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正余弦定理的应用

正余弦定理的应用. 正弦定理:. (其中: R 为△ ABC 的外接圆半径). A’. 2R. 一、要点复习:正弦定理. A. B. a. C. 2, asinB=bsinA. bsinC= csinB. asinC=csinA. 二、正弦定理的变形. 1,. 正弦定理的变形. 3 、 边角分离. 正弦定理的变形. 4 ,. 5, a:b:c=sinA:sinB:sinC. 三、三角形的面积及常用关系式. 1 ,面积. (1). (2). r 为△内切圆半径. (3). 2, 常用关系式. (1)A+B+C=π.

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正余弦定理的应用

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Presentation Transcript


  1. 正余弦定理的应用

  2. 正弦定理: (其中:R为△ABC的外接圆半径) A’ 2R 一、要点复习:正弦定理 A B a C

  3. 2, asinB=bsinA bsinC= csinB asinC=csinA 二、正弦定理的变形 1,

  4. 正弦定理的变形 3、边角分离

  5. 正弦定理的变形 4, 5, a:b:c=sinA:sinB:sinC

  6. 三、三角形的面积及常用关系式 1,面积 (1) (2) r为△内切圆半径 (3)

  7. 2,常用关系式 (1)A+B+C=π (2) sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC (3)

  8. 四、正弦定理应用 A (1)已知两角和任意一边 (2) 已知两边和其一对角 b c B C a

  9. 例1 在 中,已知 ,求b(保 留两个有效数字). 解:∵ 且 例题讲解

  10. 例2 在 中,已知 ,求 . 解:由 得 ∵ 在 中 例题讲解 ∴ A 为锐角

  11. 例3 在 中, ,求 的面积S. A 解: h 三角形面积公式 ∴由正弦定理得 B C 例题讲解

  12. 灵活运用 A c b B a C 问题1: 在ABC中,已知2b=a+c,证明: 2sinB=sinA+sinC 引:能找到三角形各边与对角正弦的关系吗? 导:如何利用正弦定理证明以上关系? 证明:由 得 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 将此式 代入 2b=a+c 得 2•2RsinB=2RsinA+2RsinC 即 2sinB=sinA+sinC

  13. 在ABC中,已知b2 =a • c,证明: sin2B=sinA • sinC A c b 证明:由 得 B a C 2 将此式 代入 b =a • c 得 2 (2RsinB)=(2RsinA)(2RsinC) 2 即 sin B=sinA • sinC 变式1: a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,

  14. 在ABC中,已知bcosA=acosB, 判断三角形的形状。 变式2: 解:由 得 a=2RsinA,b=2RsinB, 将此式 代入bcosA=acosB 得 (2RsinB)cosA=(2RsinA)cosB sinAcosB - cosAsinB=0 , Sin(A – B) =0 由-<A- B<知 A –B=0 ,即 A=B 所以, 此三角形为等腰三角形

  15. 1.解:由 得  A=B或A+B= 动手实践: 1.在ABC中,已知acosA=bcosB,判断三角形的形状。 2.在ABC中,已知, ,判断三角形的形状。 又 0<2A、2B< 2A=2B或2A= -2B a=2RsinA,b=2RsinB, 将此式 代入acosA=bcosB 得 (2RsinA)cosA=(2RsinB)cosB 所以, 此三角形为等腰三角形或直角三角形。 sinAcosA = cosBsinB ,  sin2A = sin2B , 2.解(略)等腰三角形或直角三角形

  16. 练习 3,在△ABC 中,已知 (a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sin2A=sinBcosC, 判断三角形的形状。

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