第 8 章影响线

第8章影响线

影响线 提要：１．移动荷载的概念（固定荷载）。２．影响线的概念及其作用。３．静定梁的影响线：M、FQ、FN、FR影响线。４．间接荷载作用下的影响线。５．平面桁架的影响线。６．影响线的应用：求量值、确定最不利荷载的位置。７．简支梁的内力包括图与绝对大弯矩。

§8-１　移动荷载和影响线的概念 • 移动荷载的概念：移动荷载～固定荷载。 • 影响线： • 单位荷载（FP=1）在结构上移动时，表示该结构上某量值（反力、内力和位移）的变化图线，称为该量值的影响线。

影响线 • 影响线的作用： • 利用影响线求量值。 • 利用影响线确定最危险荷载的位置。

§8-2静力法作简支梁影响线 绘制影响线的基本方法: 静力法机动法静力法： 1)假定单位荷载的作用。 2)建立坐标，用x表示单位荷载至原点的距离。 3)由静力平衡条件，列出所求量值与荷载（FP=1）的代数关系式——影响线方程。 4)由影响线方程绘出该量值的影响线。一．反力影响线 ∑MB = 0 FRA的影响线方程 ,是x的一次函数式。

注意： 1）某量值的影响线，只能表示本量值的变化规律。 2）影响线的纵标，表示荷载作用在该截面上时，所指定量值的大小。它与内力图不同。 3）影响线是根据单位荷载绘制的，该单位荷载是一个无名数，故它的纵标也是一个无名数。

二．弯矩的影响线 1）FP=1置于C截面左边：0≤x≤a 2）FP=1置于C截面右边：a≤x≤l 三．剪力影响线 1)FP=1置于C截面的左边：0≤x≤a FQC = -FRB 与FRB的影响线数值相同，符号相反。 2）FP=1置于C截面的右边：a≤x≤l FQC = FRA 与FRA的影响线相同。

四．影响线与内力图的区别： MC影响线及M内力图为例。

五．悬臂梁的影响线 1）反力 (与简支梁相同) 2）MC、FQC C点以左：MC=FRB·b FQC = -FRB C点以右：MC=FRA·a FQC = FRA 亦与简支梁相同。 3）MK、FQK 4) FQA FQA左～FQK相同（悬臂） FQA右～FQC相同（跨中）

§5-3结点（间接）荷载作用下梁的影响线 一．图示MC的影响线 1) FP =1作用在纵梁ab以外时MC与荷载作用在主梁上相同。 2）FP =1作用在ab梁上，ab横梁反力：为直线变化。(迭加原理) x=0，y=ya 有 x=d，y=yb 二．两个基本特点 1) 影响线在结点之间成直线变化。 2) 影响线在结点处的纵距与直接荷载作用下的影响线纵距相同。

三．作法 对直线荷载作用下的影响线进行修正。 1)绘制直接荷载作用下所求量值的影响线。 2)从间接荷载下的各结点引竖线，在上述影响线中取投影点。 3)将相邻投影点连成直线，即可得到间接荷载作用下该量值的影响线。例：

§8-3静力法作桁架内力影响线 一．内力影响线对于单跨梁式桁架，其支座反力的计算与简支梁相同。因此它们的支座反力影响线亦完全一样。

1)下弦杆FN34影响线 作a-a截面，取结点3ˊ为力矩中心。当FP =1在结点3以右时： ∑M3ˊ= FRA·3d- FN34·h =0 FN34 = FRA·3d/h = M3’/h 当FP =1在结点3以左时： ∑M3ˊ= FRB·5d- FN34·h =0 FN34 = FRB·5d/h = M3’/h M3ˊ为等跨简支梁所对应截面的弯矩。 FN34影响线是对应简支梁3ˊ截面弯矩影响线的1/h倍。

2)上弦杆FN 3ˊ4ˊ影响线 用同一截面a-a，取结点4为力矩中心。当FP =1在结点4以右时： ∑M4 = FRA·4d- FN 3ˊ4ˊ·h =0 FN 3ˊ4ˊ= -FRA·4d/h = -M4/h 当FP =1在结点4以左时： ∑M4 = FRB·4d- FN 3ˊ4ˊ·h =0 FN 3ˊ4ˊ= -FRB·4d/h = - M4/h FN 3’4’影响线是等跨简支梁对应截面4弯矩影响线的-1/h倍。 3) 斜杆FN 3′4影响线仍用a-a截面，考虑竖向平衡。当FP =1在结点4以右时：当FP =1在结点3以左时：

4）竖向FN 3ˊ3影响线 因3ˊ3是根单根，当荷载FP =1作用在结点3时，FN 3ˊ3=1；当荷载FP =1作用在其它结点时，FN 3ˊ3=0，所以FN 3ˊ3影响线是一个局部三角形。 5）斜杆FN 3ˊ2影响线作b-b截面，考虑竖向平衡。（在此不多说）二．荷载在上、下弦移动时的影响线的区别图示桁架a、b杆的轴力影响线。 1) FNa 影响线前一节间（上承） FNa = FRB 前两节间（下承）

后四节间（上承） FNa= -FRA 后三节间（上承） 2)FNb影响线 b为单根 3)FNC、FNd、FNe影响线，上、下承式有否区别？无

§8-5 机动法作影响线 一．基本原理虚功方程：ZδZ+FPδP=0 ∵ FP=1, ∴ Z=-δP/δZ Z(x)=(-1/δZ)δP(x) 步骤：（1）解除与Z相应的约束，代以未知力Z；（2）使体系沿Z的正方向发生位移，作出 δP图，定出Z的影响线轮廓。（3）令δZ=1，确定影响线各竖距的数值。（4）横坐标以上标“+”号，横坐标以下标“-”号。

例题1：用机动法作简支梁的MC和FQC的影响线。 解：（1）MC影响线令δZ=1。（2）FQC影响线令δZ=1。

例题2：用机动法作静定多跨梁的MK、FQK、MC、FQE和FRD的影响线。例题2：用机动法作静定多跨梁的MK、FQK、MC、FQE和FRD的影响线。解：（1）MK影响线（2）FQK影响线（3）MC影响线。（4）FQE影响线。（5）FRD影响线。

*超静定结构作影响线(§9-6超静定力的影响线) 基本原理：力法方程：δ11Z1+δ1P= 0 Z1=(-1/δ11)δ1P ∵ δ1P =δP1=δP1(x) ∴ Z1(x)=(-1/δ11)δP1(x) 步骤：（1）解除与Z相应的约束，代以未知力Z；（2）使体系沿Z的正方向发生位移，作出 δP1图，定出Z的影响线轮廓。（3）横坐标以上标“+”号，横坐标以下标“-”号。（不能确定影响线各竖距的数值）

例题：用机动法作多跨连续梁的MC、MK、FQK和FQC右的影响线。例题：用机动法作多跨连续梁的MC、MK、FQK和FQC右的影响线。解：（1）MC影响线（2）MK影响线（3）FQK影响线（4）FQC右影响线

§8-6 影响线的应用 一．求量值大小（一）集中荷载作 1）集中荷载FPi Z= FP iyi 2)荷载组P1，P2…Pn迭加原理： Z= FP1y1+ FP2y2+…+FPnyn = 3)直线段荷载组

3)直线段荷载组 Z=FP1y1 +…+ FPiyi+FPnyn =FP1x1tgα+…+FPixitgα+ FPnxntgα =tgα 因为 = FRx Z = tgα·FRx= FR·y

（二）匀布荷载作用 1)微段上的量值：荷载：qdx 量值：ds=y·qdx 2)全部匀布荷载的量值： Z= Z=qω ω——影响线荷载所在部分的面积。 ω是考虑正负号的面积代数和。

例：求图示简支梁FQC的大小。 解：1）作出FQC的影响线，并标出有关竖标。 2）确定FQC ω= =0.5 FQC = FPyD+qω= 20×0.4+10×0.5 = 13kN

二．确定最不利荷载位置 （一）最不利荷载位置当荷载作用在某个位置时，所求量值具有最大值(最大正值或最大负值)。我们称这个位置为结构对应这个量值的最不利荷载位置。

（二）多边形影响线的最不利荷载位置 有一荷载组，它在各线段上的集中力分别为FR1、FR2、FR3、FR4。该量值总和： Z=FR1y1+FR2y2+FR3y3+FR4y4 =∑FRiyi 若荷载组合有一微小位移：△x 则各纵距增量：△y=△xtgαi Z增量新总和：△Z=∑FRi△xtgαi =△x∑FRitgαi 分析△Z： △x=0——Z最大 △x≠0——△Z≤0 当△x＞0时，∑FRitgαi≤0 当△x＜0时，∑FRitgαi≥0

例： 1）改变 FRi 的大小（而不是符号）。 △x＞0，∑FRitgαi = -3 △x＜0，∑FRitgαi = +7 2）并不是每一个荷载——临界荷载。 △x＞0，∑FRitgαi = -11 △x＜0，∑FRitgαi = -1

解释： 1）如果荷载分别向左和向右移动所得的两个∑FRitgαi都是正号，这表明荷载还需向右移动，才能到临界位置。如果所得的符号都是负号，这表明荷载需要向左移动。 2）当△x＞0时，∑FRitgαi≤0 Z有极大值 △x＜0时，∑FRitgαi≥0 当△x＞0时，∑FRitgαi≥0 Z有极小值 △x＜0时，∑FRitgαi≤0

例：已知FP1=60kN，FP2=120kN， FP3=120kN， FP4=70kN， FP5=130kN 求：MK（max） • 解： • 1）绘出MK影响线 • tgα1=7/9，tgα2=1/9，tgα3=-2/9 • 2）确定临界荷载 • a: FP3置于D点上 • △x＞0：FR1=0，FR2=180 kN，FR3=320 kN • ∑FRitgαi=180×1/9-320×2/9=-51.11＜0 • △x＜0：FR1=0，FR2=300kN，FR3=200kN • ∑FRitgαi=300×1/9-200×2/9=-11.11＜0 • 荷载还要左移。

b: FP1置于C点上 • △x＞0：FR1=0，FR2=300 kN，FR3=200 kN • ∑FRitgαi= 300×1/9-200×2/9=-11.11＜0 • △x＜0：FR1= 60 kN，FR2=240kN，FR3=200kN • ∑FRitgαi= 60×7/9+240×1/9-200×2/9=28.89＞0 • FP1=60 kN是一个临界荷载，它作用在C点时，是一个临界位置。它是MK的最不利临界位置。 • 3）MK（max）

三．三角形影响线的最不利荷载位置： 三角形是多边形的特例。图示影响线和荷载。假定FP4是临界荷载（FPcr） △x＞0：（FP1+FP2+FP3）tgα-(FP4+FP5+FP6)tgβ≤0 △x＜0：（FP1+FP2+FP3+FP4）tgα-(FP5+FP6)tgβ≥0 ∵tgα=c/a tgβ=c/b 若用FR左、FR右分别表示左、右两直线段上各分力的合力，则上式可写为：

四．分布荷载： ∵FPcr→0由判别式有：若q为均布荷载：h1=h2 例：图示简支梁在荷载作用下，求MC（max）已知：FP1= FP2 =120kN，FP3= FP4 =30kN

解：1）作出MC的影响线：系一三角形图形。 2）试取FP2为临界荷载，按判别式有：它满足不等式要求，故知这是最不利荷载位置。 3）计算MC（max） MC（max）=120×（6+8）+30×（6+4）=1980 kN·m

§8-7 铁路、公路的标准荷载制和换算荷载 1．铁路标准荷载 2．公路标准荷载 3．换算荷载最大值等效→换算荷载（均布）： K = Zmax / A0

§8-8 简支梁的包络图和绝对最大弯矩 一．简支梁的绝对最大弯矩每一截面——MK（max）（K=1，2，…，n）——Mmax，弯矩包络图。二．绝对最大弯矩 Mmax——FPcr之下，现用FR 表示所有荷载的合力。MK表示FPcr以左所有荷载对FPcr的作用点的力矩之和。

FPcr与FR至梁中点等距。 当FPcr 在梁中间截面C时，有：

三．确定临界荷载 1）试算：选定几个FPcr ，分别进行计算，然后进行比较，选出一个最大值作为梁的绝对最大弯矩。注意：有无荷载出入梁 —— FR 2）近估：由于Mmax通常发生在梁的中间截面附近，故可以认为在梁的中间产生最大弯矩的FPcr ，即为梁绝对最大弯矩的临界荷载。

例：求图示简支梁所给移动荷载作用下的绝对最大弯矩。例：求图示简支梁所给移动荷载作用下的绝对最大弯矩。（FP1=FP2=30kN，FP3=20 kN，FP4=FP5=10kN）解：1）作MC影响线，并找出其相应的临界荷载FPcr。将FP2置于C 点有： △x＞0， △x＜0，故 FP2 是MC的临界荷载，此荷载亦即发生绝对最大弯矩的临界荷载。

2）计算Mmax FR=∑FP i= 100 kN a=(20×2+10×4+10×6-30×2)/R=0.8m Mmax= RAx-MK = 48×9.6-30×2=400.8 kN·m MC（max）=30×4+30×5+20×4+10×3+10×2=400 kN·m Mmax = 100/20[（20/2）2-20×0.8/2+（0.8/2）2]-30×2=400.8 kN·m MC（max）=100/20[（20/2）2-20×0.8/2]-30×2=400 kN·m

例：图示吊车梁，试求其绝对最大弯矩。（FP1= FP2= FP3= FP4=82 kN）解：不难看出，Mmax将发生在荷载P2 或P3下面的截面。 1）FP2下面的Mmax FR=4×82=328 kN a=0.75m ，x=l/2-a/2=5.625m FRA=328/12(12-5.625-0.75)=153.75kN Mmax=153.75×5.625-82×3.5=578kN·m 2）FP3下面的Mmax FR=4×82=328 kN a=-0.75m x=l/2-a/2=6.375m FRA=328/12(12-6.375+0.75)=174.25kN Mmax = 578 kN·m 3)比较: Mmax = 578 kN·m出现在两个截面上。

第 8 章 影响线