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Vorlesung Sommersemester 2002

Vorlesung Sommersemester 2002. Algorithmische Grundlagen des Internets (VI) Christian Schindelhauer schindel@upb.de HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik AG Meyer auf der Heide. Fairness und Effizienz von AIMD Das Modell.

yves
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Presentation Transcript

  1. Vorlesung Sommersemester 2002 Algorithmische Grundlagen des Internets (VI) Christian Schindelhauer schindel@upb.de HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik AG Meyer auf der Heide

  2. Fairness und Effizienz von AIMDDas Modell • n Teilnehmer, Rundenmodell • Teilnehmer i hat Datenrate xi(t) • Anfangsdatenrate x1(0), …, xn(0) gegeben • Feedback nach Runde t: y(t) = 0, falls y(t) = 1, falls • Jeder Teilnehmer aktualisiert in Runde t+1: xi(t+1) = f(xi(t),y(t)) • Increase-Strategie f0(x) = f(x,0) • Decrease-Strategie f1(x) = f(x,1) • Wir betrachten lineare Funktionen:

  3. Fairness und Effizienz von AIMDDas Modell • Wir betrachten lineare Funktionen: • Interessante Spezialfälle: • MIMD: Multiplicative Increase/Multiplicative Decrease • AIAD: Additive Increase/Additive Decrease • AIMD: Additive Increase/Multiplicative Decrease

  4. Fairness und Effizienz • Effizienz • Last: • Maß • Fairness: Für x=(x1, …, xn): • 1/n ≤ F(x) ≤ 1 • F(x) = 1 ↔ absolute Fairness • Skalierungsunabhängig • Kontinuierlich, stetig, differenzierbar • Falls k von n fair, Rest 0, dann F(x) = k/n

  5. Konvergenz • Konvergenz unmöglich • Bestenfalls Oszillation um Optimalwert • Oszillations-amplitude A • Einschwingzeit T

  6. AIADAdditive Increase/Additive Decrease

  7. MIMDMultiplicative Increase/Multiplicative Decrease

  8. AIMDAdditive Increase/Multiplicative Decrease

  9. Effiziente lineare Funktionen • X(t) > K • aD ≤ 0 → bD ≤ 1 • aD > 0 → bD < 0 • X(t) < K • aI ≥ 0 → bI ≥ 1 • aI < 0 → nicht möglich

  10. Fairness (I) • Fairness von x(t) = (x1(0), …, xn(0)) konvergiert gegen 1, d.h. für • Es gilt für c=a/b: • Beweis?

  11. Beweis! (1) • Es gilt: • Substitution • Dann ist: und

  12. Beweis! (2) • Zu zeigen: • Warum gilt diese Gleichung?

  13. Beweis! (3) • Warum gilt diese Gleichung? wobei

  14. Fairness (II) • Es gilt: • D.h. Fairness nimmt mit c=a/b zu. • Für c=0 ist F(x(t+1))= F(x(t)) • Für c>0 ist F(x(t+1))> F(x(t)), falls F(x(t)) ≠ 1 • Für c<0 ist F(x(t+1))< F(x(t)) • Daher aI/bI ≥ 0 und aD/bD ≥ 0 • Also, aI,bI,aD,bD ≥ 0 • Aus Effizienz: • aD ≤ 0 → bD ≤ 1, heißt also aD = 0 → bD ≤ 1, • aD > 0 → bD < 0 entfällt. • aI ≥ 0 → bI ≥ 1, • es muß aI > 0, da sonst Fairness nicht zunimmt (siehe MIMD) • Führt zu AIMD

  15. Fairness (III)

  16. TCP-Datenrate • AIMD-Probingstrategie verursacht Verlustrate • = verlorene Segmente / verschickte Segmente • Mittlere Datenrate B = Bytes/Sek und Fehlerrate interagieren: • Erhöhung der Datenrate erhöht die Verlustrate • Höhere Verlustrate verringert die Datenrate • Experimente zeigen für Segmentlänge MSS und Umlaufzeit RTT:

  17. TCP-DatenrateDer statische Fall • Verfügbare Bandweite = n • Durchschnittliche Datenrate: B = 3/4 n • Nach n/2 Runden Verlust: 1 • Ergibt: • also

  18. TCP-DatenrateEin stochastische Modell • Paket geht mit W‘keit p verloren • Anzahl fehlerfreier übertragener Pakete X ist exponentiell verteilt: • Erwartete fehlerfreie Paketmenge : O(1/p) • Rundenanzahl bis Datenratenhalbierung: O(1/p½) • Erwartete Datenrate: O(1/p½) • Aber: Welcher konstanter Faktor? • Experimentell: (für verwandtes Modell bewiesen):

  19. 2. Kapitel Der Web-Graph

  20. Eigenschaften des WWW • WWW: • Speicher für Informationen • Neues Medium • Nicht geplant, unkoordiniert • Im Gegensatz zu Stromnetz, Telefon, Straßen, Eisenbahn • Trotzdem Gesetzmäßigkeiten • Selbstorganisation • Ändert sich dauernd • Analyse der Webstruktur ermöglicht • Bessere Suchmaschinen • Automatisch erzeugte Webverzeichnisse • Gezielte Suchdienste • Filter

  21. Der Webgraph • GWWW: • Statische HTML-Seiten sind Knoten • Links sind gerichtete Kanten • Ausgrad eines Knoten: Anzahl Links auf einer Webseite • Eingrad eines Knoten: Anzahl der Links zu einer Webseite • Gerichteter Pfad von Knoten u zu Knoten v: • Folge der Webseiten, um von u zu v durch Links zu kommen • Ungerichteter Pfad (u=w0,w2,…,wm-1,v=wm) von Knoten u zu Knoten v: • Für alle i: Von wi zu wi+1 existiert Link oder umgekehrt • Starke (schwache) Zusammenhangskomponente: • Knotenmenge, in der (un-)gerichteter Pfad von jedem Knoten zu jedem anderen existiert

  22. Ein-/Ausgradverteilung • Ein-/ und Ausgrade sind Paretoverteilt, • d.h. Ein/Ausgrad i erscheint mit Häufigkeit ~ 1/iα • Experimentell überprüft von • Kumar et al 97: 40 Mio Webseiten • Barabasi et al 99: Domain *.nd.edu + Webseiten im Abstand 3 • Broder et al 00: 204 Mio Webseiten (Scan Mai+Okt. 1999)

  23. Ein-/Ausgradverteilung von Gn,p (I) • Zufallsgraph Gn,p: • n Knoten • Jede gerichtete Kante erscheint mit unabhängiger W’keit p • Kann der Webgraph durch Gn,p beschrieben werden? • Erwarteter Ein/Ausgrad in Gn,p = (n-1)p • Da durchschnittl. Grad in GWWW konstant, wähle • Betrachte feste Webseite r • Sei X die Anzahl der Links auf r • Sei Xi =1 wenn Link nach i existiert, sonst 0 • Dann ist P[Xi=1]=p und P[Xi=0]=1-p

  24. Ein-/Ausgradverteilung von Gn,p (II) • Untersuche W’keit, dass mindestens k Links erscheinen • Versuch: Markovs Ungleichung • Es gilt • Dann ist: • Kein Widerspruch zu Paretoverteilung

  25. Ein-/Ausgradverteilung von Gn,p (III) • Untersuche W’keit, dass mindestens k Links erscheinen • Versuch: Chebyshevs Ungleichung • Es gilt, da alle Xi unabhängig: • Dann ist: • Kein Widerspruch zu Paretoverteilung

  26. Ein-/Ausgradverteilung von Gn,p (IV) • Versuch: Chernoff Schranke • Für unabhängig Zufallsvariablen Xi und mit • Dann ist für • Damit ist für die W‘keit ≤ • Für alle n Knoten ist diese W‘keit damit ≤ • Widerspricht Paretoverteilung

  27. Pareto-Verteilung (I) • Diskrete Paretoverteilung für x  {1,2,3,…} mit konstanten Faktor • Es gilt • Heavy-Tail-Eigenschaft: • Nicht alle Momente E[Xk] sind definiert • Erwartungswert existiert, gdw, α>2 • Varianz und E[X2] definiert, gdw. α>3 • E[Xk] definiert, gdw. α>k+1 • Dichtefunktion der kontinuierlichen Paretoverteilung für x>x0

  28. Pareto-Verteilung (I) • Beispiele für Paretoverteilungen • Pareto 1897: Privatvermögen in Bevölkerung • Yule 1944: Wortlängen in Sprachen • Zipf 1949: Größe von Städten • Länge gewisser Molekülketten • Dateilängen in Unix-Filesystem • …. • Zugriffshäufigkeit von Webseiten • Besuchshäufigkeit einzelner Websurfer auf einer bestimmten Seite • …

  29. Zusammenhangskomponenten • Starke und schwache Zus.-komponenten sind Paretoverteilt • Riesige schwache Zus.-Kompontente mit 91% aller Seiten • Größte starke Zus.Komponente nur 28% • Durchmesser ≥ 28 • Wo ist der Rest?

  30. Ein Bild des Webgraphen Weberfassung durch Altavista Mai+Oktober 1999:

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