1 / 16

HOMOMORFISMA GRUP

HOMOMORFISMA GRUP. Dalam mempelajari sistem , perlu juga mempelajari tentang suatu fungsi yang mengawetkan operasi aljabar .

zeno
Download Presentation

HOMOMORFISMA GRUP

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. HOMOMORFISMA GRUP

  2. Dalammempelajarisistem, perlujugamempelajaritentangsuatufungsi yang mengawetkanoperasialjabar. • Sebagaicontoh, dalamaljabar linier dipelajaritentangalihragam linier ( linier transformation ). FungsiiniT : V  W mengawetkanpenjumlahandanpergandaanskalar. Definisi VII.1 • Diketahuipemetaan/fungsif : AB. Fungsi f dikatakansurjektifjikadanhanyajikauntuksetiapyBterdapatxAsehinggay = f(x).

  3. Contoh VII.1 : • Diketahuifungsif : R  R denganf(x) = x. Fungsifmerupakanfungsi yang surjektif. Sedangkanfungsif : RRdenganf(x) = x2bukanfungsisurjektifkarena -2  R tetapitidakadax R sehinggaf(x) = x2 = -2. Definisi VII.1 • Diketahuipemetaan/fungsif : AB. • Fungsifdikatakaninjektifjikadanhanyajikauntuksetiapx, yAdenganf(x) = f(y) berlakux = y.

  4. Contoh VII.2 : • Diketahuifungsif : R  R denganf(x) = x3. Fungsifmerupakanfungsi yang injektifkarenauntuksetiapx, yR denganf(x) = f(y) makax3 = y3sehinggaberlakux = y. • Sedangkanfungsif : R  R denganf(x) = x2bukanfungsiinjektifkarenaada -2 , 2  R dan -2 ≠ 2 tetapif(-2) = (-2)2 = 4 = 22 = f(2). Definisi VII.1 • Diketahuipemetaan/fungsif : AB. Fungsifdikatakanbijektifjikafinjektifdanfsurjektif.

  5. Contoh VII.3 : • 1. Fungsif : R  R denganf(x) = xmerupakanfungsibijektif. • 2. Fungsif : R  R denganf(x) = x2merupakanbukanfungsibijektifkarenaftidakinjektif. • 3. Fungsif : R  R denganf(x) = 2 x + 3 merupakanfungsibijektif. • 4. Fungsif : R  R denganf(x) = x3merupakanfungsibijektif. • 5. Fungsif : R  R+denganf(x) = exmerupakanfungsibijektif. Definisi VII.1 • Misalkan < G, * > dan < H, .> grup. • Pemetaanf : GHdinamakanhomomorfismagrupjikafmengawetkanoperasiyaituasalkanbahwaf(x * y) = f(x) . f(y) untuksemuax, yG.

  6. Contoh VII.4 • Misalkan < G, . > suatugrupabeliandannbilanganbulattertentu. • Akanditunjukkanbahwaaturanf(x) = xnmendefinisikansuatuhomomorfisma f : GG. • Karenaf(xy) = (xy)n = xnyn = f(x) f(y) makafmengawetkanoperasi. • Khususnya,  : Z10* Z10* dengan (x) = x2. Hal ituberarti(1) = 1, (3) = 9, (7) = 9, dan(9) = 1. Contoh VII.5 • Determinansebenarnyamerupakanhomomorfismadari M2x2* keR* karenadeterminanmempunyaisifatdet(AB) = det(A) . det(B) yang berartifungsideterminanmengawetkanoperasi. Dalamhalinideterminanjugamerupakanfungsi yang surjektif.

  7. Suatuhomomorfismagrup yang bijektif (surjektifdaninjektif) dinamakanisomorfismagrup, sedangkanisomorfismadarigrupGkedirinyasendiridinamakanautomorfisma. • DalamteorigrupautomorfismadapatdigunakanuntukmenghubungkangrupbagiandarisuatugrupGdengangrupbagian yang lain dalamupayamenganalisisstrukturdarigrupG. Salahsatubentukautomorfisma yang pentingadalahsebagaiberikut: untuksetiapbdalamGterdapatsuatuautomorfismafbyang membawaxkekonjugatnyayaitub-1xb. PetadarisebaranggrupbagianSdibawahautomorfismafbadalahb-1Sb = { b-1s b | sdalamS }. • DalamhalinimerupakangrupbagiandariG yang isomorfisdenganS. Berbagaigrupbagianb-1SbdinamakankonjugatdariS.

  8. Manfaatutamadarihomomorfismaf : GHyaitudenganmelihatsifat-sifatdaripetanya (image) dapatdisimpulkansifat-sifatdarigrupG. Definisi VII.3 • PetaIm(f) atauf(G) darihomomorfismagrup f : GHdidefinisikansebagai Im(f) = f(G) = { f(g) | gG }. • PetadarihomomorfismafsamadenganHjikafsurjektifataufpada (onto) H.

  9. Teorema VII.1 • Jikaf : GHhomomorfismagrupmakaIm(f) grupbagiandariH. Bukti Akandibuktikanbahwa f(G) tertutup. • Ambilsebarangf(a), f(b) dalamf(G). Karenafhomomorfismamakaf(ab) = f(a) f(b). • Tetapia, bdalamGsehinggaabdalamG (sebabGgrup). • Jadif(a) f(b) = f(ab) dalamGdenganabdalamGatauf(G)tertutup. Akandibuktikanbahwa edalam f(G) • Anggotaeadalahidentitasdalam H untukmembedakandenganedalam G. • Misalkanf(b) sebaranganggotadalamIm(f). • Karenaf(b) dalamIm(f) makaf(e) f(b) = f(eb) = f(b) = ef(b). • Denganmenggunakanhukumkanselasikanandidapatf(e) = e.

  10. Akandibuktikan f(G) mengandunginversdarianggota f(G). • Misalkanf(x) dalamf(G). • Anggotaf(x-1) merupakaninversdarif(x) karena f(x) f(x-1) = f(xx-1) = f(e) = e. • Dengancara yang sama, didapat f(x-1) f(x) = edanf(x-1) invers (yang tunggal) darif(x) denganf(x-1) dalamf(G).

  11. Latihan • Tentukanfungsiinihomomorfismaataubukan. • f : ZR* denganf(k) = 2 . • f : RRdenganf(x) = x . • f : ZZdenganf(k. 1) = k. 1. • Jikapadasoalnomor 1 diatashomomorfismamakatentukanpeta. • JikaGdanHsebaranggrupdanf : GHdenganf(x) = euntuksemuaxdalamGbuktikanbahwafhomomorfisma.

  12. DiketahuiZ3* = { 1, 2 } danf : Z3* Z3* denganf(x) = x2. Apakahfhomomorfismabijektif ?

  13. TERIMA KASIH

More Related