TEÓRICA - Estados elásticos bidimensionales (Circunferencia de Deformaciones)

1. Fundamento de la Resistencia de MaterialesCircunferencia de Deformaciones Curso de Introducción a la Mecánica del Sólido Deformable Ing. Gabriel Pujol Para la carrera de Ingeniería Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Circunferencia de Deformaciones La similitud de expresiones entre y por una parte, y con por la otra (gracias a la Ley de Hooke), hace que, análogamente a lo visto para el estado elástico plano, el estado de deformación plano pueda ser representado gráficamente mediante una circunferencia análoga a la de tensiones y que designaremos como circunferencia de deformaciones. Su construcción es similar a la circunferencia de tensiones de tensiones, con la única diferencia que en la circunferencia de deformaciones, en lugar de llevar como ordenadas los valores de ; se llevan los valores . Para el trazado de la circunferencia de deformaciones es necesario establecer una convención de signos para las deformaciones específicas y para las distorsiones. yx (En lo que sigue supondremos como positivas las primeras, cuando signifiquen un aumento de longitud, y como negativas las opuestas, mientras que admitiremos como positivas las distorsiones que correspondan a una disminución del valor del ángulo de 90° que formen dos caras orientadas según los ejes x e y.)

3. Estados Planos de Deformación (Circunferencia de Deformaciones) • Datos: • x = -115x10-3 • y = 29x10-3 • xy = -60x10-3 • n = 50º • = 0,3 • E = 200.000 kg/cm2 • Para el estado de deformación dado es de nuestro interés construir la circunferencia de deformaciones y mediante ella determinar: • Las deformaciones y direcciones principales (e1 ; e2 ; a1 ; a2) • La dilatación y la distorsión correspondiente a una dirección dada (an) • Convertir la circunferencia de deformaciones en circunferencia de tensiones y con ella calcular las tensiones principales y el estado tensional para el plano definido por (an) Veamos pasa a paso la construcción de la Circunferencia de Deformaciones

4. g/2 • Determino el punto Bde coordenadas (ey;gyx/2) • Determino el punto Ade coordenadas (ex;gxy/2) • UnoAconBy determino el centro Cde la circunferencia • Con centro Cy radio ACtrazo la circunferencia. ex = -115 e ey= 29 gyx/2 = 30 gxy/2 = -30 (centro de la circunferencia) (radio de la circunferencia) B A C Lasdeformaciones específicas (e)y la distorsión “xy” (gxy) se grafican con su signo. La distorsión “yx” (gyx)se grafica con signo contrario a la distorsión “xy”.Los ángulos se miden a partir de la traza del eje de referencia“x”ensentido horario. Procedemos al trazado del círculo de deformaciones (sobre un par de ejes ortogonales [ ; /2]) Escala de deformaciones 1 = 1x10-3

5. g/2 • Los puntos en que la circunferencia corta al eje e determinan las deformaciones principales e1y e2; puntos (DyE) • Las direcciones principales las obtenemos uniendo el polo Pcon los puntos DyE.Medimos los ángulos a1y a2. • Mido los valores: • a1= 11° 18’ 36” • a2 = 101° 18’ 36” gyx/2 = 30 ex = -115 e ey= 29 a2 gxy/2 = -30 D (e1 = 35) E (e2 = -121) a1 B P traza eje x traza eje y C A Defino el polo P, para ello trazo por A(un punto de la traza del eje “x”) una //ae, y por B(un punto de la traza del eje “y”) una // ag/2. Procedemos a determinar el polo P, las deformaciones principales y las direcciones principales Escala de deformaciones 1 = 1x10-3

6. g/2 • Las coordenadas del punto Fson (e50°;g50°/2) • Mido los valores: • e50°= -60x10-3 • g50°/2 = 76x10-3 g50°/2= 76 e50° = -60 e C a2 D (e1 = 35) E (e2 = -121) a1 B P •  g50°= 152x10-3 F traza eje y traza eje x A a50° • Para determinar la dilatacióny la distorsióncorrespondiente a una dirección dada (an= 50°)trazamos por el polo Puna recta que, con la dirección de la traza del eje x,forme un ángulo de 50°(medido en sentido horario). Defino el punto F. Procedemos a determinar la dilatacióny la distorsiónpara una dirección an=50° Escala de deformaciones 1 = 1x10-3

7. Cambio de la Circunferencia de Deformaciones a la de Tensiones Sea la expresión (de la ley generalizada de Hooke) de la deformación específica x : si sumamos y restamos resulta: recordando que: y siendo y siendo resulta: Veamos el siguiente desarrollo análogamente será:

8. Cambio de la Circunferencia de Deformaciones a la de Tensiones Planteamos a continuación la suma miembro a miembro de las ecuaciones que definen x;yyz: Operando convenientemente, se tiene: siendo:

9. Cambio de la Circunferencia de Deformaciones a la de Tensiones reemplazando J1en (1); operando y despejando x, se tiene: y análogamente será:

10. Cambio de la Circunferencia de Deformaciones a la de Tensiones • …para las distorsiones puras, la Ley de Hooke tiene la siguiente expresión: …y generalizando, se tiene: donde: cambio de escala entre tensiones y deformaciones corrimiento horizontal del eje de ordenadas

11. Cambio de la Circunferencia de Deformaciones a la de Tensiones y siendo: t [kg/cm2] (cambio de escala del diagrama)  [kg/cm2] - + l (desplazamiento del eje de ordenadas) Sea la siguiente circunferencia de deformaciones y las tensiones serán: l

12. Bibliografía Recomendada(en orden alfabético) Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de las estructuras – Miguel Cervera Ruiz/ Elena Blanco Díaz Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

13. Muchas Gracias