任意角的三角函数

1. 五年制高职数学教学课件 任意角的三角函数 溧水职业教育中心校钟超华 n.jzch@163.com

2. B c a A C b 复习:初中锐角的三角函数是如何定义的？ 在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切、余切依次为:

3. y O x 1.任意角三角函数的定义: 设α是任意角，p（x，y）是角α终边上任意一点（除端点外），PO=r（r＞0），则角α的六个三角函数是： α的终边 正弦：sinα=y/r 余弦：cosα=x/r P(x,y) 正切：tanα=y/x 余切：cotα=x/y ？？？ 正割：secα=r/x 余割：cscα=r/y P点的位置对这些比值有影响吗？

4. 注意： (1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题时，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合. (2) α是任意角，射线OP是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox转了几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关. (3)sinα是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样.

5. (4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别: 锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的， 任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义. 实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.

6. 2.三角函数的定义域 通过对三角函数定义的讨论，推导出任意角三角函数的定义域。 三角函数 定义域 sinα=y/r R cosα=x/r R tanα=y/x cotα=x/y secα=r/x cscα=r/y

7. 例2：求下列各角的六个三角函数值： （1）0 （2） （3） 例题分析: 例1：已知角α的终边经过点p（2，-3），求α的六个三角函数值；

8. 练习2:已知角α的终边与函数 的图象重合，求α的六个三角函数值。 课堂练习: 练习1：已知角α的终边经过点p（2t，-3t） （t＜0），求α的六个三角函数值；

9. cos cot sin tan α α α α y y y y o o o o x x x x 3.三角函数值在各个象限内的符号 + + – + – – – + – + – + – + – +

10. 例3:判断下列三角函数值的符号。 cot(-672。) cos4 例4:求证： 是第三象限角的充分必要条件是 （1） （2） 课堂练习:P67

11. 1.若点P（－3,y）是角α终边上一点，且 sin α＝ ，则y的值是。 2.已知角θ的终边上一点P（x,－2）（x≠0）， 且cos θ＝ 求cos θ和tan θ的值。 补充练习

12. 3.已知角α的终边上一点P与A（a，b）关于x轴 对称（a≠0且b≠0)，角β的终边上的点Q与A 关于直线y＝x对称， 求sin α sec β＋tan α cot β＋sec α csc β的值。

13. 5.函数 的值域是（ ） A. {-2,4} B. {-2,0,4} C. {-2,0,2,4} D. {-4,-2,0,4} 4.cos α＜0是α是第二象限的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

14. 6.若sin θ＜0且tan θ＞0,则θ是（ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 7.已知角θ的终边在直线y＝－3x上， 求10sin θ＋3sec θ的值。

15. 小结 • 利用定义求三角函数值，首先要建立直角坐标系，角α顶点和始边要按既定的位置设置．角的三角函数定义式，其实是比例的化身，它的背后是相似形在支称着，不过这个定义具有一般性，如轴上角的三角函数，如果没有定义作为论据，欲求其函数性就不是很容易． • 象限角的三角函数值的符号．