TRIGONOMETRÍA DÍA 15 * 1º BAD CT

1. TRIGONOMETRÍADÍA 15 * 1º BAD CT Matemáticas 1º Bachillerato CT

2. EL RADIAN • SISTEMA SEXAGESIMAL • Cada una de las 360 partes iguales en que queda dividida la circunferencia se llama grado sexagesimal. Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto a su vez se divide en 60 segundos. • EL RADIAN • En trigonometría se utiliza como unidad fundamental el Radian, que se define como aquel ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual a la del radio. • Para deducir el valor de un radian partiremos de la fórmula para calcular el perímetro de una circunferencia. • P = 2.π.r • Sabemos que el giro completo de una circunferencia vale 360°: • 2.πrad = 360º A Radio =r Arco AB = r B Matemáticas 1º Bachillerato CT

3. Equivalencias • Tenemos que π radianes es igual a 180°. • Y gracias a estos quebrados podremos obtener las siguientes equivalencias Matemáticas 1º Bachillerato CT

4. Trigonometría • Trigonometría • La palabra trigonometría proviene del vocablo griego trígono –triángulo-, y metron –medida-, que se refiere a las medidas de los ángulos de un triangulo. • La trigonometría es la rama de las matemáticas que intenta establecer las relaciones entre los lados y los ángulos de un triangulo, para así poder resolverlos. • Así entonces resolver un triangulo significa encontrar el valor de sus tres lados, y el de sus tres ángulos, para esto nos valdremos del teorema de Pitágoras para encontrar el valor de un lado, si es que ya conocemos dos, y de las funciones trigonométricas para conocer el valor de los ángulos internos si es que ya conocemos mínimo un lado. • Y así posteriormente podremos combinar las funciones trigonométricas con el teorema de Pitágoras para poder resolver problemas de mayor dificultad. Matemáticas 1º Bachillerato CT

5. Teorema de Pitágoras. • En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los catetos. • a2 = b2 + c2 Los triángulos sagrados de los agrimensores egipcios ya empleaban los triángulos de lados 3,4 y 5 y de 5,12 y 13 nudos para hallar ángulos rectos. Tres números enteros que verifiquen el Teorema de Pitágoras se dice que forman una terna pitagórica. a c b Matemáticas 1º Bachillerato CT

6. Reconocimiento de triángulos • Sea un triángulo de lados a, b y c, donde a es el lado mayor. • Si a2 = b2 + c2 El triángulo es RECTÁNGULO. • Tiene un ángulo recto (90º) opuesto al lado a. • Si a2 < b2 + c2 El triángulo es ACUTÁNGULO. • Los tres ángulos son menores de 90º. • Si a2 > b2 + c2 El triángulo es OBTUSÁNGULO. • Tiene un ángulo obtuso, mayor de 90º, el opuesto al lado a. a a a c c c A<90º A=90º A>90º b b b Matemáticas 1º Bachillerato CT

7. Razones trigonométricas • Razones Trigonométricas • En todo triángulo rectángulo, con independencia de las medidas de sus lados (catetos e hipotenusa) hay unas relaciones entre sus lados que se cumplen siempre, y que sólo dependen del valor de los ángulos agudos del triángulo. B Hipotenusa B c a A=90º C A b C Matemáticas 1º Bachillerato CT

8. Razones en un triángulo • RAZONES DIRECTAS • El seno de un ángulo agudo, C, es la razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo, c, y la hipotenusa, a. • Se escribe sen C • El coseno de un ángulo agudo, C, es la razón entre el cateto adyacente a dicho ángulo, b, y la hipotenusa, a. • Se escribe cos C • La tangente de un ángulo agudo, C, es la razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo, c, y el cateto adyacente, b. • Se escribe tg C Matemáticas 1º Bachillerato CT

9. Razones en un triángulo • RAZONES INVERSAS • Se llaman así porque son inversas de las razones anteriores: • La cosecante de un ángulo agudo, B, es la inversa del seno. • Se escribe cosec B = 1 / sen B • La secante de un ángulo agudo, B, es la inversa del coseno. • Se escribe sec B = 1 / cos B • La cotangente de un ángulo agudo, B, es la inversa de la tangente. • Se escribe cotg B = 1 / tg B Matemáticas 1º Bachillerato CT

10. Ejemplo • Hallar las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo cuyos lados miden: a=5, b=4, c=3 • sen C=c/a=3/5=0,6 • cos C=b/a=4/5=0,8 • tg C=c/b=3/4=0,75 • cosec C=1/sen C=1/0,6=5/3 • sec C=1/cos C=1/0,8=1,25 • cotg C=1/tg C=1/0,75=4/3 B Hipotenusa B c a A=90º C A b C • IMPORTANTE • Como un cateto siempre es menor que la hipotenusa: • sen α≤ 1 • cos α ≤ 1 Matemáticas 1º Bachillerato CT

11. Ejemplo • Hallar las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo cuyos lados miden: a=5, b=4, c=3 • sen B=b/a=4/5=0,8 • cos B=c/a=3/5=0,6 • tg B=b/c=4/3 • cosec B=1/sen B=1/0,8=1,25 • sec B=1/cos B=1/0,6=5/3 • cotg B=1/tg B=1/(4/3)=0,75 B Hipotenusa B c a A=90º C A b C • IMPORTANTE • Cuando los ángulos son complementarios, B+C=90º: • sen B = cos C • cos B = sen C Matemáticas 1º Bachillerato CT

12. Algunas razones muy utilizadas • RAZONES MUY UTILIZADAS • Conviene saberse de memoria las siguientes razones trigonométricas, al objeto de conseguir rapidez y exactitud: • Sen 30º = 1 / 2 • Cos 30º = √3 / 2 • Tg 30º = √3 / 3 • Sen 45º = √2 / 2 • Cos 45º = √2 / 2 • Tg 45º = 1 • Sen 60º = √3 / 2 • Cos 60º = 1 / 2 • Tg 60º = √3 √2 45º 30º √3/2 60º ½ ½ Matemáticas 1º Bachillerato CT

13. Ángulos y Cuadrantes π/2 rad 90º Cuad. I Cuad. II 0 rad r=1 0º 180º α π rad 360º Cuad. III 2π rad Cuad. IV 270º 3π/2 rad Circunferencia goniométrica es la que tiene por radio la unidad. Es la empleada en trigonometría. Matemáticas 1º Bachillerato CT

14. Líneas trigonométricas • LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS • El seno de un ángulo en el primer cuadrante es AB/r , pero al ser r=1, el valor del seno coincide con la ordenada del punto A, o sea con la línea o segmento AB • sen α = AB • Lo mismo pasa con el coseno de un ángulo en el primer cuadrante. • cos α = OB • De forma similar ocurre con la tangente de un ángulo del primer cuadrante. • tg α = CD • En la circunferencia goniométrica las razones trigonométricas se transforman en líneas trigonométricas, lo que permite visualizar su valor. C A r=1 α O B D Matemáticas 1º Bachillerato CT

15. Valor y signo en 1º Cuadrante • RAZONES EN EL PRIMER CUADRANTE • Se puede ver que al aumentar al ángulo, de 0º a 90º, el valor del seno (en color rojo) aumenta de 0 a 1. • Asimismo vemos que siempre queda por encima del eje de abscisas, por lo que su valor es siempre positivo. • 0 < sen α < 1 • También se puede ver que al aumentar al ángulo, de 0º a 90º, el valor del coseno (en color verde) disminuye de 1 a 0. • Asimismo vemos que siempre queda a la derecha del eje de ordenadas, por lo que su valor es siempre positivo. • 1 > cos α > 0 90º β α 0º 180º 270º Matemáticas 1º Bachillerato CT

16. Valor y signo en 2º Cuadrante • RAZONES EN EL SEGUNDO CUADRANTE • Se puede ver que al aumentar al ángulo, de 90º a 180º, el valor del seno (en color rojo) disminuye de 1 a 0. • Asimismo vemos que siempre queda por encima del eje de abscisas, por lo que su valor es siempre positivo. • 1 > sen α > 0 • También se puede ver que al aumentar al ángulo, de 90º a 180º, el valor del coseno (en color verde) disminuye de 0 a – 1. • Asimismo vemos que siempre queda a la izquierda del eje de ordenadas, por lo que su valor es siempre negativo. • 0 > cos α > – 1 90º α β 0º 180º 270º Matemáticas 1º Bachillerato CT

17. Valor y signo en 3º Cuadrante • RAZONES EN EL TERCER CUADRANTE • Se puede ver que al aumentar al ángulo, de 180º a 270º, el valor del seno (en color rojo) disminuye de 0 a – 1. • Asimismo vemos que siempre queda por debajo del eje de abscisas, por lo que su valor es siempre negativo. • 0 > sen α > – 1 • También se puede ver que al aumentar al ángulo, de 180º a 270º, el valor del coseno (en color verde) aumenta de – 1 a 0. • Asimismo vemos que siempre queda a la izquierda del eje de ordenadas, por lo que su valor es siempre negativo. • – 1 < cos α < 0 90º 0º 180º α β 270º Matemáticas 1º Bachillerato CT

18. Valor y signo en 4º Cuadrante • RAZONES EN EL CUARTO CUADRANTE • Se puede ver que al aumentar al ángulo, de 270º a 360º, el valor del seno (en color rojo) aumenta de – 1 a 0. • Asimismo vemos que siempre queda por debajo del eje de abscisas, por lo que su valor es siempre negativo. • – 1 < sen α < 0 • También se puede ver que al aumentar al ángulo, de 270º a 360º, el valor del coseno (en color verde) aumenta de 0 a 1. • Asimismo vemos que siempre queda a la derecha del eje de ordenadas, por lo que su valor es siempre positivo. • 0 < cos α < 1 90º 0º 180º β α 270º Matemáticas 1º Bachillerato CT

19. Valor y signo en los Vértices • RAZONES EN VÉRTICES • Como vemos los vértices son los límites geométricos del seno y coseno de un ángulo. • Por lo tanto: • 0 ≤ |sen α| ≤ 1 • 0 ≤ |cosα| ≤ 1 • El valor de la tangente, sin embargo, no está limitada, pudiendo tomar valores entre –oo y +oo, dependiendo del cuadrante del ángulo. sen 90º=1 cos 90º=0 sen 0º=0 sen 180º=0 α cos 180º= -1 cos 0º=1 sen 270º= -1 cos 270º= 0 Matemáticas 1º Bachillerato CT