Sommations et notation sigma

1. Sommations et notation sigma Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

2. Introduction Dans le cadre du présent cours, nous aurons à manipuler, à diverses occasions, des sommes de termes. Pour alléger l’écriture de ces sommes, il est d’usage d’utiliser une notation appelée « notation sigma ». Dans cette présentation, nous verrons cette notation, ses propriétés et ses règles d’utilisation.

3. Sommation ai ai n n S S i = r i = r DÉFINITION Sommation On appelle sommationune expression de la forme : où le symbole S (lettre grecque sigma) est appelé symbole de sommation. Le terme ai est le terme général de la sommation. L’indice i, appelé indice de sommation, prend toutes les valeurs entières de laborne inférieurer à la borne supérieuren. On a donc : = ar + ar+1 + ar+2 + …. + an–2 + an–1 + an La portéed’un symbole de sommation est l’expression algébrique qui est affectée par le symbole de sommation.

4. Portée d’une sommation xi a xi a 5 n n S S S i = 1 i = 1 i = 1 = + + + xn a x2 a x1 a x3 a axi S S Produits et quotients REMARQUE : L’indice prend toutes les valeurs entières entre 1et n et chaque valeur correspond à un terme de la somme. Lorsque le symbole de sommation est suivi d’une expression algébrique constituée du produit ou du quotient d’expressions algébriques plus simples, on convient que toute cette expression est dans la portée du symbole de sommation. Considérons la sommation suivante : En développant, on obtient : + ... De la même façon : = ax1 + ax2 + ax3 + ax4 + ax5

5. Portée d’une sommation 5 5 S S i = 1 i = 1 axi + b (axi + b) S S Sommes et différences Lorsque l’expression algébrique qui suit le symbole de sommation est constituée de sommes ou de différences d’expressions algébriques plus simples, il faut préciser la portée du symbole à l’aide de parenthèses lorsque la portée s’étend au-delà du premier terme de cette somme ou de cette différence. REMARQUE : Les parenthèses sont utilisées pour indiquer la portée du symbole de sommation. Il ne faut pas les négliger. Ainsi : = ax1 + ax2 + ax3 + ax4 + ax5 + b Cependant : = (ax1 + b)+ (ax2 + b) + (ax3 + b) + (ax4 + b) + (ax5 + b)

6. Exercices (–1)i(i + 1)3 (–1)i(i + 1)3 5 6 7 7 6 5 5 5 S S S S S S S S i = 0 k = 3 j = 2 k = 3 i = 0 i = 1 j = 2 i = 1 k2 3i – 10 k2 3i – 10 (2j – 1) (2j – 1) S S S S Écrire le développement des expressions suivantes et évaluer : a) b) c) d) = 32 + 42 + 52 + 62 + 72 = 135 a) b) = 3 + 5 + 7 + 9 + 11= 35 c) = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 – 10 = 35 d) = 13 – 23 + 33 – 43 + 53 – 63 = –135

7. Propriétés n n n n n n n n n S S S S S S S S S i = 1 i = 1 i = 1 k = 1 j = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 xi xj a axi xk yi xi xi (xi + yi) S S S Propriétés du symbole de sommation Cette somme représente l’addition de n termes égaux à a. = na 1. Mise en évidence d’une constante qui multiplie chacun des termes. 2. = a Regroupement par commutativité et associativité de l’addition. 3. = + Possibilité de renommer l’indice d’une sommation. 4. = = = ...

8. Exercice = a n n n n S S S S i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 axi axi xi xi S S S Démontrer que : Développons la somme : = ax1+ ax2+ ax3+ … + axn–1+ axn REMARQUE : On démontre les propriétés du symbole de sommation en développant les sommes et en utilisant les manipulations algébriques habituelles. = a(x1+ x2+ x3+ … + xn–1+ xn) , par mise en évidence; ,en utilisant la notation sigma. = a

9. Exercice = + n n n n n n S S S S S S i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 yi yi xi xi (xi + yi) (xi + yi) S S S Démontrer que : Développons la somme : = (x1+ y1) + (x2+ y2)+ … + (xn+ yn) = (x1+ x2+ … + xn) + (y1 + y2+ … + yn) = + ,en utilisant la notation sigma.

10. Somme des puissances des premiers entiers S S S Il est intéressant de pouvoir écrire une somme sous une forme compacte, mais il est encore plus intéressant de pouvoir l’effectuer sans avoir à la développer. Dans la suite du cours, nous aurons à utiliser certaines sommes dans des situations diverses. Ce sont : • la somme des n premiers entiers; • la somme des carrés des n premiers entiers; • la somme des cubes des n premiers entiers. Nous allons maintenant déterminer les expressions donnant ces sommes. L’étudiant devra, en plus de pouvoir effectuer ces démonstrations, devra en garder le résultat en mémoire.

11. Somme des n premiers entiers i i i i i n (n + 1) 2 n (n + 1) 2 = = n n n n n S S S S S i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 S S S S Théorème Somme des n premiers entiers positifs La somme des n premiers entiers positifs est donnée par : = 1 + 2 + 3 + … + (n – 2) + (n – 1) + n = n + (n – 1) + (n – 2) + ... + 3 + 2 + 1 2 = (n + 1) + (n +1) + ... + (n +1) + (n +1) = n(n +1) D’où l’on tire :

12. Somme des carrés des n premiers entiers i2 n (n + 1)(2n + 1) 6 = n n n S S S i = 1 i = 1 i = 1 (3i 2 + 3i + 1) = (i + 1)3 – i3 S Théorème Somme des carrés des n premiers entiers positifs La somme des n premiers entiers positifs est donnée par : La démonstration de cette formule utilise le fait que : (i + 1)3 = i3 + 3i2 + 3i+ 1 3i2 + 3i+ 1 = (i + 1)3 – i3 D’où l’on tire : Nous allons considérer la somme pour i variant de 1 jusqu’à n des deux membres de cette égalité pour pouvoir isoler la somme des carrés. La somme des deux membres donne :

13. Somme des carrés des n premiers entiers 3 i 2 + 3 i + 1 3 i 2 + 3 i + n = 3 i 2 + 3 i + n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S S S S i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 (3i 2 + 3i + 1) = (3i 2 + 3i + 1) = (i + 1)3 – i3 (i + 1)3 – i3 S S En appliquant les propriétés au membre de gauche, on obtient : En développant le membre de droite, on obtient : = [23 – 13] + [33 – 23] + [43 – 33] + … + [(n + 1)3 – n3] = 23 – 13 + 33 – 23 + 43 – 33 + … + (n + 1)3 – n3 = – 13 + (n + 1)3 On obtient donc l’égalité suivante : = – 13 + (n + 1)3

14. Somme des carrés des n premiers entiers = – 13 + (n + 1)3 i 2 3 i 2 = – 13 + (n + 1)3 – 3 i – n n (n + 1)(2n + 1) 6 = n (n + 1) 2 3 i 2 + 3 i + n = – 13 + (n + 1)3 – 3 – n n n n n n S S S S S i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 S S D’où : On complète la preuve en effectuant les manipulations algébriques élémentaires et on obtient : L’étudiant est prié d’effectuer les manipulations algébriques permettant de compléter la preuve.

15. Somme des cubes des n premiers entiers i 3 2 n (n + 1) 2 = n S i = 1 S Théorème Somme des cubes des n premiers entiers positifs La somme des cubes des n premiers entiers positifs est donnée par : La démonstration peut être faite de façon analogue à celle de la somme des carrés. On utilise le fait que : (i + 1)4 = i4 + 4i3 + 6i2 + 4i + 1 La démonstration est laissée en exercice.

16. Exercice 24 S k (k + 2) k = 1 24 24 S S k (k + 2) = (k2 + 2k) k = 1 k = 1 24 24 S S = k2 + 2 k k = 1 k = 1 24 (25) (49) 6 24 (25) 2 = + 2 S S S Évaluer la somme suivante : , par distributivité; , propriété de la sommation; , par la somme des premiers entiers et des carrés; = 4900 + 600 = 5400

17. Conclusion i 2 n (n + 1)(2n + 1) 6 n S i = 1 En utilisant la notation sigma, on peut représenter les sommes sous diverses formes. Pour les distinguer, nous allons utiliser les appellations suivantes : , forme compacte ou avec la notation sigma; 12 + 22 + 32 + … + n2 , forme ouverte; , forme fermée.