PREBODI SKOZI OGLATA TELESA

1. PREBODI SKOZI OGLATA TELESA UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA ARHITEKTURO OPISNA GEOMETRIJA MENTOR: DOC. DR. DOMEN KUŠAR AVTORICA: KATJA CENTRIH

2. PREBODI SKOZI OGLATA TELESA Prebod telesa s premico pomeni določitev točk, v katerih premica prebode površje telesa (mejne ploskve telesa). Te točke imenujemo prebodišča. Pri konstrukciji prebodišč si pomagamo s pomožno projicirno ravnino skozi premico, ki prebada telo. Pomožno ravnino postavimo tako, da je določanje preseka te ravnine in telesa čim bolj enostavno - pri piramidah ravnina poteka skozi vrh, pri prizmah pa vzporedno s stranskim robom prizme. Presek piramide s to pomožno ravnino je trikotnik, presek prizme pa paralelogram. Kjer premica p seka obod trikotnika oz. paralelograma, dobimo PREBODIŠČA. V 4 3 T p p T I II m m I II M e P e 1 P 2 1 2 M PIRAMIDA PRIZMA

3. PODATKI: Poševna štiristrana piramida ABCDV [A(0,13/2, 0), B(-7/2, 4, 0), C(-1, 1/2, 0), D(2, 3, 0), V(-1, 3, 13/2)] Premica p [P(3, 3/2, 6), R(-9/2, 6, 3/2)] PREBOD PIRAMIDE S PREMICO V koordinatni sistem vrišemo podatke – piramido, ki jo določajo točke osnovne ploskve A, B, C, D ter točka V, ki predstavlja vrh piramide (pazimo na vidnost). Narišemo tudi premico p, s katero bomo prebodli telo. Premico določata točki P in R. z P’ V’’ p’’ T’’ Na premici p’’ v narisni ravnini si izberemo poljubno točko T’’, ki jo povežemo z vrhom piramide. Nastala premica m’’ seka ravnino osnovne ploskve π1 v točki M’’ (točko T’’ si izberemo tako, da bo M’’ na risalnem papirju). m’’ R’’ Točko T, premico m in presečišče M narišemo tudi v tlorisni ravnini. M’’ D’’ A’’ C’’ B’’ N’’ Premici m in p določata pomožno ravnino E, katere prva slednica e1 je presečnica ravnine osnovne ploskve piramide in pomožne ravnine E. 0 e1’’ X1,2 C’ p’ P’ m’ M’ T’ V’ Kjer e1’’ seka premico p’’, dobimo točko N’’, ki jo nato prenesemo na premico p’ v tlorisno ravnino. Točki N’ in M’ povežemo, s tem pa dobimo slednico e1’ ravnine E tudi v tlorisu. D’ B’ 2’ Premica e1 seka osnovna roba piramide AB in AD v točkah 1in2, ravnina E pa seka stranski ploskvi ABV in ADV v daljicah 1Vin2V. R’ 1’ e1’ A’ N’ y

4. PODATKI: Poševna štiristrana piramida ABCDV [A(0,13/2, 0), B(-7/2, 4, 0), C(-1, 1/2, 0), D(2, 3, 0), V(-1, 3, 13/2)] Premica p [P(3, 3/2, 6), R(-9/2, 6, 3/2)] PREBOD PIRAMIDE S PREMICO z z P’ P’ V’’ V’’ Sečišči daljic 1V in 2V ter premice p sta prebodišči I in II. p’’ p’’ T’’ T’’ I’’ I’’ PRI RISANJU PAZIMO NA VIDNOST! II’’ II’’ m’’ m’’ R’’ R’’ M’’ M’’ D’’ D’’ A’’ A’’ C’’ C’’ B’’ B’’ N’’ N’’ 0 0 e1’’ e1’’ X1,2 X1,2 C’ C’ p’ p’ P’ P’ m’ m’ M’ M’ T’ T’ V’ V’ D’ D’ B’ B’ I’ I’ II’ II’ 1’ 1’ R’ R’ 2’ 2’ e1’ e1’ A’ A’ N’ N’ y y

5. PODATKI: Poševna prizma z osnovno ploskvijo ABCD [A(-5/2, 5, 0), B(0, 6, 0), C(3/2, 7/2, 0), D(-1, 3, 0)] ter stranskim robom AĀ [A, Ā(1, 5/2, 4)] Premica p [P(-1, 3/2, 7/2), R(4, 9/2, 1/2)] PREBOD PRIZME S PREMICO V koordinatni sistem vrišemo podatke – prizmo, ki jo določajo točke osnovne ploskve A, B, C, D ter stranski rob AĀ. Narišemo tudi premico p, s katero bomo prebodli telo. Premico določata točki P in R. z p’’ Ā’’ P’’ Skozi poljubno točko na premici p (v našem primeru kar skozi točko P) narišemo premico m, ki je vzporedna s stranskim robom prizme. Premica m’’ seka ravnino osnovne ploskve π1 v točki M’’. Točko M prenesemo tudi v tlorisno ravnino. m’’ R’’ B’’ D’’ A’’ C’’ N’’ M’’ Premici m in p določata pomožno ravnino E, katere prva slednica e1 je presečnica ravnine osnovne ploskve prizme in pomožne ravnine E. Ravnina E je vzporedna stranskim robovom prizme. e1’’ 0 X1,2 P’ Ā’ B’’ C’’ D’’ D’ C’ B’ m’ D’ Kjer e1’’ seka premico p’’, dobimo točko N’’, ki jo nato prenesemo na premico p’ v tlorisni ravnini. Točki N’ in M’ povežemo, s tem pa dobimo slednico e1’ ravnine E tudi v tlorisu. M’ 1’ C’ 2’ R’ e1’ N’ A’ Kjer slednica e1’ seka obod osnovne ploskve prizme, dobimo sečišči 1’ in 2’. p’ B’ y

6. PODATKI: Poševna prizma z osnovno ploskvijo ABCD [A(-5/2, 5, 0), B(0, 6, 0), C(3/2, 7/2, 0), D(-1, 3, 0)] ter stranskim robom AĀ [A, Ā(1, 5/2, 4)] Premica p [P(-1, 3/2, 7/2), R(4, 9/2, 1/2)] PREBOD PRIZME S PREMICO Če skozi 1’ in 2’ položimo vzporednici s stranskimi robovi, dobimo presek plašča prizme z ravnino E. Presečnica 34 druge osnovne ploskve prizme je enaka in vzporedna s presečnico 12. z z p’’ p’’ Ā’’ Ā’’ P’’ P’’ I’’ I’’ Presek prizme in ravnine E je paralelogram 1234. m’’ m’’ II’’ II’’ Sečišči paralelograma 1234 ter premice p sta prebodišči I in II. R’’ R’’ D’’ D’’ A’’ A’’ B’’ B’’ C’’ C’’ N’’ N’’ M’’ M’’ e1’’ e1’’ 0 0 PRI RISANJU PAZIMO NA VIDNOST! X1,2 X1,2 P’ P’ 4’ 4’ I’ I’ B’ C’’ C’ D’’ B’’ B’ D’ C’’ D’’ D’ C’ B’’ 3’ 3’ m’ m’ Ā’ Ā’ D’ D’ C’ C’ M’ M’ 1’ 1’ II’ II’ 2’ 2’ R’ R’ e1’ e1’ N’ N’ A’ A’ p’ p’ B’ B’ y y