数学建模和数学实验

1. 数学建模和数学实验 浙江大学数学系 李胜宏 mathsy@163.com

2. 数学模型和模型的建立 • 模型来源于原型，对原型的抽象 • 数学模型需要量化和假设 • 数学模型表现形式可以是数学公式，包括等式或不等式，也可以是图表 • 数学模型的最佳结果是数学公式 • 自然科学中数学公式较多，并且应用效果好 • 相对来讲, 社会科学中数学公式少 • 经济和金融学中有很多数学模型

3. 建立模型的步骤 • 建模＝建立模型或模型建立 • 建模准备：了解实际问题的背景 • 模型假设：对问题进行简化 • 建立数学模型：用数学方式（公式、图表）表现出实际问题，尽量简单化原则 • 模型求解：求解出结果，优化求解较多 • 模型分析：得到结论，做出预测 • 模型检验和修正：与实际比较，模拟实际

4. 建模举例 • 问题的背景： • 某投资者有资金总量为M，可投资于 n＋1种资产 Si (i＝0，1，…，n)，i=0表示将钱存入银行. • Si的平均收益率为ri，风险损失率为qi, • 定义: 总体风险＝Si中的最大风险 • 投资Si的交易费率为pi，低于ui按 ui计算 • 同期银行存款利率为r0 =5%，无交易费用和损失 • 问题：总资金M如何投资，使得尽可能收益大，总体风险尽可能小

5. 对问题的分析 • 两个目标：净收益大，风险损失小 • 两个目标不可能同时满足 • 限定其中一个目标的范围，另一个尽可能最优 • 最优解是不唯一的

6. 用数学符号和公式表示模型 • xi表示购买的Si资金量，ci(xi)是交易费， • 投资于Si的净收益：Ri (xi) ＝ rixi－ ci(xi) • 总净收益：R＝Σ Ri (xi) • 投资于Si的风险损失：Qi (xi) ＝ qixi • 总风险损失： • Q＝ • 投资于Si所需资金：Fi(xi) =xi＋ ci(xi) • 约束条件为总资金的限制 • M＝F＝Σ（xi＋ ci(xi)）

7. 交易费用的数学表达式和图形

8. 几个优化模型 • 两目标优化模型：属于多目标规划问题 • 单目标优化模型：分三种情况 • 确定风险不能超过k，求最大收益 • 确定收益水平不能低于h，求最小损失

9. 假定相对偏好 • 上面模型不容易求解。 • 简化费用的表达式可以将模型简化问题， • 假设费用：ci(xi)＝pixi • 资金约束条件变成：F（x）＝ Σ(1+pi)xi＝M • 前面的三个模型都可以变成线性规划问题，对此已经有成熟的方法解决。 • 线性规划 ，可以用matlab求解。

10. 该问题曾经作为全国数学建模竞赛的两个题目之一该问题曾经作为全国数学建模竞赛的两个题目之一 • 下面讨论问题的求解

28. 关于风险的度量, 收益等的测定,都值得进一步研究.

29. 利用matlab求解最优化问题解实例 模型I作业发送至邮箱：mathsy@163.com