电磁学电子教案

1. 电磁学电子教案 使用教材：赵凯华、陈熙谋编的第二版 主讲人：陈绍英、王启文、石鹏、李艳华 呼伦贝尔学院物理系普通物理教研室 电磁学课题组 2006年9月制作

2. 第三章 稳恒电流 • 3.1电流的稳恒条件和导电规律 • 3.2电源及其电动势 • 3.3简单电路 • 3.4复杂电路 • 3.5温差电现象 • 3.6电子发射与气体导电

3. 3.1.1电流强度 电流密度矢量 电荷的定向流动形成电流。产生电流的条件有两个：(1)存在可以自由移动的电荷(自 由电荷)；(2)存在电场。 在一定的电场中，正、负电荷总是沿着相反方向运动的，而正电荷沿某一方向运动和 等量的负电荷反方向运动所产生的电磁效应相同。因此，尽管在金属中电流是由带负电的 电子流动形成的，而在电解液和气态导体中，电流却是由正、负离子及电子形成的(见第 一章1.4节),但是为了分析问题方便,习惯上把电流看成是正电荷流动形成的,并且规定正 电荷流动的方向为电流的方向。这样,在导体中电流的方向总是沿着电场方向,从高电位 处指向低电位处。 电流的强弱用电流强度 来描述。单位时间内通过导体任一横截面的电量，叫做电流 强度。如果在一段时间 内，通过导体任一横截面的电量是 ，那么电流强度就是 或取 的极限： (3.1)

4. 3.1.1 电流强度 电流密度矢量 电流强度是MKSA单位制中的四个基本量之一,它的单位叫做安培,简称安,用A表示，其 意义将在第四章1.4和4.2节介绍。有些实际场合，如在电磁测量和电子学中，往往嫌这种 单位太大，而采用在单位“安”前加词冠“毫”或“微”的单位，即毫安( )和微安( )。它 们和安培之间的关系是 1毫安=10-3安， 1微安=10-6安 电流强度是标量，它只能描述导体中通过某一截面电流的整体特征。在通常的电路问 题中，一般引入电流强度概念就可以了。可是，在实际中有时会遇到电流在大块导体中流 动的情形(如电阻法勘探问题),这时导体的不同部分电流的大小和方向都不一样,形成一定 的电流分布。此外，以后我们将看到，在迅变交流电中，由于趋肤效应，即使在很细的导 线中电流沿横截面也有一定的分布。因此仅有电流强度的概念是不够的，还必须引入能够 细致描述电流分布的物理量——电流密度矢量。 图3-1是电阻法勘探的示意图，把电极A、B插入地面，并加上电压。由于地球本身是一个导体， 因此在地表下形成一定的电流场和电位分布。用另外两个电极(图中未画出)可以探测地表上两点间的 电位差。地下水、岩层或矿体的分布会影响到电流场的分布，从而在地表的电位分布中表现出来。通

5. 3.1.1 电流强度 电流密度矢量 过地表电位分布的测量，与理论计算的结果对比，可以推测地下的地质结构情况。由此可见，只有电 流强度标量的概念，就显得不够了，电流场分布的描述需要引进电流密度矢量的概念。 电流密度是一个矢量，这矢量在导体中各点的方向代表该点电流的方向，其数值等于 通过该点单位垂直截面的电流强度(即单位时间里通过单位垂直截面的电量)。设想在导体 中某点取一个与电流方向垂直的截面 (图 3-2a),则能过 的电流强度 与该点电流 密度 的关系是 如果截面元 的法线 与电流方向成倾斜 角 (图3-2b),则 (3.2) 或写成矢量形式, (3.3) 有了电流密度矢量 的概念，就可以描述大块导体中的电流分布了。在大块导体中各

6. 3.1.1 电流强度 电流密度矢量 点 有不同的数值和方向，这就构成一个矢量场，即电流场。象电场分布可以用电力线来 形象地描绘一样，电流场也可以用电流线来描绘。所谓电流线，就是这样一些曲线，其上 每点的切线方向都和该点的电流密度矢量方向一致。 通过导体中任意截面 的电流强度 与电流密度矢量的关系为 (3.4) 由此可见，电流密度 和电流强度 的关系，就是一个矢量场和它的通量的关系。从电流 密度的定义可以看出，它的单位是安培/米2。

7. 3.1.2 电流的连续性方程 稳恒条件 电流场的一个重要性质是它的连续方程，它的实质就是电荷守恒定律。 设想在导体内任取一闭合曲面 ，则根据电荷守恒定律，在某段时间里由此面流出的 电量等于这段时间里 面内包含的电量的减少。象以前表述高斯定理那样，在 面上处处 取外法线，则在单位时间里由 面流出的电量应等于 。设时间 里包含在 面内的 电量增量为 ，则在单位时间里 面内的电量减少为 。如上所述，二者数值相等，即 (3.5) 式中负号表示“减少”。这便是电流连续方程(积分形式)。式(3.5)表明：电流线是终止或 发出于电荷发生变化的地方。其含意是，如果闭合面 内正电荷积累起来，则流入 内的 电量必大于从 面内流出的电量，也就是说，进入 面的电流线多于从 面出来的电流线， 所多余的电流线便终止于正电荷积累的地方。 稳恒电流指电流场不随时间变化，这就要求电荷的分布不随时间变化，因而电荷产生 的电场是稳恒电场，即静电场。否则电荷分布发生变化，必然引起电场发生变化，电流场

8. 3.1.2 电流的连续性方程 稳恒条件 就不可能维持稳恒。因此，在稳恒条件下，对于任意闭合面 ，面内的电量不随时间变化， 即 ，由式(3.5)得 (3.6) 式(3.6)叫做电流的稳恒条件,它表明,通过 面一侧流入的电量等于从另一侧流出的电量, 也就是说,电流线连续地穿过闭合曲面所包围的体积。因此稳恒电流的电流线不可能在任 何地方中断,它们永远是闭合曲线。 由一束电流线围成的管状区域叫做电流管(见 图3-4)。仿照第一章3.4节的办法,同学们可以证 明,在稳恒条件下,通过同一电流管各截面的电流 强度(即 的通量)都相等。通常的电路由导线联 成，电流线沿着导线分布，导线本身就是一个电 流管。所以在稳恒电路中，在一段没有分支的电 路里，通过各截面的电流强度必定相等。此外电 流的稳恒条件还表明，稳恒电路必须是闭合的。

9. 3.1.3 欧姆定律 电阻 电阻率 （1）欧姆定律 电阻和电导 稳恒电场和静电场一样，满足环路定理： 从而可引入电位差(电压)的概念。电场是形成电流的必要条件，我们也可以说，要使导 体内有电流通过，两端必须有一定的电压。加在导体两端的电压不同，通过该导体的电 流强度也不同。精确的实验表明，在稳恒条件下，通过一段导体的电流强度与导体两端 的电压成正比，即 这个结论叫做欧姆定律。如果写成等式，则有 ，或 (3.7) 式中的比例系数由导体的性质决定,叫做导体的电阻。不同的 导体，电阻的数值一般不同。式(3.7)给出了任意一段导体电 压、电流强度和电阻三者之间的关系。 实验表明，欧姆定律不仅适用于金属导体，而且对电解液 (酸、碱、盐的水溶液)也适用。 以电压 为横坐标、电流强度 为纵坐标画出的曲线，叫做该导体的伏安特性。欧姆定律成立时，

10. 3.1.3 欧姆定律 电阻 电阻率 伏安特性是一条通过坐标原点的直线，其斜率等于电阻 的倒数，它是一个与电压、电流无关的常量。 具有这种性质的电学元件叫做线性元件，其电阻叫做线性电阻或欧姆电阻。 对于气态导体(如日光灯管中的汞蒸汽)和其它一些导电器件，如电子管、晶体管等，欧姆定律不 成立，其伏安特性不是直线，而是不同形状的曲线。这种元件叫做非线性元件。图3-6所示为两种常 用的非线性元件的伏安特性。对于非线性元件，欧姆定律虽然不适用，但我们仍可定义其电阻为 (3.8) 只不过它丕再是常量,而是与元件上的电压和电流 (即工作条件)有关的变量。 电阻的单位是电压和电流强度的单位之 比，即伏特/安培，这单位叫做欧姆，写作 欧或希腊字母 。欧姆是这样一段导体的电 阻，当加在导体两端的电压为1伏特时，通过 导体的电流强度恰为1安培。除了欧姆外，电 阻的常用单位还有千欧( )和兆欧( )：

11. 3.1.3 欧姆定律 电阻 电阻率 1千欧=103欧 ； 1兆欧=106欧。 电阻的倒数叫做电导，用 表示， (3.9) 电导的单位叫做西门子(欧姆)-1。

12. 3.1.3 欧姆定律 电阻 电阻率 （2）电阻率和电导率 导体电阻的大小与导体的材料和几何形状有关。实验表明，对于由一定材料制成的横 截面积均匀的导体，它的电阻 与长度 成正比，与横截面积 成反比。写成等式，有 (3.10) 式中的比例系数 由导体的材料决定，叫做材料的电阻率。如果令式(3.10)中的 =1米, =1米2，则在数值上等于 。这说明，某种材料的电阻率就表示用这种材料制成的长 度为1米、横截面积为1米2的导体所具有的电阻。 当导线的截面 或电阻率 不均匀时，式(3.10)应写成下列积分式： (3.11) 从式(3.10)可以看出，电阻率的单位是欧姆·米，简写做欧·米。 不同材料有不同的电阻率，P231中表3-1列出了几种金属、合金和碳在0℃时的电阻率 。 从表3-1可以看出，银、铜、铝等金属的电阻率都很小，而铁铬铝、镍铬等合金的电

13. 3.1.3 欧姆定律 电阻 电阻率 阻率较大。因此，一般都用电阻率小的铜和铝来制导线，用铁铬铝和镍铬合金作电炉、电 阻器的电阻丝。 电阻率的倒数叫做电导率，用 表示， (3.12) 电导率的单位是西门子/米。 各种材料的电阻率都随温度变化。根据实验知道，纯金属的电阻率随温度的变化比较规则，当温 度的变化范围不大时，电阻率与温度之间近似地存在着如下的线性关系： （3.13） 式中 表示 ℃时的电阻率, 表示0℃时的电阻率, 叫做电阻的温度系数,单位是1/度。不同材料的 电阻温度系数 不同，P231表3-1给出一些常用的金属和合金材料的 值。 从表3-1可以看出，多数纯金属的 值都近似等于0.004，也就是说温度每升高1℃，这些金属的 电阻率就大约增加0.4%。显然，电阻率的这种变化要比金属的线膨胀显著得多。温度每升高1℃，金 属的长度只膨胀0.001%左右。因此，在考虑金属导体的电阻随温度的变化时，我们就可以忽略掉导体 长度 和横截面积 的变化。这样，在式(3.13)中等号的两边都乘以 ,就可以得到: (3.14)

14. 3.1.3 欧姆定律 电阻 电阻率 式中 表示金属导体在 ℃时的电阻， 表示0℃时的电阻。在生产上和科研中，利用金 属导体的电阻随温度变化的这种性质，制成电阻温度计来测量温度。常用的金属是铂和铜。铂电阻温 度计适用于-200℃——500℃，铜的电阻温度计适用于-50℃——150℃。在测温范围内，铂和铜的物 理、化学性质比较稳定，电阻随温度变化的线性关系比较好。 从表中还可以看出，有些合金，如康铜(镍铜合金)和锰铜,它们电阻的温度系数特别小,所以用这 些合金线绕制的电阻受温度的影响极小,常作为标准电阻来使用。 在室温时，金属导体的电阻率约在10-8——10-6欧姆·米之间,绝缘体的电阻率一般为108——1018 欧姆·米，半导体材料的电阻率介于两者之间,约为10-5——1018欧姆·米范围。绝缘体和半导体除了电 阻率的大小与金属导体差异很大外，它们的电阻率随温度变化的规律也与导体大不相同，它们的电阻 率都随温度的升高而急剧地减小，并且变化也不是线性的。 前面讲过，金属材料的电阻率随温度的降低而减小，并且在温度不太低的时候，电阻率近似地随 温度作线性变化。但是当温度降到绝对零度附近时，某些金属、合金以及化合物的电阻率会出现一种 奇特的现象：当温度降低到一特定温度 时，电阻率突然减到无法测量的数值(见图3-7),这种现象叫 做超导电现象, 叫做正常态和超导态之间的转变温度。表3-2中列出了几种超导材料的转变温度。 如果用超导材料做成一个闭合回路，那么在这个回路里，电流一经激发无需电源就可以持续几个 星期之久而不减小，并且也不会象在普通具有电阻的导体回路中那样发热。

15. 3.1.3 欧姆定律 电阻 电阻率 我们知道，在大的电磁铁或电机 表3-2 几种超导材料的转变温度 中，通过线圈中的电流很强，为了 避免产生过多的热量，线圈就必须 用较粗的导线绕制或采取冷却措施。 这就使电磁铁和电机既笨重又耗费 电能。如果用超导体作线圈，显然 就可以避免这种缺点。现在用超导 体产生强磁场和制造电机方面的研 究工作已获得较大的进展。 超导材料除了电阻消失外，还具有一系列其它独特的物理性质。目前我国和国际上都正在从多方 面摸索超导电性在实际中应用的可能性。 （3）欧姆定律的微分形式 我们知道，电荷的流动是由电场来推动的，因此电流场 的分布和电场 的分布密切 相关。它们之间的关系可由上述欧姆定律 导出。 设想在导体的电流场内取一小电流管(见图3-8)，设其长度为 ，垂直截面为 ，把

16. 3.1.3 欧姆定律 电阻 电阻率 欧姆定律用于这段电流管，则有 式中 为管内的电流强度， 为沿这段电流管 的电位降落。实验表明，导体中的场强 与电流密度 的方向处处一致，所以场强方向也是沿电流管的，从 而 。 为电流管内导体的电阻，设它的电导率 为 ，则 。把这些都代入上式，即得 由于 和 方向一致，上式可写成矢量形式： (3.15) 这公式叫做欧姆定律的微分形式。它表明， 与 方向一致，数值上成比例。 式(3.7)即 中的 和 都是积分量,故可叫做欧姆定律的积分形 式。欧姆定律的积分形式描述的是一段有限长度、有限截面导线的导电规律，而欧姆定

17. 3.1.3 欧姆定律 电阻 电阻率 律的微分形式给出了 和 的点点对应关系，所以它比积分形式能够更为细致地描述导体 的导电规律。 必须说明，欧姆定律的微分形式虽是在稳恒条件下推导出来的，但在变化不太快的时 候，对非稳恒情况也适用。在这一点上它比欧姆定律的积分形式更普遍。

18. 3.1.4电功率 焦耳定律 电流通过一段电路时，电场力对电荷做功，在做功的过程中，电位能转化成其它形式 的能量。如果这段电路只是由导线和电阻元件(如电炉或白炽灯)组成的，电位能就转化成 热能，由导线和电炉丝或灯丝释放；如果电路是由导线和直流电动机组成的，电位能的一 部分转化成热能，由导线释放，大部分转化成机械能，由电动机对外界做功。此外，电能 还可以有其它多种转换形式，不一一列举了。 由电压的定义可以知道，若电路两端的电压为 ，则当 单位的电荷通过这段电路时， 电场力所做的功为 因为 ，所以上式可以写成 (3.16) 电场在单位时间内所做的功，叫做电功率。如果用 表示电功率，那么根据上式可得 (3.17) 即电功率等于电路两端的电压和通过电路的电流强度的乘积。 电压的单位是伏特,电流强度的单位是安培,时间的单位是秒,根据式(3.16)和(3.17) 求出的电功和电功率的单位分别是焦耳和瓦特(用字母J和W表示)在电力工程上，通常用千 瓦(Kw)作电功率的单位,用千瓦·小时作电功的单位。我们平时所说的1度电，就指的是1千

19. 3.1.4电功率 焦耳定律 瓦·小时。千瓦·小时和焦耳之间的关系是 1千瓦·小时=1000瓦×3600秒=3.6×106焦=3.6兆焦 用电器上一般都标有额定电压和额定功率。例如，电灯泡上标有“220V 60W”，就表明 这个灯泡在220伏的电压下工作时，功率是60瓦。 如果一段电路只包含电阻，而不包含电动机、电解槽等其它转换能量的装置，那么电 场所做的功就全部转化为热。这时，根据能量转化和守恒定律，式(3.16)也就表示电流通 过这段电路所发的热 ,即 (3.18) 由欧姆定律 或 ,还可以把上式写成 或 (3.19) 式中热量 的单位是焦耳。式(3.19)最初是焦耳直接根据实验结果确定的,叫做焦耳定律。 因为功率 ，所以由式(3.19)可以得出电流通过电阻时发热的功率： 或 (3.20) 式中热功率 的单位是瓦。 再次强调指出，式(3.20)和式(3.17) 是有区别的。 是一段电路所消耗的全部 电功率，而 或 只是由于电阻发热而消耗的电功率。当电路中除了电阻外还有电动

20. 3.1.4电功率 焦耳定律 机、电解槽等其它转换能量的装置时，这两种功率并不相等，必须分别计算。 单位体积内的热功率，叫做热功率密度，用 表示。引入热功率密度的概念后，焦耳 定律也可写成微分形式： (3.21) 推导此式的方法和欧姆定律一样,可利用图3-8所示的小电流管。请同学们自己把式(3.21) 推导出来(本节习题17)。 电流的热效应在日常生活、生产和科研中有着广泛的应用，例如白炽灯、电炉、电烙铁、电烘箱 和其他许多仪器设备都是利用这种效应制成的。 但是，电流的热效应也有不利的一面，在许多场合中它会造成危害。例如，在输电线路中，电流 所发的热无益地散失到周围的空间，因而降低了电能的传输效率，而且如果通过的电流过强，发热过 多散不出去，还会烧坏导线的绝缘层，引起漏电、触电。又如，发电机、电动机、变压器等电气设备 的绕组都是铜导线绕成的，电流通过绕组时发热，就使绕组的温度升高，如果散热不好，也会烧坏绕 组的绝缘层，造成事故。 我们在实验室里用到的各种电阻元件和电学仪器设备都有一定的额定功率或额定电流，使用时要 特别小心，切不可让通过它们的电流超过额定值，以免发热过多而把它们烧毁。 电流的热效应在短路时危害更大。所谓短路就是指两根电源线不经过电阻元件而直接接触。在这 种情况下，因电路中电阻很小，电流很强，短时间内就能产生大量的热，轻则使电源和电气设备烧毁，

21. 3.1.4电功率 焦耳定律 重则引起火灾。为了避免短路事故，在电路中通常要安装保险丝。保险丝一般是用铅或铅锡合金制成 的，熔点很低。当通过的电流过大时，保险丝被烧断，使电路自动断开，这样就可防止把导线和仪器 设备烧坏。保险丝的规格很多，不同规格保险丝的额定电流不同，使用时必须根据电路中的电流强度 适当选择。若选用额定电流过小的保险丝，在正常用电时也会烧断，造成停电事故；若选用额定电流 过大的保险丝，当电路中通过的电流超过允许值时也不会烧断，就起不到保护作用。因此，所选用保 险丝的额定电流一般应接近于或略大于电路中的正常电流。

22. 3.1.5金属导电的经典微观解释 金属导电的宏观规律是由它的微观导电机制所决定的。下面，我们根据简单的经典理 论说明为什么金属导电遵从欧姆定律，并把电导率和微观量的平均值联系起来。 首先定性地描述一下金属导电的微观图像。 当导体内没有电场时，从微观角度上看，导体内的自由电荷并不是静止不动的。以金 属为例，金属的自由电子好象气体中的分子一样，总是在不停地作无规则热运动。电子的 热运动是杂乱无章的，在没有外电场或其它原因(如电子数密度或温度的梯度)的情况下, 它们朝任何一方运动几率都一样。如图3-9 所示，设想在金属内部任意作一横截面，那 么在任意一段时间内平均说来，由两边穿过 截面的电子数相等。因此，从宏观角度上看， 自由电子的无规则热运动没有集体定向的效 果，因此并不形成电流。 自由电子在作热运动的同时，还不时地 与晶体点阵上的原子实碰撞，所以每个自由 电子的轨迹如图3-10的实线所示，是一条迂 回曲折的折线。

23. 3.1.5金属导电的经典微观解释 如果在金属导体中加了电场以后，每个自由电子的轨迹将如图3-10中绿线所示那样， 逆着电场方向发生“漂移”。这时可以认为自由电子的总速度是由它的热运动速度和因电场 产生的附加定向速度两部分组成，前者的矢量平均仍为0，后者的平均叫做漂移速度，下 面用 来表示它。正是这种宏观上的漂移运动形成了宏观电流。 自由电子在电场中获得的加速度为 由于与晶体点阵的碰撞，自由电子定向运动速度的增加受到了限制；电子与晶体点阵碰撞 后将沿什么方向散射，具有很大的偶然性。我们可以假设，电子碰撞后散射的速度沿各个 方向的几率相等，即这时电子完全丧失了定向运动的特征，其定向速度 。此后电子 在电场力的作用下从零开始作匀加速运动，到下次碰撞之前，它获得的定向速度为 式中 为电子在两次碰撞之间的平均自由飞行时间。那么，在一个平均自由程内电子的漂 移速度等于自由程起点的初速度 和终点的末速度 的平均，即 和气体分子运动论中一样，电子的平均自由飞行时间 (即平均碰撞频率 的倒数)与 其平均自由程 和平均热运动速率 有如下关系：

24. 3.1.5金属导电的经典微观解释 所以 (3.22) 因为 、 、 、 都与电场强度无关，故上式证明了自由电子的漂移速度 与 成正比。 负号表明， 与 的方向相反。这是由于电子带负电造成的。 下面我们设法将电流密度 和自由电子的数密度 (单位 体积内的自由电子数)、漂移速度 联系起来。为此我们在金 属中取一垂直于电流线的面元 。从宏观平均效果来看，我 们可以认为所有自由电子以同一速度 运动。在时间 内电 子移过的距离为 。以 为底， 为高作一柱体(图3-11), 则此柱体内的全部自由电子将在 时间间隔内通过 。因柱体的体积为 ，故柱体内 共有 个自由电子。每个电子带电量的绝对值为 ，所以在 内通过 的电量为 从而电流强度和电流密度的数值为

25. 3.1.5金属导电的经典微观解释 电流密度矢量 的方向是以正电荷的运动方向为准的，电子带负电，故 与它的漂移速度 方向相反。把上式写成矢量式，则有 (3.23) 这便是我们想得到的 和 、 之间的关系式。 现在把式(3.22)代入式(3.23)，得 (3.24) 金属中自由电子的数密度 是常数，与 无关，因此，金属导体内的电流密度 与场强 成正比，这就是欧姆定律的微分形式。与宏观规律式(3.15)比较一下,即可看出,电导率 (3.25) 这样,我们就用经典的电子理论解释了欧姆定律,并导出了电导率 与微观量平均值之间的 关系式(3.25)。从式(3.25)还可以看出 与温度的关系，因为 与温度无关, 与 成正 比( 是绝对温度),所以 ,从而电阻率 ,这就说明了为什么随着温度的升高,金属

26. 3.1.5金属导电的经典微观解释 电导率减小,电阻率增加。不过应当指出,从经典电子论导出的结果只能定性地说明金属导 电的规律,由式(3.25)计算出的具体数值与实际相差甚远。此外 或 与温度的关系式也 不对，实际上对于大多数金属来说， 近似与 (而不是 )成正比。这些困难需要用量子 理论来解决。 下面我们再定性地解释一下电流的热效应。在金属导体里，自由电子在电场力的推动 下做定向运动形成电流。在这个过程中，电场力对自由电子做功，使电子的定向运动动能 增大。同时，自由电子又不断地和晶体上的原子实碰撞，在碰撞时把定向运动动能传递给 原子实，使它的热振动加剧，因而导体的温度升高，也就是说，导体就发热了。 综上所述，从金属经典理论来看，“电阻”所反映的是自由电子与晶体点阵上的原子实 碰撞造成对电子定向运动的破坏作用，这也是电阻元件中产生焦耳热的原因。 最后，为了使同学们有个数量级的概念，我们举一个数字例子。 【例题】设铜导线中有电流密度为2.4安/毫米,铜的自由电子数密度 ,求 自由电子的漂移速率。 【解】

27. 3.1.5金属导电的经典微观解释 金属中自由电子的平均热运动速率有 米/秒，可见自由电子作定向运动的漂移速率远远 小于平均热运动速率。 也许同学们会发生这样的疑问，电子定向速率如此之小，为什么平常我们都说“电”的 传播速度是非常快的？例如在很远的地方把开关接通，灯就会立即亮起来。如果按例题中 的速率 来计算，似乎要等很久灯才会亮起来。这问题应这样来理解：此处起作用的速度 并不是电子的漂移速度，而是电场的传播速度，它的数量级极大，约为 米/秒。金属 导线中各处都有自由电子。只是由于未接通开关时，导线处于静电平衡，体内无电场；自 由电子没有定向运动，从而导线中也无电流。但是开关一旦接通，电场就会把场源变化的 信息很快地传播出去，迅速达到重新分布，电路各处的导线里很快建立了电场，推动当地 的自由电子定向运动，形成电流。如果认为，当开关接通后电子才从电源出发，等到它们 到达负载之后，那里才有电流。这完全是一种误解。

28. 作业： p243 3、 6、 7、 8、 12、 17、 20、

29. 3.2.1非静电力 1.2节的分析表明，稳恒电流线必然是闭合的。然而进一步分析可知，仅有静电场不 可能实现稳恒电流。我们知道，静电场的一个重要性质是 即电场力沿闭合回路移动电荷所做的功为0，或者说，若电场力将电荷从一点移到另一点 做正功，电位能减小，则从后一位置回到原来位置电场力做负功,电位能增加。由于导体 存在电阻，电场力移动电荷所做的功转化为电阻上消耗的焦耳热，这就不可能使电荷再返 回电位能较高的原来位置，即电流线不可能是闭合的。结果引起电荷堆积，破坏稳恒条件。 因此，只有静电场还不能维持稳恒电流。要维持稳恒电流，必须有非静电力。非静电力做 功，将其它形式的能量补充给电路，使电荷能够逆着电场力的方向运动，返回电位能较高 的原来位置，从而维持电流线的闭合性。 提供非静电力的装置称为电源。我们用Ｋ表示作用在单位正电荷上的非静电力。在电 源的外部只有静电场Ｅ；在电源内部，除了有静电场Ｅ之外，还有非静电力Ｋ，Ｋ的方向 与Ｅ的方向相反。因此，普遍的欧姆定律的微分形式应是 (3.26) 式(3.26)表明,电流是静电力和非静电力共同作用的结果。

30. 3.2.1非静电力 图3-12是电源的一般原理图。电源都有两个电极，电位高的 叫做正极，电位低的叫做负极。非静电力方向由负极指向正极。 当电源的两电极被导体从外面联通后，在静电力的推动下形成 由正极到负极的电流。在电源内部，非静电力的作用使电流从 内部由负极回到正极，使电荷的流动形成闭合的循环。 电源的类型很多，不同类型的电源中，形成非静电力的过程 不同。在化学电池如干电池、蓄电池中，非静电力是与离子的溶解和沉积过程相联系的化 学作用；在普通的发电机中，非静电力是电磁感应作用。这些在以后有关章节中详细讨论。

31. 3.2.2电动势 一个电源的电动势 ℰ 定义为把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时，非静电力 所作的功。用公式来表示，则有 (3.27) 一个电源的电动势具有一定的数值，它与外电路的性质以及是否接通都没有关系，它反映 电源中非静电力作功的本领，是表征电源本身的特征量。电动势是标量。电动势的单位和 电位的单位相同，也是伏特。 以后我们会遇到在整个闭合回路上都有非静电力的情形(例如本章§4中讲的温差电动 势和第五章2.3节中讲的感生电动势)。这时无法区分“电源内部”和“电源外部”，我们就说 整个闭合回路的电动势为 (3.28) 式(3.28)比式(3.27)更普遍,式(3.27)是式(3.28)的一个特殊情形。因为在电源外部 ， 式(3.28)就化为式(3.27)了。

32. 3.2.3电源的路端电压 把电源接到电路中，在一般情况下就会有电流 通过。通过电源的电流方向有两种可 能性：从负极到正极，或从正极到负极。例如当我们把一个负载电阻 接到电源的两极上 构成闭合回路时(见图3-13a),通过电源内部的电流是从 负极到正极；当我们把另一个电动势 较大的电源接 到电动势 较小的电源上，正极接正极，负极接负极 (见图3-13b),通过后一电源内部的电流是从它的正极 到负极的。前一情形叫做电源放电，后一情形叫做充 电。以上只是两个最简单的例子。在复杂电路中某个 电源究竟是在充电还是放电，往往难以一望而知。这 类问题如何解决，将在本章§4中加以讨论，此处仅仅指出，两种情形都是可能的。 现在我们来计算一个电源两端的电压(路端电压)。按照定义，路端电压是静电场力把 单位正电荷从正极移到负极所作的功，即 这里路径是任意的。我们选择积分路径通过电源内部。根据式(3.26),

33. 3.2.3电源的路端电压 代入前式,得 现对于上面的推导作些解释： 是电源的电动势。 是电阻率。 ， 是电 流强度，对于稳恒情形来讲，它沿积分路径是常数，故可从积分号中提出来； 是导体的 截面积。 是电源的内阻。 是 与 间的夹角，对于电源放电的情形，电源内 的方向是从负到正，与积分路径相同，故 ；对于电源充电的情形， 故上面的公式中 一项，负号针对放电情形，正号针对充电情形。总结起来，电源的路 端电压公式为

34. 3.2.3电源的路端电压 (3.29) (3.30) 称为电源内阻上的电位降。式(3.29)表明,放电时路端电压小于电动势；式(3.30)表明， 充电时路端电压大于电动势；电动势与路端电压之差等于内阻电位降。当 时(外电路 断开或电位得到补偿,参看3.3节),内阻电位降为0,则 。 若电源的内阻 ，则无论电流有无或电流沿什么方向，端电压 总等于 ，即电压 是恒定的。这样的电源叫做理想电压源。从式(3.29)和(3.30)可以看出,一个有内阻的实 际电源等效于一个电动势为 的理想电压源和一个阻值等于其内阻 的电阻串联,图3-14 称为它的等效电路。不难看出，无论放电还是 充电，这串联电路的端电压 都与式(3.29)和(3.30)中的 符合。 在单位时间里移过的电荷为 ，将式 (3.29)和(3.30)乘以 ，则得功率的转化公式：

35. 3.2.3电源的路端电压 两式中各项的物理意义如下： 是内阻上消耗的热功率。在放电情形里 是电源中非静电 力提供的功率，它是靠消耗电源中非静电能得到的； 是电源向外电路输出的功率。在充 电情形里 是外电路输给电源的功率， 是抵抗电源中非静电力的功率，它转化为非静电 能而储存于电源中。所以放电时能量的转换过程是电源中的非静电能一部分输出到外电路 中，一部分消耗在内阻上转化为焦耳热；充电时能量的转换过程是外电路输入电源的能量 一部转化为非静电能由电源储存起来，一部分消耗在内阻上转化为焦耳热。 【例题】用20安培的电流给一铅蓄电池充电时，测得它的路端电压为2.30伏特；用12安培放电时,其 路端电压为1.98伏特,求蓄电池的电动势和内阻。 【解】充电时的路端电压为 放电时的路端电压为 将以上两式联立，解得

36. 3.2.4闭合回路的电流强度和输出功率 现在考虑图3-13a 中的闭合回路，这是最简单的闭合回路，其中只有单一电源和一个 负载电阻 ，它属于电源放电情形。在这简单回路里电源的路端电压 同时也是外电阻 两端的电压，故根据欧姆定律， ，代入式(3.29)后,可将 解出来： (3.33) 利用这公式可将回路中的电流 求出来。有人把这个公式叫做闭合回路(或全电路)的欧姆 定律。 式(3.33)表明，外电阻越小，则 越大。再结合式(3.29) 考虑，则 越大， 内阻电位降越大，路端电压就越小。当外电阻短路时 。一般电源的内阻 是很小的，因此短路时电流 很大，而且电源提供的全部功率消耗在内阻上，产生大量的 热，可能把电源烧毁。所以实际中应注意防止电源短路。在相反的情形里，当外电路的电 阻 很大时， 很小，内阻电位降也小， 。断路时 。则 严格地等于 。 电源向负载提供的输出功率为 (3.34)

37. 3.2.4闭合回路的电流强度和输出功率 很大或 很小时， 都不大，只有 的取值选择适当，才能使输出功率达到最大值。取式 (3.34)对 的微商,并令它等于0： 由此得 达到极大值的条件为 (3.35) 式(3.35)叫做负载电阻与电源的匹配条件。应当强调指出，“匹配”的概念只是在电子电路 (如多级晶体管放大电路)中才使用,因为 在那里电源的内阻一般是比较高的,且输出讯号 的功率本来就很弱,所以才需要使负载与电源匹配,以提高输出功率,通常在低内阻大功率 的电路中不但不需考虑匹配,而且这样做会导致电流过大,容易引起事故,是很危险的。 3.2.5节同学们有兴趣可以自己看。

38. 3.2.6稳恒电路中电荷和静电场的作用 上面我们详细地分析了非静电力、电动势在稳恒电路中的作用，下面我们进一步讨论 静电场在稳恒电路中的作用。为此，先说明在稳恒情况下决定电场的电荷是如何分布的。 在没有非静电力的地方，根据稳恒条件式(3.6)和式(3.15)可得 如果导体的导电性能是均匀的,即 是常数,可以从积分号内提出来,并且由于 ,得 (3.36) 由于闭合面 可以任意选取,对于任一 面上式都成立,由高斯定理可知,这时任一闭合面 内 。显然，这一结果不适用于非均匀导体内部，或不同电导率的导体分界面上,因为 这时 不是常数,不能从积分号内把它提出来。所以,在稳恒电流的条件下,均匀导体内部 没有净电荷,电荷只能分布在导体的非均匀处,或分界面上。稳恒条件下的电场正是来自这 些电荷。 此外，在稳恒条件下，电力线和电流线必须与导体表面平行，否则在电流线指向导体、 表面的地方将有电荷的继续积累，从而破坏稳恒条件。

39. 3.2.6稳恒电路中电荷和静电场的作用 在稳恒条件下，电场起着重要作用。一方面，它和非静电力合在一起保证了电流的闭 合性。由于电场既存在于电源内部，也存在于外电路，在电源内部，电场的方向和非静电 力的方向相反，非静电力将正电荷由电源的负极移到正极，其电位升高；在外电路中，正 电荷在电场力的作用下，由正极回到负极，其电位能降低，从而电流形成闭合循环。从能 量转换的角度来看，在电源内部，非静电的能量转化为静电能；在外电路中，电位能转化 为电阻所消耗的热能。由此可以看出，在把电源内部的非静电能转运到负载的过程中，静 电场起着重要的作用。 另一方面，在外电路中，电场决定了电流的 分布。从欧姆定律的微分形式已经清楚地说明了 这一点，下面我们通过分析电流达到稳恒的过程 来更具体地认识它。当电源两端断开时，两极上 积累的电荷在空间建立起电场，如图3-18a所示。 我们用黑色线表示等位面与纸面的交线，用绿色 线表示电力线。由图中可以看出，两电极附近的等位面比较密集，相应地这里的电力线也

40. 3.2.6稳恒电路中电荷和静电场的作用 也比较稠密，电场较强。现以一均匀导线联通两电极(见图3-18b)。在开始接通的瞬间,设 想电荷还未移动,电场仍然维持原来的分布,导体中的自由电子在此电场作用下，造成导线 两端的电流强度比中间大。具体地说,如果我们用位于中间的等位面把导线分成两段,那么 从A到B沿导线从一个截面到另一个截面看下去,前半段内电场强度逐渐减小,电流强度也随 之相应地减小,于是就有过剩的正电荷出现；而在后半段,越靠近B,电场越强,电流越大,于 是将有负电荷出现。它们所激发的电场，使导线两端较强的电场减弱，中间较弱的电场增 强。于是，电流强度沿导线的分布发生相应的变化，使电流趋于均匀。这种过程一直进行 到沿均匀导线电场强度和电流强度的大小处处相同、电荷不再继续积累为止，这时电路达 到了稳恒状态。需知，在稳恒状态下，电荷只分布在导体表面上，并且在导线内的电力线 与导线平行，从而电压均匀地分配到整个均匀导线上。实际上，从接通电池两极到电路达 到稳恒状态所需的时间是极短的。此外，实际发生的过程远比上述描述的要复杂得多，当 我们将导线移近而还未接通之前，电荷与电场的重新分布的过程就已经开始。但是无论如 何，导体中的电流是由电场决定的，而此电场又是由分布于导体表面以及导体内部不均匀 处的电荷所产生的。

41. 作业： p259 2 、 3

42. 3.3.1串联和并联电路 （1）串联电路 把多个电阻一个接着一个地联接起来,使电流只有一条通路,这样的联接方式叫做串联 (图3-19)。根据电流的稳恒条件，串联电路的基本特 点是通过各电阻元件的电流强度 相同，此外，串联 电路两端的总电压等于各个电阻两端电压之和： (3.37) 若各电阻元件服从欧姆定律，则有 , , …， (3.38) 此式表明：在串联电路中，电压的分配与电阻成正比。 将式(3.38)代入式(3.37),得 所以串联电路的等效电阻 为 (3.39) 即串联时等效电阻等于各电阻之和。 用 去除式(3.38)中各式，得各电阻元件上消耗的功率： ， ，…， (3.40) 此式表明：在串联电路中功率的分配与电阻成正比。

43. 3.3.1串联和并联电路 （2）并联电路 把多个电阻并排地联接起来，使电路有两个公共联接点和多 条通路，这样的联接方式叫做并联(图3-20)。并联电路的基本特 点是各电阻两端有相同的电压，此外，通过并联电路的总电流强 度等于通过各支路电流强度之和： (3.41) 若各电阻元件服从欧姆定律,则有 ， ，…， (3.42) 此式表明：在并联电路中电流的分配与电阻成反比。 将式(3.42)代入式(3.41),得 所以并联电路的等效电阻 的倒数为 (3.43) 用 去乘(3.42)中各式,得各电阻元件上消耗的功率为： , , …, (3.44) 此式表明：在并联电路中功率的分配与电阻成反比。

44. 3.3.1串联和并联电路 （3）应用举例 在实际电路中,串联或并联在一起的几个电阻的阻值有时相差几个数量级。在这种情况 下,串联时外加电压几乎全部降落在高电阻上,等效电阻和电流也主要由高电阻决定,低电阻 的作用实际上可以忽略；并联时,电流几乎全部由低电阻通过,等效电阻和电流也主要由低 电阻决定,高电阻的作用实际上可以忽略。这一点在分析实际电路问题时很有用。现举一例。 【例题1】图3-21a所示是研究灵敏电流计 性能的实验中所用的电路。各电阻的阻值 如图中所示,试估算电池的外电阻(即所有 电阻的等效电阻)有多大。 【解】从电池两端看去，这个电路可改画 成图3-21b所示的形式，这样就把电阻的串、 并联关系表现得更清楚了。在A’C’之间 比和它并联的 小得多，可近似认为 A’C’间的电阻为 这个电阻又和阻值 大得多的 串联，因此又可以近似认为AC间

45. 3.3.1串联和并联电路 这一支路的电阻为 。在AC间并联的各分支中， 比其余两个分支的阻值小得多，可近似认为 AC间的等效电阻为 。它又与 串联，因此AB间的电阻，即电池的外电阻约为 。 在电学实验和电磁测量电路中常常使用变阻器。变阻器有两个固定接头A、B和一个滑 动接头C(见图3-22)。标示变阻器规格的参量有(1)AB之间的总阻值,(2)额定电流(即在安 全限度内的最大电流)。变阻器的用途之一是制流。制流电路的联接方法如图3-22所示。A 端和C端联接在电路中，B端空着不用。由于AC间的电阻可以改变，因而整个电路中的电流 就受它的控制。当接触器滑到B端时，变阻器的全部电阻串入电路， 最大，这时电路中 的电流最小。当接触器滑到A端时， ，电路中的电流最大。为了保证安全，在接通 电源之前，应使 最大，即令接触器移到B端。 【例题2】若在图3-22中负载电阻 ，安培计内阻可忽略。希望通过负载的电流在50—500毫安 范围内可调，电源应选用几伏特？变阻器应选用怎样的规格？ 【解】当变阻器电阻 时电路中应能达到最大电流500毫安，这时电路中只有电阻 ， 所以电源电动势应为 当变阻器电阻调到最大(即 )时,电路中电流应不大于50毫安,即要求电路中的总电阻为 即

46. 3.3.1串联和并联电路 所以电源电压应选用25伏,变阻器应选用总电阻等于或稍大于450欧姆的,其额定电流应小于500毫安。 变阻器的另一用途是分压。分压电路的联接方法如图3-23所示。变阻器的两个固定端 A、B分别与电源的正、负极相联，滑动端C和一个固定端A或B(图中是A)联接到负载上去。 当电源接通时，电流在变阻器两端产生电压， 而AC之间的电压只是其中一部分。AC之间的电 压随接触器的滑动而变化。当接触器滑到A端时， ；当接触器滑到B端时， 最大，这时等 于电源的端电压。为了保证安全，在接通电源 之前应使电压 ，即把接触器移到A端。 【例题3】在图3-23中负载电阻 ，电源电动势 (内阻可忽略)。在这种情况下选用 、额定电流100毫安的变阻器分压，是否安全？ 【解】在变阻器的CB段内的电流较AC段内大，而且随着接触器滑近B端，CB段内电流将越变越大。所 以当接触器很接近B端而又未完全到达B端时，变阻器CB段内的电阻丝被烧断的可能性最大。现在我们 来计算一下这时它的电流。这时电路中的总电阻差不多是负载 和 的并联，即 从而总电流(也就是通过变阻器CB段的电流)为

47. 3.3.1串联和并联电路 它超过了变阻器的额定电流。所以上述选择是不够安全的，当接触器太接近B端时，CB段内的电阻丝 有可能被烧断。 电流计通常又叫表头。常用的磁电式电流计主要由永久磁铁和放置在其磁场中可转动 的线圈组成，线圈上装有指针。当线圈中有电流通过时，由于电流和磁场的相互作用,线 圈发生偏转并由指针的位置显示出来,偏转角度的大小与流过线圈的电流强度成正比。电 流计的结构和作用原理可参看第四章4.6节。标明电流计规格的有内阻和满度电流(即指针 达到满刻度时的最大电流)两个参量。一般说来,电流计的满度电流较小。测量电压用的伏 特计由电流计串联高电阻组成。测量电流用的安培计由电流计并联低电阻组成。 【例题4】测量电压的电表叫做伏特计(或毫伏计),如上所述,它是由电流计串联电阻组成,串联的电 阻叫做扩程电阻。如图3-24所示，电流计的满度电流 ，内阻 ，如果把它改装成量程 的伏特计，应串联多大的 扩程电阻 ？ 【解】伏特计的量程是指它的最大可测量电压。因此，电流计的指针 偏转到满刻度时，加在伏特计两端的总电压为 ，降落在电流 计两端的电压为 ，所以降落在扩程电阻 两端的电压为

48. 3.3.1串联和并联电路 通过扩程电阻 的电流为 因为电流计和扩程电阻 是串联的,所以通过它们的电流相等：即 所以， （3.45) 式中 称为扩程倍数。因此，知道了电流计的满度电流 、内阻 和改装成的伏特计的量程 ， 就可以由式(3.45)求出扩程电阻 的数值。例如，把上面所给的数据 、 、 代入式(3.45),就可以得到 串联的扩程电阻 一方面分担了电流计所不能承受的那部分电压,另一方面还使改装成的伏特计 具有较高的内阻,从而可以减小对待测电路的影响。根据电阻串联公式(3.39),伏特计的内阻为 例如,在上面的例子里改装成的伏特计的内阻 就是200千欧。 【例题5】测量电流的电表叫做安培计(毫安计,微安计),它是由电流计并联分流电阻组成,如图3-25, 一个电流计的满度电流 ,内阻 ,现在要把它改装成量程为10毫安的安培计,那么应 该并联多大的分流电阻 ? 【解】按题意，当电流计指针偏转到标尺上最大刻度时，通过安培计的总电流为

49. 3.3.1串联和并联电路 通过电流计的电流 ，所以通过分流电阻 的 电流为 这时电流计两端的电压为 ， 两端的电 压为 因为电流计和 是并联的，所以 ，即 由此可得， (3.46) 上式中 称为扩程倍数。因此,知道了电流计的满度电流 、内阻 和改装成的伏特计的量程 ， 就可以由式(3.46)求出分流电阻 的数值。例如，把开始所给的数据 、 、 代入式(3.45),就可以得到 这就是说，在满度电流为50微安，内阻为1.0千欧的电流计上并联一个5.0欧的分流电阻,就可把它改 装成量程为10毫安的安培计。

50. 3.3.1串联和并联电路 并联的分流电阻 不但分担了电流计所不能承受的那部分电流，扩大了电子表的量程，而且还使 改装成的安培计具有很小的内阻，从而可以减小对待测电路的影响。安培计的内阻 可以用电阻的并 联公式(3.43)来计算，也可以直接由欧姆定律求出： (3.47) 例如，在一面的例子里，已知 ， ，代入上式即得： 从式(3.47)可以看出，电流计的满度电流 越小，改装成的安培计的内阻 就越小。 最后，我们分析一个功率分配的例题。 【例题6】将一个标称220V 15W和一个标称220V 60W的灯泡串联起来，接在220V电源上，两灯泡消耗 的功率之比是多少？ 【解】当两灯泡并联到220V电源上时，它们消耗的功率即为标称功率： ， ， 由于并联时功率 、 与电阻 、 成反比，串联时功率 、 与电阻 、 成正比，故 、 与 、 成反比： 即串联时标称功率大的灯泡消耗的功率反而小了。从现象上来说，此时，60W的灯泡反倒比15W的灯泡 要暗。