1 / 60

Dane INFORMACYJNE

Dane INFORMACYJNE. Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 1 im . Żołnierzy Armii Krajowej w Gryficach ID grupy: 98/22_MF_G1 Kompetencja: Matematyczno-fizyczna Temat projektowy: „Tajemnice tabliczki mnożenia” Semestr/rok szkolny: IV/ 2011/2012. Spis treści:. 1.Mnożenie

yvonne
Download Presentation

Dane INFORMACYJNE

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Gimnazjum nr 1 im. Żołnierzy Armii Krajowej w Gryficach • ID grupy: • 98/22_MF_G1 • Kompetencja: • Matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: • „Tajemnice tabliczki mnożenia” • Semestr/rok szkolny: • IV/ 2011/2012

  2. Spis treści: • 1.Mnożenie • 1.1 Co to jest mnożenie? • 1.2 Tabliczka mnożenia • 1.3 Mnożenie ułamków zwykłych • 1.4 Mnożenie ułamków dziesiętnych • 1.5 Wzory skróconego mnożenia • 2. Szybkie czytanie z tradycyjnej tabliczki iloczynów • 3. Notacja wykładnicza • 4. Liczby wielokątne • 5. Liczby wielościenne

  3. Spis treści: • 6. Trójkąt Pascala • 7. Tablica liczb losowych • 8. Szachownica Polibiusza • 9. Średnia arytmetyczna • 10. Własności ciągów arytmetycznych

  4. MNOŻENIE

  5. CO TO JEST MNOŻENIE? • Mnożenie – działanie dwuargumentowe będące jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Mnożone elementy to czynniki (określane również jako mnożna i mnożnik), a jego wynik to iloczyn. Może być ono traktowane jako zapis wielokrotnego dodawania elementu do siebie. • Na przykład: 3·4=4+4+4=12 • gdzie liczby 3 i 4 są czynnikami, a 12 to ich iloczyn. Powyższe oznacza, że trzy grupy po cztery elementy to razem dwanaście elementów. Z każdej z powyższych równolicznych grup można wybrać kolejno po jednym elemencie i w ten sposób stworzyć cztery nowe grupy zawierające po trzy elementy: 3·4=3+3+3+3+12 • W ten sposób 3·4=4·3 , co w przypadku ogólnym nazywa się formalnie przemiennością. Należy mieć jednak na uwadze, że istnieją działania nazywane mnożeniami, które nie mają tej własności

  6. TABLICZKA MNOŻENIA Tabliczka mnożenia - tabelaryczny sposób zestawienia wyników mnożenia przez siebie liczb naturalnych.

  7. MACIERZ

  8. Za pomocą tabliczki mnożenia można przedstawiać wyniki działań w dowolnych skończonych strukturach algebraicznych, np. tabliczka mnożenia w pierścieniu .

  9. MNOŻENIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH • Aby pomnożyć liczbę naturalną przez ułamek (lub odwrotnie), mnożymy licznik ułamka przez tę liczbę, a mianownik zostawiamy bez zmian. • Jeżeli chcemy pomnożyć dwa ułamki, mnożymy licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego. • Podczas mnożenia jeśli to możliwe można stosować skracanie ułamków. Należy pamiętać, aby skracając zawsze wybierać jedną liczbę z licznika, drugą z mianownika. • Jeżeli chcemy pomnożyć przez siebie dwie liczby mieszane, to obie zamieniamy na ułamki niewłaściwe i mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik. • Mnożenie ułamków jest przemienne i łączne

  10. MNOŻENIE UŁAMKÓW DZIESIĘTNYCH Mnożąc ułamki podpisujemy je w ten sposób, aby ostatnia cyfra jednego ułamka była pod ostatnią cyfrą drugiego ułamka. Mnożymy w ten sam sposób, jak w przypadku liczb naturalnych, a w wyniku oddzielamy przecinkiem tyle cyfr końcowych, ile było łącznie po przecinku w obu czynnikach. Ponieważ mnożenie jest przemienne, podczas mnożenia pisemnego warto liczbę z większą liczbą cyfr umieścić nad liczbą z mniejszą liczbą cyfr.

  11. WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA Wzory skróconego mnożenia jak sama nazwa wskazuje służą do tego aby uprościć mnożenie wyrażeń algebraicznych, ale przydatne są dużo bardziej do innych zastosowań: Możemy używać tych wzorów w drugą stronę, czyli zapisywać wyrażenia algebraiczne które są wynikiem któregoś z poniższych wzorów, w postaci iloczynowej, odpowiadającej lewej stronie danego wzoru. Takie działanie szczególnie przydatne na przykład przy rozkładaniu funkcji na prostsze czynniki (zapis w postaci iloczynu nawiasów)

  12. Szybkie czytanie z tradycyjnej tabliczki iloczynów

  13. Szybkie czytanie z tradycyjnej tabliczki iloczynów • Dziś gratka dla miłośników szybkich obliczeń – prosto z Indii, metoda mnożenia liczb (także wielocyfrowych) znajdujących się w pobliżu tej samej wielokrotności liczby 10. Krótko mówiąc jeśli dwie liczby różnią się nieznacznie od jakiejś wielokrotności dziesiątki np. 28 i 26 dla 30 lub 104 i 98 dla 100, można bardzo szybko uzyskać dokładny wynik ich mnożenia. Przy odrobinie wprawy – w pamięci. • Opisany algorytm nazywa się „NikhilamNavatascaramamDasata”, i stanowi część systemu algorytmów matematycznych o nazwie VedicMath opracowanego na początku XX wieku przez hinduskiego matematyka JagadguruSwamiBharatiKrishnaTirthaiiMaharai

  14. Prosty przykład na początek • Najprostszy sposób wytłumaczenia na czym polega prezentowana tu metoda mnożenia to posłużyć się przykładami wyjaśniając zasadę działania niejako po drodze. Tak więc… •   7x 8 • Najpierw należy odnaleźć odpowiednią „bazę”. Ponieważ cyfry 7 i 8 są obie blisko 10, jako bazę użyjemy właśnie dziesiątki. Obliczmy różnice: • baza 10  7    |  -3x 8    |  -2 • Teraz trzeba przemnożyć różnice. Potrzebujemy tyle cyfr ile mamy zer w naszej bazie (w tym przypadku tylko jedną cyfrę bo w 10 jest jedno 0). Gdyby zabrakło cyfr należy przed wynikiem dopisać odpowiednią ilość zer (np. 04 lub -02). Tym razem jednak nie ma problemu, bo potrzebujemy tylko jednej cyfry. Pod spodem zapiszmy odpowiedź:

  15. baza 10  7    |  -3x 8    |  -2——————-           6 • Następnie należy dodać różnicę pomiędzy jedną z mnożonych liczb a 10, do drugiej z mnożonych liczb. Można zastosować dowolną kombinację, bo obie dają ten sam rezultat, tak jak na poniższym przykładzie: • 8 + (-3) = 5 LUB 7 + (-2) = 5 • Wynik (5) należy zapisać po lewej stronie: • baza 10  7    |  -3x 8    |  -2——————-  5    |   6

  16. Wynik mnożenia widać jak na dłoni… • 7 x 8 = 56 • Tak na marginesie, to aby raz na zawsze zapamiętać ile to jest 7 razy 8 wystarczy zwrócić uwagę, że: • 56 = 7 x 8 czyli 5678 • Kto raz sobie to uświadomi, już nigdy się nie pomyli…

  17. Mnożenie liczb dwucyfrowych i większych • To była rozgrzewka. Spróbujmy teraz z nieco większymi liczbami, aby pokazać na czym naprawdę polega siła tego algorytmu. •   98x 89 • Ponieważ obie liczby są bliskie 100, właśnie 100 wykorzystamy jako naszą bazę. Procedura jest ta sama. Po prawej stronie należy zapisać różnice pomiędzy mnożnymi i bazą. Ponieważ 100 ma dwa zera będziemy potrzebowali dwucyfrowego wyniku po prawej stronie. • baza 100  98    |  -2x 89    |  -11——————-  87    |   22 • 98 x 89 = 8722

  18. Liczbę 87 uzyskać można dodając (-11) do 98 lub dodając (-2) do 89. 22 to rezultat mnożenia (-11) razy (-2). Rachunki nie są trudne i przy odrobinie wprawy można takie problemy rozwiązywać w pamięci. • Spróbujmy teraz rozwiązać problem wymagający dopisywania zer. • baza 100  98    |  -2x 97    |  -3——————-  95    |  06 • 98 x 97 = 9506 • Liczba 95 uzyskuje się dodając (-3) do 98 lub (-2) do 97. (-2) razy (-3) daje 6. Ponieważ w 100 są dwa zera potrzebujemy dwóch cyfr po prawej stronie, a więc należy dopisać jedno zero – stąd 06. • W następnej kolejności problem dwóch liczb nieznacznie większych od wielokrotności 10:

  19. baza 100  105   |  +5x 102   |  +2——————-  107   |  10 • 105 x 102 = 10710 • Liczbę 107 uzyskuje się podobnie jak we wcześniejszych przykładach dodając 105 + 2 lub 102 + 5. Wartość 10 jest wynikiem mnożenia prawej strony: 5 razy 2. • Spróbujmy teraz rozwiązać problem, w którym mnożne znajdują się po dwóch różnych stronach wielokrotności liczby 10. • baza 100  104   |  +4x  98   |  -2——————-  102   | -08

  20. Uwaga na ujemną wartość po prawej stronie! Aby sobie z tym poradzić należy do lewej strony dopisać odpowiednią ilość zer i dodać ujemną prawą stronę. Czyli: • 10200 + (-08) = 10192 • 104 x 98 = 10192 • Teraz spróbujmy jeszcze większych liczb: • baza 1000  995   |  -5x 998   |  -2——————-  993   | 010 • 995 x 998 = 993010

  21. Liczbę 993 uzyskuje się dokładnie w ten sam sposób jak wcześniej 995 + (-2) lub 999 + (-5). Należy pamiętać o dodatkowym zerze, ze względu na trzy zera w bazie (1000). • Przedstawiana metoda działa z dowolnymi wielokrotnościami 10 (ale obliczenia mogą być bardziej kłopotliwe). Początek jest dokładnie taki sam: • baza 20 = 2 x 10  18    |  -2x 17    |  -3——————-  15    |   6

  22. Tym razem to jeszcze nie koniec. Teraz należy przemnożyć lewą stronę przez ilość dziesiątek w zastosowanej bazie – w podanym przykładzie 2, czyli 15 x 2 = 30. • baza 20 = 2 x 10  18    |  -2x 17    |  -3——————-  30    |   6 • 18 x 17 = 306

  23. Notacja wykładnicza

  24. Notacja wykładnicza to inaczej zapis bardzo dużych liczb i bardzo małych liczb. 1)Potęga o podstawie i wykładniku naturalnym 2)Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym: - liczba naturalna dodatnia, Za pomocą potęg o wykładnikach naturalnych zapisuje się duże liczby, np: - masa Ziemi wynosi kg- największa ryba świata- płetwal błękitny waży kgZa pomocą potęg o wykładniku całkowitym ujemnym określamy bardzo małe liczby, np: - masa najmniejszego ptaka - kolibra wynosi kg- masa atomu wodoru kg

  25. Reguła • Notacją wykładniczą liczby nazywamy zapis tej liczby w postaci iloczynu liczby oraz potęgi liczby 10. - liczba całkowita. • Przykład:Przedstaw w postaci notacji wykładniczej liczby: • A.5  B.171   C. 25000  D. 563400000 • Rozwiązania • Skorzystaj z reguły. • A. B. C. D.

  26. STOP • Pierwszy czynnik iloczynu notacji jest liczbą • Przy dużych liczbach zawsze przesuwamy przecinek w lewo, między pierwszą a drugą cyfrę liczby, a ilość miejsc przesunięcia przecinka, to będzie wykładnik potęgi liczby 10.

  27. Pamiętaj, że:Przedstaw w postaci notacji wykładniczej bardzo małe liczby: • A.   B.   C.   D. • RozwiązaniaSkorzystaj z reguły    gdzie   - liczba całkowita, zamieniając na iloczyn . • A. B. C. D. • STOP • przy małych liczbach zamienianych na notację wykładniczą przesuwamy przecinek w prawo za pierwszą cyfrę różną od a ilość miejsc przesunięcia przecinka jest wykładnikiem, ze znakiem minus, potęgi liczby

  28. Liczby wielokątne

  29. Liczby Wielokątne • Liczby wielokątne są liczbami prezentowanymi jako kropki lub kulki ułożone na kształt wielokąta foremnego, np. liczba 6 może zostać przedstawiona jako trójkąt, liczba 9 jako kwadrat. Istnieją także liczby, które mogą zostać ulożone w więcej niż 1 wielokąt foremny, np. liczba 36 jest liczbą trójkątną i kwadratową. • Pojęcie liczb wielokątnych zawdzięczamy pitagorejczykom. Następnie zajmowali się nimi m.in. J. L. Lagrange, L. Euler, J. C. F. Gauss i A. Cauchy.

  30. Liczby 1,4,9Liczby 1,7,19

  31. Wzór na liczbę wielokątną

  32. Liczby wielościenne

  33. Gdy weźmiemy pod uwagę przykłady:

  34. liczby pierwszego wiersza tworzą postęp arytmetyczny, drugiego wiersza są sumami liczb pierwszego, liczby trzeciego wiersza są sumami liczb drugiego wiersza. Liczby drugiego wiersza zwą się liczbami  w i e l o b o c z n e m i , trzeciego wiersza  p i r a m i d o w e m i . Zależnie od różnicy postępu arytmetycznego, liczby wieloboczne zwą się trójkątnemi, czworobocznemi, pięciobocznemi i t. d., podobnie liczby trzeciego wiersza.

  35. Trójkąt pascala

  36. Trójkąt Pascala • Trójkąt Pascala – trójkątna tablica liczb: • Na bokach trójkąta znajdują się liczby 1, a pozostałe powstają jako suma dwóch bezpośrednio znajdujących się nad nią. Liczby stojące w n-tym wierszu to kolejne współczynniki dwumianu Newtona - rozwinięcia . Na przykład: • w trzecim wierszu trójkąta mamy 1, 3, 3, 1. • Inaczej: licząc miejsca w wierszu od zera, liczba stojąca na miejscu k w wierszu n jest równa

  37. Przykład: W wierszu 5 na miejscu 2 stoi 10 co jest właśnie równe • Uważa się, że trójkąt ten został odkryty na przełomie XI i XII w. przez Chińczyków i niezależnie przez Omara Chajjama XI. W XVII w. matematyk francuski Blaise Pascal połączył studia nad prawdopodobieństwem z tym trójkątem, osiągając tak znakomite wyniki, że trójkąt ten nazwany został trójkątem Pascala.

  38. Własności trójkąta • Na skrajnych bocznych (zerowy) rzędach trójkąta są jedynki. • W kolejnym (pierwszym) skrajnym bocznym rzędzie są kolejne liczby naturalne(1, 2, 3, 4, ...). • W drugim rzędzie różnice między sąsiednimi liczbami są kolejnymi liczbami naturalnymi (są to liczby trójkątne). Liczby trójkątne podają liczbę okręgów ułożonych w kształt trójkąta (1, 3, 6, 10, ...). • W trzecim liczby piramidalne, podają liczbę kulek ułożonych czworościan foremny (1, 4, 10, 20, 35) • W czwartej liczbę kul w "czworościanie" w przestrzeni czterowymiarowej. • Uogólniając, w n tym rzędzie bocznym znajdują się liczby n-komórkowe. • Wracając do rzędu zerowego i uogólniając możemy policzyć liczbę elementów trójkącie w przestrzeni jedno- i zerowymiarowej.

  39. Sumy liczb w poziomych rzędach to kolejne potęgi liczby 2. • Każdy element trójkąta zawiera liczbę różnych dróg, jakimi można do niego dotrzeć z wierzchołka poruszając się do sąsiednich elementów w lewo w dół oraz w prawo w dół. • Po usunięciu z trójkąta wszystkich liczb parzystych pozostałe liczby nieparzyste układają się w geometryczny wzór trójkąta Sierpińskiego:

  40. Tablica liczb losowych

  41. Tablica liczb losowych • Tablica liczb losowych – tablica wypełniona liczbami losowymi. Obecnie wychodzą z użycia na rzecz komputerowych generatorów liczb losowych. Pierwszą tablicę liczb losowych wydał w roku 1927 L. H. Tippett pod tytułem „Random SamplingNumbers". Zawierała ona 41600 cyfr (od 0 do 9) pobranych z danych ze spisu powszechnego w Wielkiej Brytanii. Cyfry te uzyskano z liczb wyrażających powierzchnie parafii, po odrzuceniu dwóch pierwszych i dwóch ostatnich cyfr z każdej liczby. • W 1939 R. A. Fisher i F. Yates podali tablicę 15000 cyfr losowych, uzyskaną przez wypisanie cyfr od 15. do 19. z pewnych 20-cyfrowych tablic logarytmicznych. W tym samym roku Kendall, Babington i Smith przedstawili tablicę 100000 cyfr losowo uzyskanych za pomocą „elektrycznej ruletki", czyli wirującego dysku z oznaczeniami cyfr , obserwując w przypadkowych chwilach wybrany sektor ruletki. • Tablice liczb losowych miały ograniczoną długość i zawierały tylko jeden ciąg takich liczb. W celu przedłużenia ich żywotności (nie można było stale wykorzystywać tych samych liczb, bo to przeczyłoby idei losowości) opracowywano algorytmy wytwarzania ciągów losowych na podstawie tablic.

  42. Przykład • Przykładowy algorytm dla tablic zawierających pięciocyfrowe liczby: • Wybrać losowo liczbę pięciocyfrową z tablicy. • Zredukować pierwszą cyfrę tej liczby modulo 2, tak zmodyfikowana liczba pięciocyfrowa wskaże numer wiersza w tablicy. • Zredukować dwucyfrową końcówkę tej liczby modulo 50. Tak otrzymana liczba dwucyfrowa wskaże numer kolumny w tablicy. • Rozpocząć ciąg losowy od wskazanej pozycji w tablicy.

  43. Szachownica polibiusza

  44. Szachownica Polibiusza - rodzaj szyfru monoalfabetycznego wymyślony w starożytności przez greckiego historyka Polibiusza. • Szyfr ten przypisuje każdej literze liczbę, według następującej tabeli: • 1 2 3 4 5 • 1 A B C D E • 2 F G H I/J K • 3 L M N O P • 4 Q R S T U • 5 V W X Y Z

  45. Cyfry oznaczają położenie danej litery w tabeli – pierwszą cyfrą jest numer wiersza, a drugą – kolumny. Tak na przykład tekst: • ŚCIŚLE TAJNE • po zaszyfrowaniu (nie uwzględniając polskich znaków) przyjmuje postać: 43 13 24 43 31 15 44 11 24 33 15

  46. Średnia arytmetyczna

  47. Średnia arytmetyczna • Średnia arytmetyczna (m n ) to suma elementów podzielona przez ich ilość. Wzór na średnią arytmetyczną ma postać:

  48. gdzie: M - średnia arytmetyczna, x1,x2,...,xn - poszczególne wartości pojedynczych jednostek zbiorowości statystycznej, n - ogólna liczebność badanej zbiorowości (tj. liczba wszystkich jednostek wchodzących w skład zbiorowości statystycznej). • PrzykładUczeń ma następujące oceny na koniec semestru: 5, 3, 4, 4, 5, 5, 4, 3, 4, 4. 5+3+4+4+5+5+4+3+4+4*10=4.1 Średnia ocen ucznia wynosi 4,1.

  49. Średnia arytmetyczna jest najbardziej intuicyjną miarą oceny populacji stosowaną w codziennym życiu. Możemy mówić o średniej ocen z przedmiotu, średniej płacy w firmie, średnim wzroście pewnej grupy ludzi. Trzeba jednak uważać w badaniach statystycznych posługując się średnią arytmetyczną. Jeśli liczby w konkretnym badaniu układają się w pobliżu wartości centralnej, to średnia arytmetyczna jest dobrym sposobem wskazywania średniego wyniku. Jednak gdy liczby rozłożone są bardzo nierównomiernie, wówczas średnia arytmetyczna może wprowadzać w błąd i zamiast niej powinny być użyte inne miary. 

More Related