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Apostila Algebra Linear II

Apostila de u00c1lgebra. Conceitos Introdutu00f3rios.

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E N D

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  1. ???????? ?????? ?? ????? ??? ?? ???? ???????????? ?? ?????? ????? ???? ? ???

  2. ?

  3. Sum´ ario 1 Espa¸ cos Vetoriais ??? ???????? ?? ?? ? ???????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7 ? ?? ?? 2 Subespa¸ cos Vetoriais ??? ???????? ?? ?? ? ???????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???????? ?? ?? ? ???? ?? ???????? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 17 ?? ?? ?? 3 Combina¸ c˜ oes Lineares ??? ???????? ?? ?? ? ???????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 29 ?? ?? ?? 4 Dependˆ encia Linear ??? ???????? ?? ?? ? ???????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 37 ?? ?? ?? 5 Base, Dimens˜ ao e Coordenadas ??? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??????? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 45 ?? ?? ?

  4. ???????? ? ??? ??? ??? ??????? ?? ?? ???? ?? ???????? ??? ????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? 6 Mudan¸ ca de Base ??? ???????? ?? ??? ???????? ? ???????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 61 ?? ?? 7 Exerc´ ıcios Resolvidos – Uma Revis˜ ao 71 8 Transforma¸ c˜ oes Lineares ??? ???????? ?? ?? ? ???????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ????? ?? ???????? L(U,V) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????? ? ?? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?????????? ? ??????????? ??? ?????? ?? ??? ??????????? ?? ?? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????? ?????? ?? ?? ? ???????? ????? ???????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ?????? ????? ?????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ?????? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 85 ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 9 Autovalores e Autovetores ??? ?????? ?? ??? ???????? ? ???????????? ??? ?????? ???? ????????? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ?????? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 127 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 10 Diagonaliza¸ c˜ ao ???? ?????? ?? ?? ? ???????????? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ?????? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 141 11 Forma Canˆ onica de Jordan ???? ???????? ?? ?? ? ???????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 155

  5. ???????? ? ???? ?????? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 12 Espa¸ cos Euclidianos ???? ??????? ??????? ???? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ????? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ?????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ???????? ?? ???????????? ???? ??????????? ????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ???????? ???????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??????????? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 163 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???

  6. ???????? ?

  7. Cap´ ıtulo 1 Espa¸ cos Vetoriais 1.1 ? Introdu¸ c˜ ao e Exemplos ???? ???? ????? ?????????????? ? ???????? ?? ????? ?? ???????? ??? ???? ? ????? ?? ???? ? ???????? ?? ?????? ???? ??? ????? ?? ????????????? ? ?????? ?? ?? ?? ????? ?? ????????? ?????? ??? ? ???????? ?? ???????? ???? ???????? ? ???????? ??????? ????? ???? ?? ??? f : R → R? ???????? ??? F(R;R) ? ? ???????? ??? ???????? ??????? ????????????? ??? Mn. ? ???? ?? ???? ???? ?? ??? f ? g ?? F(R;R) ? ? ??????? ???? ????? ? ???? ?? ?? f + g ∈ F(R;R) ???? ??? (f + g)(x) = f(x) + g(x). ???? ????? ?? ??? ?? λ ∈ R ??????? ??????????? ? ???? ?? ?? f ???? ??????? λ, ?? ???????? ????? (λf)(x) = λ(f(x)), ?????????? ??? ???????? ?? F(R). ??? ????? ?? ?? ? Mn??????? ????? ???? ???????? ????????? ?? ????? n, A = (aij)n×n? B = (bij)n×n, ????????? A + B = (aij+ bij)n×n, ??? ? ? ?? ???????? ?? Mn. ??? ? ????? ?? ?? ? ? ??????????? ?? ?? ?? A = (aij)n×n??? ?? ??????? λ ∈ R, ? ? ??????? ????????? λA = (λaij)n×n, ? ???? ????? ?? ???????? ? Mn. ? ??? ????? ???? ????????? ?????? ??? ????? ?????????? ?? ???? ?? ?? ?? ??? ?? ????? n ??? ??????????? ????? ??? ??????????? ??? Mn(R), ?? ?

  8. ????????? ?? ????? ??? ????????? ? ???? ????????? ? ??????????? ?? ?? ?? ???? ????????? ??? ?????????? ?? ?? ??? ???? ???????? ?????????? ?????????? ? ?????? ??? ???????????? ??? ?? ?????? ????? ???? ??? ????? ?? ?? ? ????????? ???? ?? ??? f,g ? h ?? F(R;R) ? ???? ???? λ,µ ∈ R, ?? ?? ?? ?????? ?? ????????? ??????????? ?? f + g = g + f; ?? f + (g + h) = (f + g) + h; ?? ?? O ?????????? ? ???? ?? ?? ????? ???? ? ?? O(x) = 0 ???? ???? x ∈ R ???? ?? O + f = f; ?? ? ???? ?? ?? −f ??????? ??? (−f)(x) = −[f(x)] ???? ???? x ∈ R ? ? ??? ??? f + (−f) = O; ?? λ(µf) = (λµ)f; ?? (λ + µ)f = λf + µf; ?? λ(f + g) = λf + λg; ?? 1f = f. ?????? ??? ????? ?? ?? ? ????????? ???????? A,B ? C ?? Mn? ???? ???? λ,µ ∈ R, ????? ?? ?? ?? ?? ?????? ?? ????????? ??????????? ?? A + B = B + A; ?? A + (B + C) = (A + B) + C; ?? ?? O ?????????? ? ???? ?? ?? ????? ???? ? ?? O = (0)n×n???? ?? O + A = A; ?? ?? A = (ai,j)n×n???? ?? ? ?????? −A ??????? ??? −A = (−ai,j)n×n? ? ??? ??? A + (−A) = O; ?? λ(µA) = (λµ)A;

  9. ???? ???????? ???? ? ???????? ? ?? (λ + µ)A = λA + µA; ?? λ(A + B) = λA + λB; ?? 1A = A. ??????? ??? ??? ????? ? ????????? ??? ???? ?? ??? ???????? ?? ???? ? ????? ??? ????? ???? ? ??? ???????? ????????? ?????? ??????? ?? ????? ? ???? ???????? ?? ?? ??? ????????? ????????? ?????????? ???????????? ???? ??????? ??????? ?? ??????? ?????? ?????? ????????? ??????? ?? ?????? ?? ??? ????? ??????? ?????????? ???????????? ??????????? ? ?? ?????? ?? ??? ???? ??? ?? ???? ?? ?? ?????????? ???? ?? ????????????? ??????? ????? ?? ???????? ??????? ???? ? ?? ?? ?????? V, ????? ? ???? ??????? ????? ???????? ??? ?????? ?? ?? ?? ???? ?? ??? ???? ? ?? ???? ???? u,v ∈ V ?????? ?? ? ????? ???????? ?? V ?????????? ??????? ? ???? ????? u ? v ? ???????? ??? u+v, ? ??? ??????????? ?? ?? ??? ???????? ???? ? ?? ???? ???? u ∈ V ? λ ∈ R ?????? ?? ? ????? ???????? ?? V ?????????? ??????? ?? ??????? ?? u ???? ??????? λ ? ???????? ??? λu. Defini¸ c˜ ao 1.1 ??????? ??? ?? ???????? V ???? ????? ?????? ?? ??? ???? ?? ?? ? ?? ??? ??????????? ?? ?? ??? ??????? ? ? ?? ????? ?? ???????? ?? ???? ????????? u,v ? w ?? V ? ???? ???? λ,µ ∈ R ?? ?? ?? ?????? ?? ????????? ????????????? ????? u + v = v + u ???? ???? u,v ∈ V; ????? u + (v + w) = (u + v) + w ???? ???? u,v,w ∈ V; ????? ?????? ?? ???????? 0 ∈ V ??? ??? 0 + u = u ???? ???? u ∈ V; ????? ???? ???? u ∈ V ?????? v ∈ V ??? ??? u + v = 0; ????? λ(µu) = (λµ)u ???? ???? u ∈ V ? λ,µ ∈ R; ????? (λ + µ)u = λu + µu ???? ???? u ∈ V, λ,µ ∈ R;

  10. ????????? ?? ????? ??? ????????? ?? ????? λ(u + v) = λu + λv ???? ???? u,v ∈ V ? λ ∈ R; ????? 1u = u ???? ???? u ∈ V. Observa¸ c˜ ao 1.2? ? ????? ????????? ?? ????????? ?? ?? ????? ?? ??? ?????? ?? ???????? ????????????????? ?? ???????? ??? ??????? ???? ?? ?? ???????? ?? ????????? ?? ?? ?????? ????? ?????? ????? ???????? ???? ? ??? ????? ?? ?? ?? ?? ?? ??????????? ?? ?????? Observa¸ c˜ ao 1.3 ? ???????? 0 ?? ??????????? ??? ? ? ? ?????? ???? ????? ???? ????? 00∈ V ???????????? ? ????? ??????????? ??? ???? ??? ????? ???????????? ??? ? ??? ???? ????? 00= 0+00= 00+0 = 0, ???? ? ?? 0 = 00. Observa¸ c˜ ao 1.4 ?? ?? ????? ?? ????????? ???? ??????????? ???? ???? ???? u ∈ V ?????? v ∈ V ??? ??? u + v = 0. ?? ???????? ???? ???? u ∈ V ?????? ??????? ?? ???????? v ∈ V ??? ???? ???????????? ?? ????? ???? u ∈ V ?? v ? v0?? V ?? ?? ???? ??? u + v = 0 ? u + v0= 0 ???? ??? ?????????? ????? ????? ?? ??? ??? ?? ???????????? ??????? ? ???? ??????? v = v + 0 = v + (u + v0) = (v + u) + v0= (u + v) + v0= 0 + v0= v0, ???? ? ? v = v0. ??????????? v ??? −u ? u − v ??? u + (−v). Observa¸ c˜ ao 1.5 ?? ?????? ????????? ???????????? ?????????? ?????? ? ? ?????? ?? ?? ?? ???? ?? ?? ? ?? ?? ??????????? ???????????????? ??? ???????? ???? ??????????? ??????????? ???????????????? ?????? ????? ?? ???????? ?????? ? ?????? ????? ?? ???????? ???????? ? ?????? ? ? ?????? ???????????? ?? ?? ?????????? ?? ??????????? ?? ?? ??? ??????? ? ????? ?? ????? ??? ???????? ?? ??????????????? ? ???? ????? ?????? ?? ??????????? ?? ??? ???????????????? ? ????? ? ? ?? ????? ???????????? ?????????? ?? ???? ?????? ?? ??? ? ?? ?? ????? ?????????? ??? ????????????????? Observa¸ c˜ ao 1.6 ? ?????? ? ?????? ?? ?? ?? ????? ?? ???????? ??? ????? ????? ?? ?????? ? ????? ??? ????????? ????? ????? ??? ??????? ??????????

  11. ???? ???????? ???? ? ???????? ?? ??? ?? ????????? ????? ?????? ?? ?????? ?????? ? ??? ?? ?? ?? ????? ?? ???????? ???????? ???? ??? ????? ???????????? ? ?????? ?? ?????? ?? ?? ????? ??? ?? ??????? ?????? ???? ???? ????????????? ??????? ??? ???? ??????????? ?? ???????????? ??? ? ??? ? ??? ???????? ??? ?? ???????????? ??? ? ??? ????? ????? ???? ???? λ,µ ∈ C. ?? ???????? ?????? ??????????? ?? ?? ???????? ? ???????? ?? ????? ?? ???????? ????????? ?? ????? ??????? ?? ????? ?? ????????? ??? ?? ??? ???? ???????????? ?? ??? ???? ?? ?????? ? ? ? ???????? ??? ??????? ???? ???????????? ?? ????????? ????? ????? ?????? ?? ???? ?? ?? ? ?? ??????????? ?? ?? ??? ???????? ????? ?????? ? ???????? ???????? ????????? ?? ?????? ?? ?? ????? ???? ??? ????????? ?? ??? ????? ???? ?????? ????? ??? ?????? ????? ??? ????????? ?? V ??????????? ??????? ?? ????? ?? ?? ?? ???????? ?????? ? ??????? ???? ??????? ?? ????? ?? ???????? ???? ? ???????? ??? ?? ?????? ????? ??? ? ???? ?? ?? ? ??????????? ?? ?? ??????? ???? ??????????? ???? ???? n ∈ N, ??????? ??????????? ? ???????? ??? n?????? ????????? ?? ?? ?????? ?????? Rn, ?? ?? ????? ?? ???????? ???????? ? ???? ?? ?? ?? ???? n?????? ?????????? x = (x1,...,xn) ? y = (y1,...,yn), ?????????????? ?????????? ? ??????????? ???? ? ?? x + y = (x1+ y1,...,xn+ yn) ? ? ??????? ?? ??? n????? x = (x1,...,xn) ??? ?? ??????? λ ∈ R ??? λx = (λx1,...,λxn). ?? ??? ?????? ??? ??????? ???????? ??? ????? ???? Rn? ? ?? ????? ?? ??? ??????? ???????? ???? ?????? ???? ???? ??????? ???????? ????? ?? ??? ?? ????????? ???????? ?? ?? ????? ??? ?????????? ?? ????? n ∈ N ? V = Pn(R) ? ???????? ??????? ???? ?????? ???? ???? ? ??? ????? ?? ?????? ????? ?? ???? ????? ?? ????? ? n ??? ??????????? ?????? ???????? ? ???? ?? ?? ? ? ??????????? ?? ?? ??? ??????? ?? ???????? ????????

  12. ????????? ?? ????? ??? ????????? ?? ? ?? p(x) = a0+a1x+···+anxn? q(x) = b0+b1x+···+bnxn ?? ?? ????????? ?? Pn(R) ???? ?? p(x) + q(x) = (a0+ b0) + (a1+ b1)x + ··· + (an+ bn)xn. ? ?? p(x) = a0+ a1x + ··· + anxn? ? ?? ???????? ?? Pn(R) ? λ ∈ R ???? ?? λp(x) = (λa0) + (λa1)x + ··· + (λan)xn. ?? ????? A ⊂ R ? F(A;R) ? ???????? ?? ????? ?? ???? ?? ??? f : A → R. f(x)+g(x) ? (λf)(x) = λf(x), x ∈ A. ???? ??? F(A;R) ??? ???? ???? ?? ?? ? ??????? ??? ??????? ? ? ?? ????? ?? ????????? ?? f,g ∈ F(A;R) ? λ ∈ R ????? f + g : A → R ??? (f + g)(x) = ?? ? ???????? ??? ???? ?? ??? ????? ????? ???????? ??? ????????? I ⊂ R ?????? ??? ?????? ?? ??? ?? ???? ?? ?? ? ??????????? ?? ?? ?????? ????? ??????? ???????? ?? F(I;R)). ????? ?? ??? C(I;R). ?? ? ???????? ??? ???? ?? ??? ??? ????????? ????? ????? ??? ? ????? k ∈ N, ?k ? ? ???? ???????? ??? ????????? ?????? I ⊂ R ?????? ??? ?????? ?? ??? ?? ???? ?? ?? ? ??????????? ?? ?? ?????? ????? ??????? ???????? ?? F(I;R)). ????? ?? ??? Ck(I;R). ?? ? ???????? ??? ???? ?? ??? ??? ????? ?? ????????? ????? ????? ?????? ??? ??? ????????? ?????? I ⊂ R ?????? ??? ?????? ?? ??? ?? ???? ?? ?? ? ??????????? ?? ?? ?????? ????? ??????? ???????? ?? F(I;R)). ????? ?? ??? C∞(I;R). ?? ? ???????? ??? ???????? m ??? n ??? ??????????? ?????? Mm×n(R) ?????? ?? ?????? ?? ??? ??? ?????? ? ??????? ???????? ?? Mn(R). ?? ????? ??? ????????? ????? ???????? ?????? ?? ??? ??? ?? ????? ???? ? ?? ? ???? ????? ?????????????? ? ??? ????? ??????? ? ? ?? ????? ???? ??????????

  13. ???? ???????????? ?? ?? ??? ?? ?????????? ? ??? ???? ??????????? ?? ???? ????????????? ???? ???????? ????????? V = (0,∞), ? ????????? ???????? ?? ???? ????? ???? ?? ?? ? ? ?? ????? ?? ????????? ????? ??? ?? ?? ?????? ???????? ?????? ???? ? ???? ?? ??? ?? ???????? ?? ???? x,y ∈ V ? λ ∈ R, ????????? ? ???? ????? x ? y ??? x ¢ y = xy, ?? ??????? ????? ????? x ? y? ? ? ??????? ?? x ???? ??????? λ ???? λ ¡ x = xλ, ???? ?? V ?? ????? ?? ????? ?? ????????? ?? ????? ??????????? ??? ? ??? ?? ???? ????????????? ???????? ?????? ???????? ? ?? ?????? ?? ??? ?????? ?? ???? ? ??????????? ?? ?? ?? x,y ∈ V ????? x ¢ y = xy = yx = y ¢ x ???? ????????? x,y ∈ V; ?? x¢(y¢z) = x¢(yz) = x(yz) = (xy)z = (x¢y)z = (x¢y)¢z ???? ????????? x,y,z ∈ V ?? ?? x ∈ V ???? ??? ???? 1 ∈ V, ????? 1¢x = 1x = x; ??????? ??? ????? ????? ? ? ? ? ???????? ?????? ?? ???? ?? ??? ? ???? ??????????? ??? o; ?? ?? x ∈ V, ???? ? ?? x > 0, ???? ?? x−1∈ V ? x ¢ x−1= xx−1= 1 = o; ?? λ ¡ (µ ¡ x) = λ ¡ xµ= (xµ)λ= xµλ= xλµ= (λµ) ¡ x ???? ????????? x ∈ V ? λ,µ ∈ R; ?? (λ+µ)¡x = xλ+µ= xλxµ= xλ¢xµ= (λ¡x)¢(µ¡x) ???? ????????? x ∈ V ? λ,µ ∈ R; ?? λ ¡ (x ¢ y) = λ ¡ (xy) = (xy)λ= xλyλ= (λ ¡ x) ¢ (λ ¡ y) ???? ????????? x,y ∈ V ? λ ∈ R; ?? 1 ¡ x = x1= x ???? ???????? x ∈ V. 1.2 Propriedades ??? ???? ???????????? ??? ?????? ?? ????? ?? ???????? ??????? ???????? ?? ????? ??????? ?????????? ??????? ?????? ???????????? ?? ????????

  14. ????????? ?? ????? ??? ????????? ?? Proposi¸ c˜ ao 1.7 ???? V ?? ????? ?? ????????? ????? ?? ???? ???????? λ ∈ R, λ0 = 0. ?? ???? ???????? u ∈ V, 0u = 0. ?? ?? λu = 0 ???? ?? λ = 0 ?? u = 0. ?? ???? ????????? λ ∈ R ? u ∈ V, (−λ)u = λ(−u) = −(λu). ?? ???? ???????? u ∈ V, −(−u) = u. ?? ?? u + w = v + w ???? ?? u = v. ?? ?? u,v ∈ V ???? ?? ?????? ?? ? ????? w ∈ V ??? ??? u + w = v. Prova: ?? ????? λ0 = λ(0 + 0) = λ0 + λ0 ????? ???????????? ??? ? ???? ?????????? ?? ???????????? ??? ? ??? ? ? ????? ?? ?? ?? ???????? ?? ?? ???? ??????? 0 = λ0 + (−(λ0)) = (λ0 + λ0) + (−(λ0)) = λ0 + (λ0 + (−(λ0))) = λ0 + 0 = λ0, ???? ? ? λ0 = 0. ?? ????? 0u = (0 + 0)u = 0u + 0u, ???? ??????????? ???? ?????????? ?? ???????????? ??? ? ??? ? ? ????? ?? ?? ?? ???????? ?? ?? ???? ??????? 0 = 0u + (−(0u)) = (0u + 0u) + (−(0u)) = 0u + (0u + (−(0u)) = 0u + 0 = 0u, ???? ? ?? 0u = 0. ?? ?? λ 6= 0 ???? ?? ????? ???????????? ??? ? ??? ? ???? ???? ? ????? ???????? ?? ??? u = 1u = (λ−1λ)u = λ−1(λu) = λ−10 = 0. ?? ?????????? ? ??????????? ??? ? ? ???? ? ????? ???????? ?? ??? ??????? λu + (−λ)u = (λ + (−λ))u = 0u = 0. ???? ???????? ?? ?? ???? −(λu) = (−λ)u. ????????????? ????????????? ? ??????????? ???? ????????? ??? −(λu) = λ(−u).

  15. ???? ??????????? ?? ? ????? ??? ?????? ?????????? ? ? ??????? ???? ?????? ????? Ex. Resolvido 1.8 ???? V ?? ????? ?? ????????? ?????? ??? ?? V 6= {0} ???? ?? V ??? ???????? ?????????? Resolu¸ c˜ ao: ???? ??? ?? ???????????? ??? ???? ?? ?? f : R → V ??? ???? ????? ?? ???????? ???????? f(λ) ?? V. ???? v ∈ V, v 6= 0. ????? f : R → V ??? f(λ) = λv. ???? ??????? ??? λ = µ. ???? λv = f(λ) = f(µ) = µv, ??????? λv − (µv) = 0. ???? ???? ? ?? ???????? ?? ?? ??? ????? 0 = λv − (µv) = λv + (−µ)v = (λ − µ)v. ???? v 6= 0, ???? ???? ? ?? ????? ???????? ?? ??? ????? ??? λ − µ = 0, ???? ? ?? λ = µ. ???? ???? ?? V ???? ? ???????? ?????????? ???? ???? ???? λ ∈ R ????????????? ? ??? f ? ? ????????? ??????? λ,µ ∈ R ???? ??? f(λ) = f(µ). ??????? ??????? ⁄ 1.3 Exerc´ ıcios Ex. 1.9 ???????? ?? ?? ???? ?? ??? ????? ? ???????? V ??? ?? ?????? ?? ??? ????????? ? ? ?? ????? ?? ???????? ????? R. ?? V = R3,(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2) = (x1+x2,y1+y2,z1+z2);α(x,y,z) = (αx,αy,αz). –ˆ b a ?? V ='(x,y) ∈ R2;3x − 2y = 0“, ?????? ?? ??? ?????? ?? R2. ?? V = {f : R → R;f(−x) = f(x), ∀x ∈ R}, ?????? ?? ??? ?????? ?? ???? ?? ???? ?? ???? ?? ???? ! † a −b ;a,b ∈ R ?? V = , ?????? ?? ??? ?????? ?? M2. ?? V = P(R) = { ?????? ????? ??? ??????????? ????? }, ?????? ?? ??? ??????

  16. ????????? ?? ????? ??? ????????? ?? ?? V = R2,(x1,y1)+(x2,y2) = (2x1−2y1,y1−x1),α(x,y) = (3αx,−αx.) ?? V = R2,(x1,y1) + (x2,y2) = (x1+ x2,y1+ y2),α(x,y) = (αx,0). ?? V ='(x,y,z,w) ∈ R4;y = x,z = w2“, ?????? ?? ??? ?????? ?? R4. ?? V = R × R∗,(x1,y1) + (x2,y2) = (x1+ x2,y1y2),α(x,y) = (αx,yα), ???? R∗= R \ {0}. Ex. 1.10 ??????? ? ?????????? ?? ?? ?? ???????? ?? ?? ????

  17. Cap´ ıtulo 2 Subespa¸ cos Vetoriais 2.1 ? ????????? ? ? ?? ???????? ?? ??? ????? ??????????? ??? ???? ?????? ???? ?????????? ?? ???????? ?? ??????????? ??? ?? ???????? ? ????????? ???? ????? ??????????? ?? ???????????? Introdu¸ c˜ ao e Exemplos ????? ????? ??? ??????????? ??? ?????? ???????????? ?? ?? ????? ?? ???????? ??? ??????? ? ??????????? ?? ??? ? ???? ?? ???? ?? ???? Defini¸ c˜ ao 2.1 ???? V ?? ????? ?? ????????? ??????? ??? W ⊂ V ? ? ?? ???????? ?? ???????? ?? V ?? ????? ??????????? ?? ????????? ?????? ?? ???? ????? 0 ∈ W; ????? ?? u,v ∈ W ???? ?? u + v ∈ W; ????? ?? u ∈ W ???? ?? λu ∈ W ???? ???? λ ∈ R. Observa¸ c˜ ao 2.2 ???? ??? ???? ???????? ?? ???????? W ?? ?? ????? ?? ???????? V ? ? ??? ??? ????? ?? ????? ?? ????????? ?? ???????????? ??????? ????? ???????????? ????????????? ? ??? ?? ?? ???????? ?? ??? ????? ????? ?? ???????? V. ? ???????? ?????? ?? ???? ?? ?? ? ? ?? ???????? ?? W ??? ??

  18. ????????? ?? ???????? ??? ????????? ?? ???? ??????????? ?? u ∈ W ???? ?? −u = (−1)u ∈ W ???? ???? ? ?? ???????? ?? ?? ??? ? ??? ???? Observa¸ c˜ ao 2.3 ?????????? {0} ? V ?? ?? ???????? ??? ????????? ?? ????? ? ?? ???????? V. ?? ?? ???????? ?? ???????? ??? ????????? ????????? Observa¸ c˜ ao 2.4 ???? ??? W ? ? ???????? ?? ???????? ?? V ?? ? ??????? ?? ?? ?? ?? ?????? ?? ????????? ?????? ?? ???? ?????? 0 ∈ W; ?????? ?? u,v ∈ W ? λ ∈ R ???? ?? u + λv ∈ W. ??????? ?????? ?????? ????????? Exemplo 2.5 ???? P∗ n⊂ Pn, ???? ??? P∗ n= {p(x) ∈ Pn;p(0) = 0}. ??????????? ??? P∗ n? ?? ?? ????? ?? ???????? ?? ???????? ?? Pn. ?? ? ?????? ???? ???? ?? ????? ?? x = 0, ????? ???????? ? P∗ n. ?? ?? p(x),q(x) ∈ P∗ P∗ n???? ?? p(0)+q(0) = 0 ?? ????????? p(x)+q(x) ∈ n. n???? ?? λp(0) = 0 ???? ???????? λ ∈ R. ?????? λp(x) ∈ ?? ?? p(x) ∈ P∗ P∗ n. Exemplo 2.6 ??????????? ??? S = {(x,y,z) ∈ R3;x + y + z = 0} ? ? ?? ???????? ?? ???????? ?? R3. ???? ????? ??? (0,0,0) ???????? 0 + 0 + 0 = 0. ?? ?? (x,y,z),(u,v,w) ∈ S ???? ?? (x+u)+(y+v)+(z+w) = (x+y+ z) + (u + v + w) = 0 ?? ????????? (x,y,z) + (u,v,w) ∈ S.

  19. ???? ???????? ???? ? ???????? ?? ?? ?? (x,y,z) ∈ S ???? ?? λx+λy+λz = λ(x+y+z) = 0 ???? ???????? λ ∈ R. ?????? λ(x,y,z) ∈ S. Exemplo 2.7 ????????? ? ???????? ???????? S = {y ∈ C2(R;R);y00− y = 0} ???? y00?????????? ? ???????? ?? ??????? ????? ?? y. ?????? ?????? ??? S ? ? ?? ???????? ?? ???????? ?? C2(R;R). ?? ?????????? ? ???? ?? ?? ???? ???????? 000− 0 = 0; ?? ?? y1,y2∈ S ???? ?? (y1+y2)00−(y1+y2) = (y00 ????? y1+ y2∈ S. ?? ?? y ∈ S ? λ ∈ R ???? ?? (λy)00− λy = λ(y00− y) = 0. ????????? λy ∈ S. ???????? ???? ?????? ???? ? ???????? ?? ?? ?? ??? ?? ????????? ???????? ?? ?? ???????? ??? ????????? ??? ??????????? ????? ??? ?????????? 1−y1)+(y00 2−y2) = 0. Exemplo 2.8 ????? a1,...,an∈ R ? S = {(x1,...,xn) ∈ Rn;a1x1+···+ anxn= 0}. ?????? ??? S ? ? ?? ???????? ?? ???????? ?? Rn. Exemplo 2.9 ? ???????? ??? ???? ?? ??? ????? ????? ?? ???? ?? ????? ??? ?????? ??? C(R;R)? ? ? ?? ???????? ?? ???????? ?? F(R;R). Exemplo 2.10 ? ???????? ??? ???? ?? ??? f ∈ C([a,b];R) ???? ??? Zb ? ? ?? ???????? ?? ???????? ?? C([a,b];R). f(x)dx = 0 a Exemplo 2.11 ? ???????? ??? ???????? ???? ??????? ????????? ?? ????? n ??? ??????????? ????? ? ? ?? ???????? ?? ???????? ?? Mn(R). Exemplo 2.12 ????? m,n ∈ N ??? m ≤ n. ???? ?? Pm ? ? ?? ??? ?????? ?? ?? Pn.

  20. ????????? ?? ???????? ??? ????????? ?? 2.2 Interse¸ c˜ ao e Soma de Subespa¸ cos Proposi¸ c˜ ao 2.13 (Interse¸ c˜ ao de subespa¸ cos) ????? U ? W ???????? ? ??? ????????? ?? V. ???? ?? U ∩ W ? ? ???????? ?? ???????? ?? V. Prova: ?? ???? 0 ∈ U ? 0 ∈ W ???? ?? 0 ∈ U ∩ W; ?? ?? x,y ∈ U ∩ W ? λ ∈ R ???? ?? x + λy ∈ U ? x + λy ∈ W. ????????? x + λy ∈ U ∩ W. Quest˜ ao: ??? ? ????? ?? ?? ?? ???????? ?? ?? ?????? ??????? ?????? ??? U ∪ W ? ? ???????? ?? ???????? ?? V? Resposta : ?? ??? ????? ?????????? V = R2, U = {(x,y) ∈ R2;x + y = 0} ? W = {(x,y) ∈ R2;x − y = 0}. ???? ??? (1,−1) ∈ U ⊂ U ∪ W ? (1,1) ∈ W ⊂ U ∪ W ??? (1,−1) + (1,1) = (2,0) 6∈ U ∪ W. ?? U ? W ?? ?? ???????? ??? ????????? ?? ?? ????? ?? ???????? V ? V0? ? ?? ???????? ?? ?? V ??? ???????? U ? W, ???? ? ?? U ∪ W ⊂ V0???? ?? V0???? ? ??? ?????? ????? ?? ??????? ?? ????? u + w, u ∈ U ? w ∈ W. ???? ?????? ? ???????? Defini¸ c˜ ao 2.14 ????? U ? W ???????? ??? ????????? ?? ?? ????? ?? ??? ?????? V. ???????? ? ???? ?? U ? W ???? U+W = {u+w;u ∈ U,w ∈ W}. Proposi¸ c˜ ao 2.15 (Soma de subespa¸ cos) ????? U,W ? V ???? ?? ?????? ?? ?? ?????? ???? ?? U + W ? ? ?? ???????? ?? ???????? ?? V. ??? ?? ?? ????? U ∪ W ⊂ U + W. Prova: ??????????? ??? U + W ? ? ???????? ?? ???????? ?? V. ?? ???? 0 ∈ U ? 0 ∈ W ???? ?? 0 = 0 + 0 ∈ U + W;

  21. ???? ???????? ???? ? ???? ?? ???????? ??? ?? ?? ????? x1,x2∈ U + W ???? ?? xj= uj+ wj, uj∈ U, wj∈ W, j = 1,2. ?????? ?? λ ∈ R ???? ?? x1+ λx2= u1+ w1+ λ(u2+ w2) = (u1+ λu2) + (w1+ λw2) ∈ U + W, ???? U ? W ?? ?? ???????? ??? ?????????? ????????? ??? U ∪ W ⊂ U + W. ???? v ∈ U ∪ W. ?? v ∈ U ???? ?? v = v + 0 ∈ U + W. ?? v ∈ W ???? ?? v = 0 + v ∈ U + W. ?? ????? U ∪ W ⊂ U + W. ????? ?????? ? ????? ?? ?? ?????? ??????? ??? V0???? ?? ???????? ?? ?? V ??? ???????? U ? W. ????? ????? ???? ???? u ∈ U ⊂ V0? ???? w ∈ W ⊂ V0????? u + w ∈ V0, ?? ????? U + W ⊂ V0. ???? ???????? ?? ?? ??? ??????? ????????? ? ???????? Proposi¸ c˜ ao 2.16 ????? V ?? ????? ?? ???????? ? U ? W ???????? ??? ????????? ?? V. ???? ?? U + W ? ? ? ????? ???????? ?? ???????? ?? V ??? ????? ?? U ∪ W. ?? ?????? ????????? ?? V0? ? ?? ???????? ?? ???????? ?? V ??? ????? ?? U ∪ W ???? ?? U ∪ W ⊂ U + W ⊂ V0. Defini¸ c˜ ao 2.17 ????? U ? W ???????? ??? ????????? ?? ?? ????? ?? ??? ?????? V. ??????? ??? U+W ? ? ? ???? ?????? ?? U ? W ?? U∩W = {0}. ????? ???? ???????? ? ????? ?? ?? U ⊕ W ???? ??????????? U + W. Observa¸ c˜ ao 2.18 ???? ??? ???????????? {0} ⊂ U ∩ W ?? U ? W ?? ?? ???????? ??? ?????????? Proposi¸ c˜ ao 2.19 (Soma direta de subespa¸ cos vetoriais) ????? U ? W ???????? ??? ????????? ?? ?? ????? ?? ???????? V. ????? V = U⊕W ?? ? ??????? ?? ???? ???? v ∈ V ????????? ?? ? ????? u ∈ U ? ?? ? ????? w ∈ W ???????????? v = u + w. Prova: ??????? ??? V = U ⊕ W, ???? ? ?? V = U + W ? U ∩ W = {0}. ???? ??? ???? v ∈ V ??????? u ∈ U ? w ∈ W ???????????? v = u + w. ???????? ??????? ??? ??? ?????????? ?? ?? ? ? ? ?????? ??????? ??? ??????? u0∈ U ? w0∈ W ???? ??? v = u0+ w0. ???? ??? u + w = u0+ w0, ? ???

  22. ????????? ?? ???????? ??? ????????? ?? ??????? ?? u − u0= w0− w. ??? u − u0∈ U ? w0− w ∈ W ?? ????????? u − u0= w0− w ∈ U ∩ W = {0}, ?? ???? u = u0? w = w0. ??????? ????? ??? ???? ???? v ∈ V ??????? ?? ? ????? u ∈ U ? ?? ? ????? w ∈ W ???????????? v = u + w.?? ????? ??? V = U + W. ????? ??????? ??? U ∩ W = {0}. ??????????? 0 ∈ U ∩ W. ???? v ∈ U ∩ W, ???? ? ?? v ∈ U ? v ∈ W. ???? ??? ??????? ?? ? ????? u ∈ U ? ?? ? ????? w ∈ W ???????????? v = u + w. ??????? ??? v = u + w = (u + v) + (w − v) ??? u + v ∈ U ? w − v ∈ W ?? ???? ????????? ?? ?????????? ?? ??? ??????? ??? u = u + v ? w = w − v, ???? ? ?? v = 0. ????? U ∩ W = {0}. ????????????????? ?????? ????? ????? ? ?????? ????? ?? v 6= 0 ?? U ∩ W ? ??? ? ?????? ????? v = 2v− v = 4v− 3v, ???? ?????????? ?? ??? ????????? ???? v ?? ? ??? 2v,4v ∈ U, 2v 6= 4v ? −v,−3v ∈ W. Exemplo 2.20 ???????? ??? R3? ? ? ???? ?????? ?? U = {(x,y,z) ∈ R3;x + y + z = 0} ? W = {(x,y,z) ∈ R3;x = y = 0}. ???? ??? W ? ? ?? ???? ?? ???????? ?? ???????? ?? R3???? W = {(x,y,z) ∈ R3;x = 0}∩{(x,y,z) ∈ R3;y = 0} ??? ????????????????? ?? u1= (x1,y1,z1), u2= (x2,y2,z2) ∈ W ???? ?? x1= y1= x2= y2= 0 ? u1+u2= (0,0,z1+z2) ? ? ?????????? ?? ???????? ?? W. ?? λ ∈ R ???? ?? λu1= λ(0,0,z1) = (λ0,λ0,λz1) = (0,0,λz1) ∈ W. ??????????? (0,0,0) ∈ W, ? ??? ??????? ? ????? ?? ??? W ? ? ?? ??? ?????? ?? ????????? ????????????? ???? (x,y,z) ∈ R3??????? ???????? (x,y,z) = (x,y,−x − y) + (0,0,z + x + y) ? ???? (x,y,−x − y) ∈ U ? (0,0,z + x + y) ∈ W ??????? R3= U + W.

  23. ???? ???????? ???? ? ???? ?? ???????? ??? ?? ????? ????? ??????? ??? U ∩ W = {0}. ???? (x,y,z) ∈ U ∩ W. ?????   Ex. Resolvido 2.21 ????????? ?? ???????? ??? ?? R3????? ???   x + y + z = 0    ⇐⇒ (x,y,z) = (0,0,0). x = 0 y = 0 U = {(x,y,z) ∈ R3;x = 0} V = {(x,y,z) ∈ R3;y = 0}. ? ?????? ??? R3= U + V, ??? ? ???? ?? ?? ? ? ??????? Resolu¸ c˜ ao: ???? (x,y,z) ∈ R3??????? ???????? (x,y,z) = (0,y,z) + (x,0,0) ∈ U + V, ???? (0,y,z) ∈ U ? (x,0,0) ∈ V. ????????? R3= U + V. ?? ???????? ? ???? ?? ?? ? ? ?????? ???? U ∩ V 6= {(0,0,0)}, ????? ??? ???????? (0,0,1) ∈ U ∩ V. ⁄ Defini¸ c˜ ao 2.22 ????? U1,...,Un???????? ??? ????????? ?? ?? ????? ?? ???????? V. ? ???? ?? U1? Un? ? ??????? ??? U1+ ··· + Un= {u1+ ··· + un;uj∈ Uj,j = 1,...,n}. Defini¸ c˜ ao 2.23 ????? U1,...,Un???????? ??? ????????? ?? ?? ????? ?? ???????? V. ??????? ??? ? ???? ?? U1? Un? ? ??? ???? ?????? ?? ‡ ?? ??? ? ?????c · U1+ ··· +c Uj???? ??? ??????? ?? ????? ????? ???? ???????? ? ????? ?? ?? U1⊕ ··· ⊕ Un???? ??????? ? ???? ?? U1? Un. Uj∩ Uj+ ··· + Un = {0}, j = 1,...n,

  24. ????????? ?? ???????? ??? ????????? ?? Observa¸ c˜ ao 2.24? ? ? ????? ??? ‡ · U1+ ··· +c 0 ∈ Uj∩ Uj+ ··· + Un ?? U1,...,Un?? ?? ???????? ??? ?????????? Proposi¸ c˜ ao 2.25 ????? U1,...,Un???????? ??? ????????? ?? ?? ????? ?? ???????? V. ???? ?? V = U1⊕ ··· ⊕ Un?? ? ??????? ?? ???? ???? v ∈ V ??????? ???? ???? j = 1,...,n, ?? ? ????? uj∈ Uj??? ??? v = u1+···+un. Prova: ? ????? ? ? ??? ????? ? ? ?? ???????? ?? ?? ????? Exemplo 2.26 ?????? ??? P2? ? ???? ?????? ??? ????????? ???????? ??? ????????? U1= {a0;a0∈ R}, U2= {a1x;a1∈ R} ? U3= {a2x2;a2∈ R}. ???? p(x) ∈ P2, ????? p(x) = a0+ a1x + a2x2, ???? ?????? ??????????? a0,a1,a2∈ R. ?????? P2= U1+ U2+ U3. ??????????? ??? ? ???? ? ? ??????? ?? ????????? ??? U1∩ (U2+ U3) = {0}. ???? p(x) ∈ U1∩ (U2+ U3). ???? ?? ??????? a0,a1,a2∈ R ???? ??? p(x) = a0= a1x + a2x2. ?? p(x) ?? ?? ????? ? ?????? ???? ???? ???? ????? ?? ?????? ???? ?? ???? 0, a0, ??????????? ??? ?? ?? ???? ?? ?? ????? ?? a1x + a2x2, ? ??? ? ? ?? ???????? ????? p(x) = 0. ?? ????????? ??? U2∩ (U1+ U3) = {0}. ???? p(x) ∈ U2∩ (U1+ U3). ???? ?? ??????? a0,a1,a2∈ R ???? ??? p(x) = a1x = a0+ a2x2. ?? p(x) ?? ?? ????? ? ?????? ???? ???? ???? ????? ?? ?????? ???? ?? ???? ?? a1x, ??????????? ??? ?? ?? ???? ? ????? a2= 0? ?? ?? a0+ a2x2, ????? a26= 0?? ? ??? ? ? ?? ???????? ????? p(x) = 0. ?? ????????? ??? U3∩ (U1+ U2) = {0}. ???? p(x) ∈ U3∩ (U1+ U2). ???? ?? ??????? a0,a1,a2∈ R ???? ??? p(x) = a2x2= a0+ a1x. ?? p(x) ?? ?? ????? ? ?????? ???? ???? ???? ????? ?? ?????? ???? ?? ???? ?? a2x2, ??????????? ??? ?? ?? ???? ? ????? a1= 0? ?? ?? a0+ a1x, ????? a16= 0?? ? ??? ? ? ?? ???????? ????? p(x) = 0.

  25. ???? ??????????? ?? 2.3 Exerc´ ıcios Ex. 2.27 ???????? ?? ?? ???? ?? ??? ????? ?????? ? ??????????? W ? ? ?? ???????? ?? ???????? ?? ????? ?? ???????? V. ???? ?? ?? ????? ????????????? ????????? ?? ?????? ?? ??? ??????? –ˆ −a c ! † a b ;a,b,c,∈ R ?? V = M2, W = . ?? V = R4, W = {(x,x,y,y);x,y ∈ R}. ?? V = Pn(R),W = {p ∈ Pn(R);p(0) = p(1)}. ?? V = Mn, ???? B ∈ Mn, ????? W = {A ∈ Mn;BA = 0}. ?? V = Rn, W = {(x1,x2,··· ,xn);a1x1+ ··· + anxn= 0}, ???? a1,..., an∈ R ?? ?? ?????? ?? V = Mn×1, W = {X ∈ Mn×1;AX = 0}, ???? A ∈ Mm×n? ? ????? ?? V = Pn(R), W = {p ∈ Pn(R);p0(t) = 0,∀t ∈ R}. ?? V = Mn, W = {A ∈ Mn;At= A}. ?? V = Mn,W = {A ∈ Mn;At= −A}. ??? V = C∞(R;R),W = {f ∈ C∞(R;R);???x→+∞f(x) = 0}. ??? V = F(R;R),W = {f ∈ F(R;R);f(x0) = 0},x0∈ R. Ex. 2.28 ????? ?? ???? ?? ??? ????? ??????? ?? ? ?????? ?? ?? ? ? ???? ??????? ?? ?????? ??????????? ??? ????????? ???? ? ?? ???????? ?? ??? ?????????? ?? ????? ?? ?????????????? ?? ??? ?????? ?? ?? W1? W2?? ?? ????????? ??? ?? ?? ????? ?? ???????? V ???? ?? W1∪W2 ? ? ???????? ?? ?? V.

  26. ????????? ?? ???????? ??? ????????? ?? ?? ????? W1? W2???????? ??? ?? ?? ????? ?? ???????? V. ???? ?? W1∪W2? ? ???????? ?? ?? V ??? ? ??????? ??? W1⊆ W2?? W2⊆ W1. ???????? ??? ?????? ??? ?? W ? ? ???????? ?? ?? V ? x0, y0∈ V ?? ?? ???? ??? x0∈ W ? y06∈ W ???? ?? x0+ y0/ ∈ W ? ??????? Ex. 2.29 ?? ???? ???? ?????? ????????? ?? ???????? ??? U+W ? U∩W? ???? U, W ?? ?? ???????? ??? ?? ????? ?? ???????? V ????????? ?? U ='(x,y) ∈ R2;y = 0“, W ='(x,y) ∈ R2;x = 2y“, ?? U = 0 b M2. V = R2. † –ˆ ! –ˆ ! † a 0 0 c 0 d ;a,b ∈ R ;c,d ∈ R , W = , V = ?? V = P3(R), U = {p(t) ∈ V;p00(t) = 0}, W = {q(t) ∈ V;q0(t) = 0}. Ex. 2.30 ????????? ?? ???? ?? ??? ????? ??????? ?? V = U ⊕ W. ?? V = R2,U ='(x,y) ∈ R2;2x + 3y = 0“, W ='(x,y) ∈ R2;x − y = 0“. a b 0 0 0 c 0 0 d    0 e g 0 i              ;a,b,c,d ∈ R ?? V = M3, U = ,           0 f h     ;e,f,g,h,i ∈ R U = {p(t) ∈ P3(R);p(1) = p(0) = 0}, W = {q(t) ∈ P3(R);q0(t) = 0,∀t ∈ R}. W = . 0 ?? V = P3(R),

  27. ???? ??????????? ?? Ex. 2.31 ?? ???? ?? ??? ????? ??????? ???? U ???????? ?? ?? V? ??? ??????? ? ???????? ?? ??????????? ?? U? ???? ? ?? ? ???????? ?? W ?? V ??? ??? V = U ⊕ W. ?? V = R3, U = {(x,y,0);x,y ∈ R}. ?? V = P3(R), U = {p(t) ∈ P3(R);p00(t) = 0,∀t ∈ R}. ?? V = M3, U = {A ∈ M3;At= A}. ˆ ! 1 1 0 1 ?? V = M2×1, U = {X ∈ M2×1;AX = 0}, ???? A = .

  28. ????????? ?? ???????? ??? ????????? ??

  29. Cap´ ıtulo 3 Combina¸ c˜ oes Lineares 3.1 ? ??????? ? ????? ?? ??? ????? ?? ?? ? ? ??????????? ?? ?? ??? ???????? ?? ?????? ??? ??????? ?????? ??????? ???? ??????? ?? ?? ???????? ?? ???????? ?? ?????? ???????? ?? ????? ?? ???????? ?? ??? ?? ???????? ? ????????? ? ? ?? ???????? ????? ???????? ??? ?????? ?????????? ????????? ????? ????? ?? ?? ??? ????? ? ??? ???????? ?? ???????? ?? ?? ?????? ????? ???????? ???? ????????????? Introdu¸ c˜ ao e Exemplos ???? ?? ???? ????? ???????? ??? ?? ???????? ?? ???????? ? ? ?? ??????? ????? ?? ?? ????? ?? ???????? ??? ? ? ??????? ??? ????? ?? ?? ? ? ???? ?? ?? ?? Defini¸ c˜ ao 3.1 ????? u1,...,un ????????? ?? ?? ????? ?? ???????? V. ??????? ??? u ? ? ???????? ?? ?? ?????? ?? u1,...,un?? ????????? ?? ?????? ????? α1,...,αn???? ??? u = α1u1+ ··· + αnun Observa¸ c˜ ao 3.2 ????? U ?? ????? ?? ???????? ? V ⊂ U ?? ???????? ?? ????????? ?? u1,...,un∈ V ? α1,...,αn∈ R ???? ?? ? ???????? ?? ?? ?????? α1u1+ ··· + αnun???????? ? V. Exemplo 3.3 ?? P2, ? ?????? ???? p(x) = 2 + x2? ? ??? ???????? ?? ?? ??? ?????? ????? p1(x) = 1, p2(x) = x ? p3(x) = x2. ??

  30. ????????? ?? ???????? ????? ???????? ?? ????? ??? ??? p(x) = 2p1(x) + 0p2(x) + p3(x). Exemplo 3.4 ???????? ??? ?? P2, ? ?????? ???? p(x) = 1 + x2? ? ??? ???????? ?? ?? ??? ?????? ????? q1(x) = 1, q2(x) = 1+x ? q3(x) = 1+x+x2. ?????????? ????????? ?? ?????? ????? α,β ? γ ???? ??? p(x) = αq1(x) + βq2(x) + γq3(x). ?? ????? ?????????? ????????? α,β ? γ ???????????? 1 + x2= α + β(1 + x) + γ(1 + x + x2) = α + β + γ + (β + γ)x + γx2, ??? ? ? ??????????? ?? ???????   3.2 Geradores   α + β + γ = 1    ⇐⇒ α = 1,β = −1 ? γ = 1. β + γ = 0 γ = 1 Defini¸ c˜ ao 3.5 ????? V ?? ????? ?? ???????? ? S ?? ??????????? ?? ?? ????? ?? V. ???????? ? ?? ?????? [S] ???? ??????? ? ???????? ?? ????? ?? ???????? ?? ??? ???????? ??? ????????? ?? S. ?? ?????? ????????? u ∈ [S] ?? ????????? α1,...,αn∈ R ? u1,...,un∈ S ???? ??? u = α1u1+ ··· + αnun. Proposi¸ c˜ ao 3.6 ????? V ?? ????? ?? ???????? ? S ?? ??????????? ?? ?? ????? ?? V. ???? ?? [S] ? ? ?? ???????? ?? ???????? ?? V. Prova: ?? ???? S 6= ∅ ?????? u ∈ S. ????? 0 = 0u ∈ [S].

  31. ???? ????????? ?? ?? ?? u,v ∈ [S] ???? ?? ??????? α1,...,αn, β1,...,βm∈ R ? u1,...,un, v1,..., vm∈ S ???? ??? u = α1u1+···+αnun? v = β1v1+···+βmvm. ?????? ???? ???? λ ∈ R, ????? u + λv = α1u1+ ··· + αnun+ λ(β1v1+ ··· + βmvm) = α1u1+ ··· + αnun+ λβ1v1+ ··· + λβmvm∈ [S]. Defini¸ c˜ ao 3.7 ????? S ? V ???? ?????? ??????? ??? [S] ? ? ? ??? ?????? ?? ???????? ?????? ??? S. ?? ????????? ?? S ?? ?? ???????? ?? ????????? ?? [S]. ?? S = {u1,...,un} ????? ?? ???????? ? ????? ?? ?? [S] = [u1,...,un]. Proposi¸ c˜ ao 3.8 ????? S ? T ???????????? ?? ????????? ?? ?? ????? ?? ???????? V. ????? ?? S ⊂ [S]; ?? ?? S ⊂ T ???? ?? [S] ⊂ [T]; ?? [[S]] = [S]; ?? ?? S ? ? ?? ???????? ?? ???????? ???? ?? S = [S]; ?? [S ∪ T] = [S] + [T]. Prova: ?? ?? u ∈ S ???? ?? u = 1u ∈ [S]; ?? ?? u ∈ [S] ???? ?? ??????? α1,...,αn∈ R ? u1,...,un∈ S ???? ??? u = α1u1+···+αnun. ???? S ⊂ T ????? u1,...,un∈ T ?? ????????? u ∈ [T];

  32. ????????? ?? ???????? ????? ???????? ?? ?? ???? ???? ? ????? ???????? ?? ??? [S] ⊂ [[S]]. ???? u ∈ [[S]]. ????? ?? ?????? ?? ?? ??? u ? ? ??? ???????? ?? ?? ?????? ?? ????????? ?? [S], ??? ???? ???? ???????? ?? [S] ? ? ??? ???????? ?? ?? ?????? ?? ????????? ?? S ??????? ??? u ? ? ??? ???????? ?? ?? ?????? ?? ????????? ?? S, ?? ????? u ∈ [S]; ?? ???? ???? ?? S ⊂ [S]. ???? u ∈ [S]. ???? ?? u ? ? ??? ???????? ?? ?? ?????? ?? ????????? ?? S. ???? S ? ? ?? ???????? ?? ????????? ???? ???????? ?? ?? ?????? ? ? ?? ???????? ?? S; ?? ???? u ∈ [S∪T]. ??? ?????? ?? ??? ??????? α1,...,αn,β1,...,βm∈ R ? u1,..., un∈ S ? v1,...,vm∈ T ???? ??? u = α1u1+ ··· + αnun+ β1v1+ ··· + βmvm = (α1u1+ ··· + αnun) + (β1v1+ ··· + βmvm) ∈ [S] + [T]. ??????????????? ?? u ∈ [S] + [T] ???? ?? u = v + w ??? v ∈ [S] ? w ∈ [T]. ????? ?????? ??????? α1,...,αp,β1,...,βq∈ R ? v1,...,vp∈ S ? w1,...,wq∈ T ???? ??? u = v + w = α1v1+ ··· + αpvp+ β1w1+ ··· + βqwq∈ [S ∪ T]. Defini¸ c˜ ao 3.9 ??????? ??? ?? ????? ?? ???????? V ? ? ?????????? ?????? ?? ??????? ?? ??????????? ????? S ⊂ V ??? ??? V = [S]. ?? ?? ???????? ?? ????? ??? ????????? ?????????? ???????? ?? Pn(R) = [1,x,...,xn]; ?? Rn? ? ?????? ??? e1= (1,0,...,0),e2= (0,1,0,...,0),...,en= (0,...,0,1).

  33. ???? ????????? ?? ?? Mm×n? ? ?????? ????? ???????? Ekl = (δ(k,l) 1,...n, ???? δ(k,l) i,j i,j), k = 1,...,m, l = – ?? (i,j) = (k,l) ???? ?????? ???? . 1 = 0 Exemplo 3.10 ???? P(R) ? ????? ?? ???????? ??????? ??? ????? ?? ??? ???? ?????? ???????? ??? P(R) ?? ?? ? ? ?????????? ??????? ???? ??? Pn(R) ⊂ P(R) ???? ???? n ∈ N. ?? P(R) ????? ?????????? ?????? ?????????? ?????? ????? p1(x),...,pn(x) ???? ??? P(R) = [p1(x),...,pn(x)]. ???? N ? ???? ???? ???? ?????? ?? ?????? ????? p1(x),...,pn(x).?? ???????? ??? xN+1?? ?? ???? ??? ??????? ???? ???????? ?? ?? ?????? ?? p1(x),...,pn(x) ?? ?????? xN+16∈ [p1(x),...,pn(x)] = P(R). ??? ????????? ?? ??? ???? ??? [1,x,x2,...] = P(R). Exemplo 3.11 ???? V ?? ????? ?? ???????? ?????? ??? u1,...,un. ???? ??? ??? ??? ??? ???????? u1? ? ??? ???????? ?? ?? ?????? ?? u2,...,un ???? ?? V ? ? ?????? ??? u2,...,un. ??????? ??????? ??? ???????? u ∈ V ?? ??????? ???? ??? ???????? ?? ?? ?????? ?? u2,...,un. ??????? ??? ??????? α1,...,αn∈ R ???? ??? u = α1u1+···+αnun? ??????? ????? ?? β1,...,βn−1???????????? u1= β1u2+ ··· + βn−1un. ?????????? ????? ???????? ?? ???? ??????? u = α1(β1u2+ ··· + βn−1un) + α2u2+ ··· + αnun = (α1β1+ α2)u2+ ··· + (α1βn−1+ αn)un∈ [u2,...,un]. Exemplo 3.12 ????? U = {(x,y,z,t) ∈ R4;x − y + t + z = 0} ? V = {(x,y,z,t) ∈ R4;x + y − t + z = 0}. ???????? ?? ???????? ????? ?? ????????? ???? ?? ????????? ???????? ??? ?????????? U, V, U∩V ? U+V.

  34. ????????? ?? ???????? ????? ???????? ?? ?? ?? (x,y,z,t) ∈ U ???? ?? y = x + z + t ?? ????????? (x,y,z,t) = (x,x+z+t,z,t) = x(1,1,0,0)+z(0,1,1,0)+t(0,1,0,1), ???? ? ?? U = [(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,1,0,1)]. ?? ?? (x,y,z,t) ∈ V ???? ?? t = x + y + z ?? ????????? (x,y,z,t) = (x,y,z,x+y+z) = x(1,0,0,1)+y(0,1,0,1)+z(0,0,1,1), ???? ? ?? V = [(1,0,0,1),(0,1,0,1),(0,0,1,1)]. ?? ?? (x,y,z,t) ∈ U ∩ V ???? ?? – x − y + t + z = 0 x + y − t + z = 0, ??? ??????? ?? x = −z ? y = t. ????? ????? (x,y,z,t) = (x,y,−x,y) = x(1,0,−1,0) + y(0,1,0,1) ?? ????????? U ∩ V = [(1,0,−1,0),(0,1,0,1)]. ?? ???? U + V = [U] + [V] = [U ∪ V], ????? ??? U + V = [(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,1,0,1), (1,0,0,1),(0,1,0,1),(0,0,1,1)] = [(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(1,0,0,1),(0,0,1,1)]. ??????? ??? (1,1,0,0) = (1,0,0,1) + (0,1,1,0) − (0,0,1,1) ?? ????????? U + V = [(0,1,1,0),(0,1,0,1),(1,0,0,1),(0,0,1,1)]. ??????? ???? ??????? ??? ???? ? ? ? ?? ????? ?? ????? ?? ????????? ???? ? ???????? ?? U + V.

  35. ???? ??????????? ?? 3.3 Exerc´ ıcios Ex. 3.13 ???? ???? ?? ??? ???????????? S ⊆ V? ???? V ? ? ? ????? ?? ???????? ????????? ????????? ? ???????? ?? ?????? ??? S? ???? ? ?? [S]. ?? S = {(1,0),(2,−1)}, V = R2. ?? {(1,1,1),(2,2,0)}, V = R3. ?? S ='1,t,t2,1 + t3“, V = P3(R). ?? S = 0 0 –ˆ ! ˆ !† 0 1 0 0 , V = M2. , −1 0 Ex. 3.14 ?? ???? ?? ??? ????? ?????? ????????? ?? ??????????? S? ?????? ??? ???? ? ???????? ?? ???????? W ?? ????? ?? ???????? V. ?? W ='(x,y,z) ∈ V.= R3;x − 2y = 0“. ?? W = {p ∈ V.= P3(R);p0(t) = 0,∀t ∈ R}. ?? W = {A ∈ V.= M2;At= A}. ?? W = {X ∈ V.= M3×1;AX = 0}, ????   Ex. 3.15 ?????????? ?? ???? ?? ??? ????? ??????? ?? ???????????? S ?? ????? ?? ???????? V ??? ????? U? W? U ∩ W ? U + W.  . 0 1 0 2 1 0 1 1 4   A = ?? U = [(1,0,0),(1,1,1)], W = [(0,1,0),(0,0,1)], V = R3. ?? U ='(x,y,z) ∈ R3;x + y = 0“, W = [(1,3,0),(0,4,6)], V = R3.

  36. ????????? ?? ???????? ????? ???????? "ˆ 0 1 ?? !# 1 1 ?? U = {A ∈ M2;At= A}, W = , V = M2. ?? U = [t3+ 4t2− t + 3,t3+ 5t2+ 5,3t3], W = [t3+ 4t2,t − 1,1], V = P3(R). Ex. 3.16 ??????? ? ??????????? ??????? ??? ??????? ?? ????? ?? ??? ?????? P3(R) ??? ????? ?? ????????? ???????? ???? ?? U = {p ∈ P3(R);p(1) = p(0) = 0}, ?? W = {p ∈ P3(R);p00(t) = 0,∀t ∈ R}, ?? U ∩ W. Ex. 3.17 ?????? ??? 1,???2x ∈ [???2x,???2x]. Ex. 3.18 ???????? ?? P2(R) ? ? ?????? ??? 1 + x, x + 2x2? 1 − x2.

  37. Cap´ ıtulo 4 Dependˆ encia Linear 4.1 ? ??? ???????? ????? ?? ????? ?? ?? ?????? ?? ??????? ??? ??????? ???? ???? ????? ?? ?? ?????? ??? ??????? ????? ????????? ??? ???????? ?? v ? w ????? ?? ????? ?? V ???? ?? ???? ???????? u ∈ V ? ? ????? ???? ????????? ????????? α ? β ???????????? u = αv + βw, ?? ???? Introdu¸ c˜ ao e Exemplos ? ???? ????? ???????? ?? ?????????? ?? ????????? ?? ?? ????? ?? ???????? ?????????? ????????? ?? ??????????? ???????? ?? ??????? ?? ???? αv + βw − 1u = 0. ???? ??? ? ???????? ?? ?? ?????? ????? ? ? ????? ?????? ??? ????? ?? ????????? ??? ???????? ?? ??? ?????? ?? ?? ?? ?? ?????? ??????? ????? ? ???????? ?????? ?? ??? ???? ? ????? ???? ????????? ????????? α,β ? γ, ?? ?? ????? ?????? ?? ???? ???? ?? R3???????? α(1,0,0) + β(0,1,0) + γ(0,0,1) = (0,0,0)? ? ???????? ? ?? ?????????? ?? ??? ???? ???????? ??? ?? ?? ? ? ????? ???? ???????? ?????? ??? ??????? ????? ???? ???????? ?? ?? ?????? ??? ?????? ????? ???? ????????? ??? ? ??? ?????? ??? ?? ??????? u,v ? w ?? ??????? ????????? ??

  38. ????????? ?? ???????????? ?????? ?? ??? ????? ???????? ?? ??????? ?? ???????? ??????? ??????? ??? ????? ??????? ????? ????? ?? ? ????? ???????? ???? ?? ???????? ?? ??? ?? ??????? ?? ?? ?????????????? ???????? ??? ?? ?????? ?? ??? ? ???????? ??? ?????? ???? ??????? ?????? ????? ????????? ???? ????????? Defini¸ c˜ ao 4.1 ??????? ??? ??? ???? ?? ????? ?? ??????? u1,...,un ?? ?? ????? ?? ???????? V ? ? ??????????? ???????????? ?????? ?????????? ?????? ?? ? ???????? ?? ?? ?????? α1u1+···+αnun= 0 ?? ? ??? ?????????? ?????? α1= ··· = αn= 0. Observa¸ c˜ ao 4.2 ???? ??? ?? α1= ··· = αn= 0 ???? ?? α1u1+ ··· + αnun= 0, ???? ??? ? ???? ?????? ??? ?????? ? ? ?? ?????? ????? ??? ???? ??? ???????? ?? R2????? (0,0) = 1(1,1) + 1(−1,−1). Observa¸ c˜ ao 4.3 ? ??? ?? ?? ?? ????????? ????? ?????? ???? ? ???? ?? ????? u1,..., un ???????? ? ????? ??? ?? βi6= 0 ???? ????? i ∈ {1,...,n} ???? ?? β1u1+ ··· + βnun6= 0. Defini¸ c˜ ao 4.4 ??????? ??? ??? ???? ?? ????? u1,...,un?? ?? ????? ?? ???????? V ? ? ??????????? ?????????? ?????? ??????????????? ?? ?? ?? ??? ??????????? ????????????? Observa¸ c˜ ao 4.5 ? ?????? ?? ?? ?? ??????? ????? ?????? ???? ? ???? ?? ????? u1, ..., un? ? ??????????? ? ????? ??? ? ? ????? ???? ????????? ?? ?????? ????? α1,...,αn?? ?? ????? ????? ???? ??? α1u1+ ··· + αnun= 0. Exemplo 4.6 O,u1,...,un ⊂ V ? ? ??? ???? ?? ????? ????? ???? O ? ? ? ???????? ?????? ?? ????? ?? ???????? V. ????? ???????? ??? 1O + 0u1+ ··· + 0un= O. Exemplo 4.7 ???????? ?? ? ???? ?? ????? (1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) ? ? ????? ??????? ???????????? ?? R3.

  39. ???? ???????? ???? ? ???????? ?? ?? ??????? ???????? ????? ?? ?? ?? ????? ????? ????? ?? ??? ?? α(1,1,1) + β(1,1,0) + γ(1,0,0) = (0,0,0). ???? ???????? ? ???????? ? ???????     α + β + γ = 0    α + β = 0 γ = 0, ??? ?????? ???? ? ????? ????? ?? ??? α = β = γ = 0. ????? ? ???? ?? ????? ????? ? ? ????? Exemplo 4.8 ????????? ?? ??????? ?? R3????? ??? ? u1= (x1,y1,z1), u2= (x2,y2,z2) u3= (x3,y3,z3). ???????? ??? ?????? ?? ?? ??????? ???? ? ????????? ???? ??? ?? ??????? u1,u2,u3????? ??????????? ?????????????? ???????? ?? ??????? ????? ???? ?? ???? ?? ? ??????? ?? α1u1+α2u2+α3u3= 0 ?????????? ???? ? ????? ????? ?? ?? α1= α2= α3= 0. ???? ? ? ??????????? ? ??? ? ???????   ?????? ????? ?? ?? ? ????? ?? ???? ?? ????? ???? ? ? ??????????? ??? ? ??????   ?????? ???????????? ????????? ?? ????? ???? ??? ?? ??????? ????? ?????? ?? ?? ???????? ????? ??????????? ?? u1,u2? u3. ? ????? ????????? ???? ?? ?????????? ?? ??????????? ??? ??????? u1, u2? u3???? ??????? ??? ??? ??   α1x1+ α2x2+ α3x3= 0    α1y1+ α2y2+ α3y3= 0 α1z1+ α2z2+ α3z3= 0   x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2   z3

  40. ????????? ?? ???????????? ?????? ?? Exerc´ ıcio 4.9 ??????? ? ????????? ?? ????????? ??? ????? ?? ??????? ???????? ???? ??? ???? ?? ????? ??? n ??????? ?? Rn. Exemplo 4.10 ???????? ?? ?? ???????? ˆ ! ˆ ! ˆ ! 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 , , ?? ?? ??????????? ????????????? ?? M2. ?????????? ?? ????? ?? ??? ?? ˆ ! ˆ ! ˆ ! ˆ ! 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 + β + γ = α , ??? ???????? ? ˆ ! ˆ ! α + β β + γ 0 0 0 0 0 = , α + β ??? ?????? ???? ????? ?? ?? (α,β,γ) = (α,−α,α) ???? ???????? α ∈ R. ????? ?????? ? ???? ?? ????? ?? ???????? ???? ? ? ??????????? ??????????? ???????? ?????? ??? ???????? α = 1, β = −1 ? γ = 1. Exemplo 4.11 ???????? ?? ?? ???? ?? ??? ??? ? ??? ?? ?? ???? ?? C1(R;R). ???? ??? ? ??? ?? ?? ???? ?? ??? ???????? ?? R, ? ???????? ?? ?? ???? α???+β??? = 0 ???????? ??? α???x + β???x = 0 ???? ???? x ∈ R. ?? ??????????? ???? x = 0 ????? ??? α = 0 ? ???? x = π/2, ??? β = 0. ????????? ??? ? ??? ?? ?? ????? Exemplo 4.12 ???????? ?? ?? ???? ?? ??? ???2, ???2,1 ?? ?? ??????????? ??????????? ?? C1(R;R).

  41. ???? ???????????? ?? ???? ???? ???? x ∈ R, 1 − ???2x − ???2x = 0, ??????? ??? ?? ???? ?? ??? ????? ?? ?? ????? Exerc´ ıcio 4.13 ????? f(x) = ???2x, g(x) = ???2x ? h(x) = ???2x, x ∈ R. ?????? ??? f,g,h ?? ?? ??????????? ??????????? ?? C1(R;R). 4.2 Propriedades Proposi¸ c˜ ao 4.14 ?? u1,...,un ?? ?? ???? ???? ?? ???? ????? ?? ?????? ??????? ?? ??????? ???? ???????? ?? ?? ??? ???? ??? ??????? ?? ?? ????? ?? ???????? V Prova: ?????????? ??????? ??? ?? u1,...,un?? ?? ??????????? ??????????? ???? ?? ??????? j ∈ {1,...,n} ? ?? ?????? ????? α1,...,αn−1???? ??? uj= α1u1+ ··· + αj−1uj−1+ αjuj+1+ ··· + αn−1un. ???? u1,...,un?? ?? ???? ??????? ?? ?????? ????? β1,...,βn?? ?? ????? ????? ???? ??? β1u1+···+βnun= 0. ????? ????? ?????? j ∈ {1,...,n} ??? ??? βj6= 0 ?? ?????? uj= −β1 βju1− ··· −βj−1 uj−1−βj+1 uj+1− ··· −βn βjun. βj βj Proposi¸ c˜ ao 4.15 ?? u1,...,un?? V ?? ?? ???? ???? ?? ???????? ???? ?? ??? ??? ????? ?? ??????? ?? V ??? ?? ????????? ????? ?? ???? ? ????? Prova: ????? ??????? ??? ?? u1,...,un,un+1,..., um∈ V ?? ?? ???? ??? u1,..., un?? ?? ???? ???? ?? u1,..., un, un+1,...,um????? ?? ?? ?? ??????????? ????????????

  42. ????????? ?? ???????????? ?????? ?? ???? ??????? ?? ?????? ????? β1,...,βn?? ?? ????? ????? ???? ??? β1u1+ ··· + βnun= 0, ??????? ???????? β1u1+ ··· + βnun+ 0un+1+ ··· + 0um= 0 ????? ??? ????? ? ?????? ???????? ?? ??? ????? ?? ??????????? ?? ?? ?????? Proposi¸ c˜ ao 4.16 ?? u1,...,un,un+1,...,um?? ?? ??????????? ???????? ?????? ?? ?? ????? ?? ???????? V ???? ?? ???????? ??????? ?? ????? ?????? ??????? ????? ?? ? ? ??????????? ????????????? Prova: ????? ??????? ??? ?? u1,...,un,un+1,...,um?? ?? ??????????? ??? ??????????? ???? ?? u1,...,un????? ?? ?? ??? ??????? ??? β1u1+ ··· + βnun= 0. ??? ???? β1u1+ ··· + βnun= β1u1+ ··· + βnun+ 0un+1+ ··· + 0um= 0 ? ????? ??????? ?? ?? ????? ????? ??? β1= ··· = βn= 0. Proposi¸ c˜ ao 4.17 ?? u1,...,un ?? ?? ???? ?? ?? ????? ?? ???????? V ? u1,..., un, un+1?? ?? ???? ???? ?? un+1? ? ???????? ?? ?? ?????? ?? u1,...,un. Prova: ??????? β1,...,βn+1?? ?? ????? ????? ???? ??? β1u1··· + βnun+ βn+1un+1= 0. ?????? ?? βn+1= 0 ???? ?? ? ???????? ?? ????? ?????? β1u1··· + βnun= 0. ???? ?? ??????? u1,...,un?? ?? ???? ?? ?????? ?????? ????? ??? ????? ?? β1= ··· = βn= 0. ??? ????????? ?? ??? Proposi¸ c˜ ao 4.18 ????? u1,...,un??????? ???? ?? ?? ????? ?? ???????? V. ???? ?? ???? ????? v ∈ [u1,...,un] ?? ??????? ?? ??????? ? ????? ???? v = α1u1+ ··· + αnun.

  43. ???? ??????????? ?? Prova: ????? ??????? ??? ?? α1u1+ ··· + αnun= β1u1+ ··· + βnun???? ?? αj= βj, j = 1,...,n. ????? (α1− β1)u1+ ··· + (αn− βn)un= 0 ? ???? u1,...,un?? ?? ???? ???? ?? αj− βj= 0, ???? ? ? αj= βj, ???? ???? j = 1,...,n. 4.3 Exerc´ ıcios Ex. 4.19 ????????? ?? ???? ?? ??? ????? ??????? ?? ? ??????????? S ?? ????? ?? ???????? V ? ? ???? ?? ???? ?? S = {(1,2),(−3,1)}, V = R2. ?? S ='1 + t − t2,2 + 5t − 9t2“, V = P2(R). ?? S = 0 0 –ˆ ! ˆ !† −1 1 2 0 , V = M2. , −1 0 ?? S = {(1,2,2,−3),(−1,4,−2,0)}, V = R4.   ?? S = {1, ???x,???x}, V = C∞(R,R). ?? S ='1, ???2x,???2x“, V = C∞(R,R). ?? S = {ex,e−x}, V = C∞(R,R). ?? S = {xex,x}, V = C∞(R,R).      ,    ,         −1 −1 −1 0 0 1 1 1 2 0 3 0 1 0 0 2 0 10 −1 0 1 0 0 5 7         ?? S = , V = M3. 0 1

  44. ????????? ?? ???????????? ?????? ?? Ex. 4.20 ???? S = {u,v,w} ?? ???????? ???? ?? V. ???????? ?? ?? ????????? ?????? ?? ?? ???? ?? ????? ?? S1= {u,u + v,u + v + w}; ?? S2= {u − v,v − w,w − u}; ?? S3= {u + v,u + v + w,w}. Ex. 4.21 ????? f,g ∈ C1((a,b);R). ?????? ??? ?? ??????? x ∈ (a,b) ??? ??? f(x)g0(x) 6= f0(x)g(x) ???? ?? f ? g ?? ?? ?????

  45. Cap´ ıtulo 5 Base, Dimens˜ ao e Coordenadas 5.1 ? ? ?? ?? ???????? ??? ???? ? ????? ??? ??? ??? ?? ????? ???????? ??? ??????? ??? ???????? ????????? ? ??? ????? ?? ?? ???? ???? ? ????? ?? ????? ??????? ? ?????? ?? ?? ??????? ?? ????? Base ??? ?? ?? ?? ???? ?? ?? ????? ?? ???????? ? ? ????? ???????? ??? ???????? ?? ???????? ?? ???????? ?? ????????? ??? ???? ? ????? ????? ????? ???? Defini¸ c˜ ao 5.1 ???? V 6= {0} ?? ????? ?? ???????? ?????????? ??????? ??? ???? ?? V ? ? ??? ???? ?? ????? ?? ??????? ??????????? ????????????? B ?? V ??? ????? ?? ???? V. Exemplo 5.2 ?? ??????? ?? B = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} ?????? ?? ?? ???? ?? R3. ?? ???? ?????????? ??? ?? ??????? ?? B ?? ?? ???? ? ??? ???? (x,y,z) ∈ R3?? ??????? ???? (x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1). Exemplo 5.3 ?? ??????? e1,...,en∈ Rn???? e1= (1,0,...,0), e2= (0,1,0, ...,0), ..., en= (0,...,0,1) ?????? ??? ???? ?? Rn. ??

  46. ????????? ?? ????? ????????? ? ??????????? ?? Ex. Resolvido 5.4 ?????? ??? (1,1) ? (1,−1) ?????? ??? ???? ?? R2. Resolu¸ c˜ ao:?? ??????? ??????? ??? ????? ??????? ?? ?? ???? ? ??? ???? ????? ?? R2?? ??????? ???? ???????? ?? ?? ?????? ?? (1,1) ? (1,−1). ?? ???????? ?? ?????????? ??? ???? ????? ?? R2?? ??????? ?? ??????? ? ????? ???? ???????? ?? ?? ?????? ?? (1,1) ? (1,−1) ?? ? ????????? ????????? ?? ???? ???? ????????? ?? ????? ?????? ???? ??? ??? ???? (x,y) ∈ R2. ? ????? ???????? ?? ?????? ?? ??????? ??? ?????? ?? ? ????? α ∈ R ? ?? ? ????? β ∈ R ???????????? (x,y) = α(1,1) + β(1,−1) = (α + β,α − β). ???? ? ?????? ???????? ?? ? ? ??????????? ?? ???????? ??????? ?????? – α − β = y. α + β = x ?????????? ? ??????? ??????? ??? ? ????? ????? ?? ?? ???? ??? α = (x+y)/2 ? β = (x − y)/2. ⁄ Exemplo 5.5 ?? ???????? ?? –ˆ ! ˆ ! ˆ ! ˆ !† 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 B = , , , ?????? ??? ???? ?? M2. Exerc´ ıcio 5.6 ???????? ?? ?? ????????? ?? B = {1 + x,1 − x,1 − x2} ?????? ??? ???? ?? P2(R). Proposi¸ c˜ ao 5.7 ???? {u1,...,un} ??? ???? ?? V. ???? ?? {u1,...,un−1} ?? ?? ? ? ??? ???? ?? V. Prova: ?? {u1,...,un−1} ????? ??? ???? ?? V ???? ?? ?????????? αj∈ R, j = 1,...,n − 1 ???? ??? un= α1u1+ ··· + αn−1un−1,

  47. ???? ????????? ?? ???? ? ?? α1u1+ ··· + αn−1un−1− un= 0, ????????????? ? ???? ?? ??? u1,...,un?? ?? ??????????? ?????????????? Teorema 5.8 ???? ????? ?? ???????? V 6= {0} ?????????? ?????? ?????? ??? ????? ?? ?????? ????????? ?? ? ??? ???? ?? ????? ?? ??????? ???? ?? V ??????? ??? ?????????? Prova: ???? V 6= {0} ? ? ?????????? ?????? ??????? u1,...,un∈ V ???? ??? V = [u1,...,un]. ?? u1,...,un????? ????? ???? ?? ???? ???? ?? ????? ? ? ??? ???? ?? V ? ?? ?? ?? ? ???? ???? ? ??? ???????? ?????????? ??? u1,...,un ????? ????? {1,...,n} ??? ??? uj6= 0. ??? ????????????? ??????? ????? ??? u16= 0. ?????? ?? ???? uj, j = 2,...,n ????? ?? ???????? ???? ???????? ?? ?? ?????? ?? u1???? ?? V = [u1] ? u1? ? ??? ???? ?? V. ???? ???? ?? ?? ??????? ? ? ?????? ?????? ????? uj, ??? 2 ≤ j ≤ n ??? ??? u1,uj?? ?? ????? ??? ????????????? ?????????? ??? ???? ? u2, ???? ? ?? u1,u2?? ?? ????? ???? ?? ????? ?? ??????? u3,...,un????? ???????? ?? ??? ???????? ?? u1? u2???? ?? V = [u1,u2] ? u1,u2?????? ??? ???? ?? V. ??????? ??????? ???? ???????? ? ???? ? ?? ????? ?? ????????? ?? L = {u1,...,un} ? ? ?????? ??? ????? ????? ????? ?????? ??? ???? ?? ????? ?? ??????? ???? ?????? ?? ??????? L ??? ???? V. ???? ???? ?? ????? ????? ??? ???? ?? V. ???? V 6= {0}, ?????? j ∈ 5.2 Dimens˜ ao Teorema 5.9 ?? ?? ????? ?? ???????? V 6= {0} ?????????? ?????? ???? ???? ?????? ? ????? ?? ????? ?? ?????????? Prova: ????? u1,...,un? v1,...,vm????? ?? ?? ????? ?? ???????? ?????? ????? ?????? V. ?????????? ??? n > m ? ????????? ??? ???? ????????? ? ??? u1,..., un?? ?? ????? ? ??? ????????? ? ???? ?? ???????? ??? ?????

  48. ????????? ?? ????? ????????? ? ??????????? ?? ???? ?? ??????? v1,...,vm????? V ??????? ???????? ???? ???? 1 ≤ j ≤ n, uj= α1jv1+ ··· + αmjvm. ?????? ? ???????? ?? ?? ?????? ???? x1u1+ ··· + xnun= 0 ? ? ??????????? ? ˆ i=1 ! ˆ ! m m X X + ··· + xn = 0, x1 αi1vi αinvi i=1 ?? ?????? ˆ ! ˆ ! n n X X v1+ ··· + vm= 0. xjα1j xjαmj j=1 j=1 ???? v1,...,vm?? ?? ???? ???? ??Pn ???? n > m, ?????? ??? ????? ?? ?? ?? ?? ???????? ???? ? ?? ??? ????? ?? ?? x1,...,xn ???? ???? ????? ?? xj? ? ????????? ?? ????? ?????? u1,...,un?? ?? ????? ??? ????????? ?? ??? j=1xjαij= 0 ???? ???? 1 ≤ i ≤ m. ????? m ????? ?? ??? ??????????? ?? ??????? ?????? ?????? ???? ??? n ???? ???????? Defini¸ c˜ ao 5.10 ???? V ?? ????? ?? ???????? ?????????? ??????? V = {0} ???????? ? ??????? ?? ?? V ???? ????? 0. ?? V 6= {0} ???????? ? ??????? ?? ?? V ???? ????? ? ?? ????? ?? ????????? ?? ??? ???? ???????? ?? V. ???????? ? ?? ?????? ???V ???? ???????? ? ??????? ?? ?? V. ?? Defini¸ c˜ ao 5.11 ?? ?? ????? ?? ???????? ?? ?? ? ? ?????????? ?????? ????? ??? ??? V ?????? ??????? ?? ???????? Proposi¸ c˜ ao 5.12 ???? ????? ?? ???????? ?? ??????? ?? ??????? ?????? ??? ????????? ?? ??????? ??????????? ?????????????? Prova: ???? V ?? ????? ?? ???????? ?? ??????? ?? ???????? ?????????? V 6= {0}. ????????? u1∈ V, u16= 0. ???? V ?? ?? ? ? ?????????? ??????? V 6= [u1].

  49. ???? ????????? ?? ?????? ??????? ????? u2∈ V ??? ??? u26∈ [u1]. ????? ?????? ?? ??????? u1? u2?? ?? ??????????? ?????????????? ??????? ??? ???????? ?????????? ??????? u1,...,un∈ V ??????????? ?????????????? ???? V ?? ?? ? ? ?????????? ??????? V 6= [u1,...,un] ?? ?????? ? ? ????? ???? ???????? un+1∈ V ??? ??? un+16∈ [u1,...,un], ???? ? ?? ?? ??????? u1,...,un,un+1∈ V ?? ?? ??????????? ?????????????? ?? ??????? ?????? ?? V ??? ???? ?? ????? ??????? ?? ??????? ??????????? ?????????????? ? ???????? ???????? ?? ?? ? ? ?? ????????? ?? ????? ?? ??????? ???? Proposi¸ c˜ ao 5.13 ?? ?? ????? ?? ???????? ?? ??????? ?? m ???????? ???? ?? ????? ?? ??????? ??? ???? ?? m ????????? ? ? ??????????? ??? ????????? Corol´ ario 5.14 ???? ???????? ?? ???????? ?? ?? ????? ?? ???????? ?? ??? ????? ?? ????? ????? ?? ??? ??????? ?? ?????? Prova: ???? V ?? ????? ?? ???????? ?? ??????? ?? ????? ? W ?? ???????? ?? ???????? ?? V. ?? W ??????? ??????? ?? ???????? ???? ???????? ?? ?? ????? ????? ????? ??? ????????? ?? ??????? ??????????? ????????????? ?? W. ???? ????? ??????? ????? ?? ?? ?? ??????????? ????????????? ?? V, ? ?? ????? ????? ??????? ??? ????? ?? ??? ? ??????? ?? ?? V ????? ???????? ?? ?? ?????? ??? ????????? ?? ??? Corol´ ario 5.15 ?? V ? ? ?? ????? ?? ???????? n???????????? ? u1,...,un∈ V ?? ?? ??????????? ????????????? ???? ?? ????? ??????? ?????? ??? ???? ?? V. Exemplo 5.16 ???Rn= n. Exemplo 5.17 ? ??????? ?? ?? P(R) ? ? ???????? ???? ? ??????? ????? Exemplo 5.18 ???Pn(R) = n + 1.

  50. ????????? ?? ????? ????????? ? ??????????? ?? ????? ????? ??? ?? ?????? ????? 1,x,...,xn?????? ??? ???? ?? Pn(R). Exemplo 5.19 ???Mm×n= mn. ???? ??? ?? ???????? Ak,l= (δk,l i,j)1≤i≤m 1≤j≤n, k = 1,...,m, l = 1,...,n ???? – ?? (i,j) = (k,l) ?? (i,j) 6= (k,l) 1 δk,l i,j= 0 ?????? ??? ???? ?? Mm×n. Exerc´ ıcio 5.20 ? ??????? ?? ?? ????? ?? ??? ???????? ????????? ? ??? ?? ??????? ?? ????? n ? ? n(n + 1)/2. Teorema 5.21 (Completamento) ???? V ?? ????? ?? ???????? ?? ??? ????? ?? n. ?? ?? ??????? u1,..., ur?? ?? ???? ?? V ??? r < n ???? ?? ??????? ur+1,...,un???? ??? u1,...,ur, ur+1,...,un?????? ??? ???? ?? V. Prova: ???? r < n ?????? ur+1∈ V ??? ??? u1,...,ur,ur+1?? ?? ????? ???? ???? ?????? ???? ?? ??????? u1,...,ur????????? ??? ???? ?? V, ? ??? ? ? ??????? ???? ???? ???V = n > r. ?? r + 1 = n ???? ?? u1,...,ur,ur+1?????? ??? ???? ?? V. ?? r+1 < n ???? ?? ? ? ????? ???? ????????? ur+2∈ V ??? ??? u1,...,ur,ur+1, ur+2?? ?? ????? ???? ???? ?????? ???? ? ???? ?? ????? u1,...,ur,ur+1????? ??? ???? ?? V, ? ??? ? ? ??????? ???? ???? ???V = n > r + 1. ????????? ?? ?????????? ?????? ??????????? ??????? ur+1,ur+2, ..., ur+k, ???? r + k = n, ?? ????? ??? u1,...,ur,ur+1,...,ur+k ?? ?? ???? ?? ???? ???V = n = r + k, ????? ??? ???? ???? ?? ????? ?? ??????? ? ? ??? ???? ?? V ??? ????? ?? ?? ??????? u1,...,ur.

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