é finito (digamos n). • logo, há um número finito de interpretações (atribuições de valor-verdade) distintas para estes símbolos ( = 2n). • Assim, para decidir (provar) G |= a basta enumerar todas as interpretações e, para cada uma delas que satisfizer G, verificar se ela também satisfaz a.
Retornado a questão do nosso Exemplo:Sócrates está ou não disposto a visitar Platão? • A descrição da situação: Sócrates: (Q P) Platão: (P ~Q) & (~P Q) • A pergunta: {(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= P ou ? {(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= ~P • A Resposta pode ser obtida pela tabela verdade.
Exemplo • A resposta: • ou seja, {(Q P), (P ~Q) & (~P Q)} |= P
Teorema da Dedução • Teorema 1: (Teorema da Dedução) Sejam dadas as fórmulas a1 , ... , an e b. Então, { a1 , ... , an } |= b sse |= (a1 & ... & an) b. Consequência Lógica Tautologia Assim a fórmula (a1 & ... & an) b é chamada de um teorema, as fórmulas a1 , ... , an são as hipóteses e a fórmula b é a conclusão do teorema.
Teorema da Dedução • Teorema 2: Sejam dadas as fórmulas a1 , ... , an e b.Então, { a1 , ... , an } |= b sse | (a1 & ... & an & ~b) Consequência Lógica Contradição • Provar que uma fórmula a é consequência lógica de um conjunto de fórmulas G é equivalente a provar que a fórmula (G & ~a ) é insatisfatível. Esse tipo de prova é chamada Prova por Refutação.
Equivalência Lógica • Def. 12G é tautologicamente equivalente a (G |=| ) sse toda fórmula de G for consequência lógica de e vice-versa. • Se G e são finitos: G = {a1 , ... , an} e = {b1 , ... , bm}, G e são tautologicamente equivalentes sse (a1 & ... & an) (b1 & ... & bm) for uma tautologia, ou seja: G |=| sse |= (a1 & ... & an) (b1 & ... & bm)
Equivalência Lógica • Pares de fórmulas (A e B) tautologicamente equivalentes (“leis” da lógica):
Equivalência LógicaContinuação “leis” da lógica: • Considere as seguintes representações dos valores verdade V = ▪ e F =
Formas Normais • Def. 13 Se a1 , ... , an são fórmulas, então a fórmula a1 & ... & an é chamada a conjunção de a1 , ... , an e a fórmula a1 ... an é chamada a disjunção de a1 , ... , an . • Def. 14 Um literal é uma fórmula atômica ou a negação de uma fórmula atômica. • Def. 15 Uma fórmula a é dita estar na formanormalconjuntiva se e somente se a tem a forma a1 & ... & an , n 1, onde cada ai , i n, é uma disjunção de literais.
Formas Normais • Def. 16 Uma fórmula a é dita estar na formanormaldisjuntiva se e somente se a tem a forma a1 ... an, n 1, onde cada ai , i n, é uma conjunção de literais. • Toda fórmula pode ser transformada para uma forma normal.
Algoritmo para obtenção da Forma Normal • Passo 1:Usar as “leis”: a b |=| (a b) & (b a) a b |=| ~ a b para eliminar os conectivos e
Algoritmo para obtenção da Forma Normal • Passo 2: Usar repetidamente a “lei”: ~(~a) |=| a e as “leis” de De Morgan: ~( a & b) |=| ~ a ~ b ~( a b) |=| ~ a & ~ b para colocar o símbolo de negação imedia-tamente antes das fórmulas atômicas.
Algoritmo para obtenção da Forma Normal • Passo 3 Usar repetidamente as “leis”: a & (b c) |=| (a & b) (a & c) a (b & c) |=| (a b) & (a c) e as outras “leis” para obter a forma normal.
Forma Normal • Exemplo: Obter a Forma Normal Conjuntiva de (P ^ (Q → R) ) → S = ~(P ^ (~Q v R) ) v S = (~P v ~(~Q vR) ) v S = (~P v (Q ^ ~R) ) v S = ((~P v Q) ^ (~P v~R) ) v S = (S v ~P v Q) ^(S v ~P v ~ R)
Forma Normal • Exemplo: Obter a Forma Normal Disjuntiva de (P ^ (Q → R) ) → S = ~(P ^ (~Q v R) ) v S = (~P v ~(~Q vR) ) v S = (~P v (Q ^ ~R) ) v S = ~P v (Q ^ ~R) v S
Forma Normal • Exemplo: Use as Formas Normais para provar a tautologia Modus Ponens. |= ( (P → Q) ^ P ) → Q = ~( (~P vQ) ^ P) ) v Q = (~ (~P vQ) v ~P) ) v Q = ((P ^~Q) v ~P ) v Q = ((P v ~P) ^ (~Q v ~P)) v Q = ( ▪ ^ (~Q v ~P)) v Q = (~Q v ~P) v Q = (~Q v Q) v ~P = ▪ v ~P = ▪
Exemplo de um Problema: Síntese Química • Descrição da situação: • Supor que podemos realizar as seguintes reações químicas: • MgO + H2 –> Mg + H2O • C + O2 –> CO2 • CO2 + H2O –> H2CO3 • Supor ainda que temos alguma quantidade de • MgO, H2, O2 e C. • Queremos mostrar que podemos obter H2CO3.
Exemplo de um Problema: Síntese Química • Formalização do problema: • considerar MgO, H2, O2 , C, Mg, H2O e H2CO3 fórmulas atômicas • representar as reações químicas pelas fórmulas: a 1 : (MgO & H2) (Mg & H2O) a 2 : (C & O2) CO2 a 3 : (CO2 & H2O) H2CO3 • representar o fato de ter MgO, H2, O2 e C pelas fórmulas atômicas: a 4 : MgO a 5 : H2 a 6 : O2 a 7 : C
Exemplo de um Problema: Síntese Química • Resolver a Questão é verificar a seguinte implicação Lógica: {a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 } |= H2CO3 ? que pode ser também colocado como: |a 1 & a 2 & a 3 & a 4 & a 5 & a 6 & a 7 & ~ H2CO3 ?
Exemplo de um Problema: Síntese Química • Poderíamos resolver esse problema através do método da tabela da verdade. No entanto, vamos mostrar um outro método que também utiliza as Formas Normais: Método da Multiplicação. • Método da Multiplicação: Numa forma disjuntiva, qualquer conjunção contendo um par complementar (P e ~P) é removida.
a1 & ........ & a 7 & ~H2CO3 = ((MgO & H2) (Mg & H2O) & ((C & O2) CO2) & ((CO2 & H2O) H2CO3) & MgO & H2 & O2 & C & ~ H2CO3 |=| (~MgO ~H2 Mg) & (~MgO ~H2 H2O) & (~C ~O2 CO2) & (~CO2 ~H2O H2CO3) & MgO & H2 & O2 & C & ~H2CO3 |=| (~MgO ~H2 Mg) & (~MgO ~H2 H2O) & MgO & H2 & (~C ~ O2 CO2) & C & O2 & (~CO2 ~ H2O H2CO3) & ~ H2CO3 |=| Mg & H2O & MgO & H2 & CO2 & C & O2 & (~CO2 ~H2O) & ~H2CO3 |=| (~CO2 ~H2O) & H2O & CO2 & Mg & MgO & H2 & C & O2 & ~H2CO3 |=| & Mg & MgO & H2 & C & O2 & ~H2CO3 |=| . onde representa uma fórmula do tipo (a & ~a) que é sempre inconsistente
