ESTUDIO DE CASOS - Estados Elásticos Bidimensionales - Problema de Segunda Especie

1. Estados Elásticos BidimensionalesEstudio de CasosProblema de Segunda Especie Introducción a la Mecánica del Sólido Deformable Ing. Gabriel Pujol Para la carrera de Ingeniería Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. y En una chapa sometida a un estado plano de tensiones se conocen las dilataciones para tres direcciones concurrentes a un punto “O”. Se pide para el haz de direcciones contenidas en la chapa: Determinar analíticamente las deformaciones ɛx, ɛyy ɣxy. Determinar la dilatación y la distorsión correspondiente a una dirección n. Determinar las direcciones y deformaciones principales. Calcular la dilatación para una dirección normal al plano de la chapa, escribir el tensor deformación y determinar analíticamente las tensiones principales n2 n3 n1   ϕ2 ϕ1 ϕ3 x O Veamos como calcular el estado tensional y de deformación de un elemento a través de la medición de las deformaciones que se producen en su superficie... Datos: n1= -33x10-3; n2= 29x10-3; n3= 19x10-3;  =  = 30º; n= 50°;  = 0,3; E = 200.000 kg/cm2

3. Determinar analíticamente las deformaciones ɛx, ɛy y ɣxy. Para un estado de deformaciones, la deformación específica ɛen una dirección “”en función de las deformaciones específicas ɛxy ɛyen las direcciones “x” e “y”; y la distorsión ɣxyen el plano “xy” respectivo, será: y Resolución ó  = 90° -  donde: …y además: x  Por lo tanto, planteando esta expresión para ϕ1; ϕ2; y ϕ3 resulta, siendo: …sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas ɛx, ɛyy ɣxy:

4. Reemplazando valores y resolviendo resulta: Determinar la dilatación y la distorsión correspondiente a una dirección n=50º Conocidos los valores de ɛx , ɛyy ɣxypodemos calcular los valores de ɛ50°y ɣ50° : Determinar las direcciones y deformaciones principales Si variamos el valor de variarán los valores de ɛy ɣ ; veamos para que valores de ; ɛalcanza valores máximos y mínimos. Para ello derivamos la expresión de ɛrespecto de  y la igualamos a 0 (cero):

5. Existen dos valores de que difieren en π/2 y que satisfacen la ecuación, que corresponden a las dos direcciones principales de deformación: …y las expresiones que dan los valores de las deformaciones específicas principales son:

6. Calcular la dilatación para una dirección normal al plano de la chapa, escribir el tensor deformación y determinar analíticamente las tensiones principales: Para calcular la dilatación en la dirección normal al plano de la chapa recordamos la Ley Generalizada de Hooke cuyas expresiones son: X …y siendo un estado plano de tensión se verifica que: z = zy = yz = zx = xz = 0 ; y el sistema queda: X X …un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: x ; y ; ɛz; y resolviendo se tiene:

7. …siendo: z = zy = yz = zx = xz = 0 ; y x≠ 0; y ≠ 0; xy = yx≠ 0 y considerando que: …y además …el tensor de deformaciones será:

8. …para calcular las tensiones principales calculemos los invariante de tensión: …y por lo tanto: X

9. Bibliografía Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

10. Muchas Gracias