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TEu00d3RICA - RESISTENCIA DE MATERIALES
E N D
Fundamento de la Resistencia de MaterialesEstados elásticos bidimensionales Curso de Introducción a la Mecánica del Sólido Deformable Ing. Gabriel Pujol Para la carrera de Ingeniería Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires
Estados elásticos bidimensionales La realidad física en que nos desenvolvemos es tridimensional, y todos los problemas de mecánica de sólidos son, en rigor, tridimensionales. No obstante, en muchas ocasiones es posible obtener una solución aproximada, útil desde el punto de vista práctico, en función solamente de las componentes de desplazamiento en un plano, digamos u1y u2, y de las correspondientes componentes de deformación, (εx, εyy γxy), y de tensión, (σx, σy y xy). Nota: Tradicionalmente se coloca el eje z de tal forma que dicha coordenada se elimina y aparece un problema plano en (x,y). Cuando esto es posible, tenemos como primera ventaja la simplificación operativa en la resolución del problema que corresponde a la reducción del número de dimensiones del mismo. Como segunda ventaja, encontraremos que es posible aplicar ciertas técnicas particulares de solución, válidas sólo para problemas bidimensionales. Estas técnicas son por una parte la basada en la "Función de Airy", que estudiaremos más adelante.
Estados elásticos bidimensionales Existe una gran variedad de estructuras de interés práctico dentro de la ingeniería en las que se puede hacer uso de las hipótesis de la elasticidad bidimensional. Dichas estructuras se caracterizan por tener todas unas formas aproximadas de prisma recto. No obstante, según la proporción que guarden las dimensiones de dicho prisma, y la disposición de las cargas, pueden clasificarse en uno de los dos tipos siguientes: • Problemas de tensión plana. Se dice que una estructura prismática está en estado de tensión plana si una de sus dimensiones (espesor) es mucho menor que las otras dos, y sobre ella actúan únicamente cargas contenidas en su plano medio.
Estados elásticos bidimensionales Existe una gran variedad de estructuras de interés práctico dentro de la ingeniería en las que se puede hacer uso de las hipótesis de la elasticidad bidimensional. Dichas estructuras se caracterizan por tener todas unas formas aproximadas de prisma recto. No obstante, según la proporción que guarden las dimensiones de dicho prisma, y la disposición de las cargas, pueden clasificarse en uno de los dos tipos siguientes: • Problemas de deformación plana. Una estructura prismática está en estado de deformación plana si una de sus dimensiones (longitud) es mucho mayor que las otras dos, y sobre ella actúan únicamente cargas uniformemente distribuidas a lo largo de toda su longitud y contenidas en planos ortogonales al eje que une los centros de gravedad de sus distintas secciones transversales.
Tensión Plana Dado un cuerpo plano y fino en el cual no existen fuerzas actuando en las caras planas, podemos suponer que se encuentra bajo tensión plana generalizada. Las caras se encuentran libres de esfuerzos. Sin embargo, en el interior pueden que existan esfuerzos en la dirección plana. Lo que ocurre es que, por simetría y el bajo espesor del sólido, al hacer una media de los esfuerzos en la dirección plana obtenemos un valor nulo, y lo aplicamos en todo el espesor. Este tipo de consideración puede emplearse para estudiar el comportamiento de una chapa o un contrafuerte por ejemplo.
Tensión Plana Sea un cuerpo prismático con forma de lámina de espesor despreciable frente a las otras dos dimensiones por lo que su superficie coordenada coincide el plano medio. Supongamos al cuerpo cargado en su borde con fuerzas que, en general, deben ser simétricas respecto del plano medio: También pueden actuar fuerzas de volumen que tampoco tienen componentes según el eje que supondremos constante en el espesor. Supondremos además descargadas las superficies laterales:
Tensión Plana Aplicando las ecuaciones de equilibrio en la superficie para las caras laterales tendremos que: …de dónde se deduce: …es decir que, para las caras laterales, las tensiones con un subíndice son nulas. Nota 1: Para o , la distribución en el espesor debe ser antimétrica por razones de simetría y se tiene que anular en la sección media puesto que este es el plano de simetría del cuerpo. (nosotros vamos a suponer que esas tensiones son nulas, lo cual implica que la solución que obtengamos será de carácter aproximado y tanto más exacta cuanto más pequeño sea el espesor ) Nota 2: Para , tenemos que en el centro del espesor la tensión será pero la derivada y además .
Tensión Plana …con estas consideraciones, si el espesor es pequeño, no puede tomar valores muy grandes en el centro, por lo que vamos a decir que, un estado es (Estado Plano de Tensión) cuando: Las ecuaciones de equilibrio en la superficie aplicadas en un punto del contorno para los cuales , se reducen a: …además, mediante la Ley de Hooke, podemos relacionar las tensiones con las deformaciones: …y siendo resultan
Tensión Plana …y nuestros tensores serán:
Deformación Plana Dado un cuerpo relativamente largo y con infinitos planos de simetría entre las secciones de su longitud, podemos suponer que ninguna componente de los tensores depende de la variable longitudinal y que las deformaciones en dirección del eje son nulas. Esta simplificación se puede usar en el caso de estudiar el comportamiento de una viga de gran altura o de un túnel por ejemplo.
Deformación Plana Decimos que en un sólido tenemos un (Estado Plano de Deformación) cuando: …y dado que , los puntos de una sección cualquiera normal al eje , se desplazan en su propio plano y no sufren desplazamientos en la dirección normal al mismo (o sea que todas las secciones se van a deformar del mismo modo), y por lo tanto: …además, mediante la Ley de Hooke, podemos relacionar las tensiones con las deformaciones: …y siendo resultan
Deformación Plana …y nuestros tensores serán:
Representación gráfica de un EPT Tomemos el siguiente ejemplo. Dadas las tensiones correspondientes a los planos x, y, z ortogonales y pasantes por un punto A. Se pide: • Construir la circunferencia de tensiones para el haz de planos cuyo eje sostén tiene la dirección del eje z (estado doble con n = 0) y mediante ella determinar. • Magnitud y dirección de las tensiones principales. • Las componentes de tensión en un plano del haz que forma un ángulo = 60° con el eje “y” (sentido horario). Datos: x= 530 kg/cm2 ; y= -610 kg/cm2 ; xy= 60 kg/cm2 ; zx= zy= 0; = 60º (respecto del eje y) Veamos ahora una forma gráfica de resolver los EPTpor medio del trazado de una circunferencia de tensiones:
Ángulo = 60° respecto del eje “y” (sentido horario). y Consideraciones preliminares a = 60° …es equivalente a tomar un ángulo = 30° respecto del eje “x” en sentido anti horario. x b = 30° Al ser un método gráfico, la circunferencia de tensiones requiere que se fije una escala de magnitudes para poder trazarla, en este caso de tensiones. Los valores que se midan del gráfico una vez trazado deberán ser afectados por dicha escala para obtener los valores correspondientes.
Convención En un estado planorepresentado por un elemento de superficie contenido en el plano x-y definimos: Par de ejes principales de inercia (1 - 2), ubicados respecto de los ejes coordenados (x – y) rotando la terna un ángulo medido en sentido anti horario y I y’ Consideraciones preliminares II x’ Par de ejes genéricos (x’ – y’),ubicados respecto de los ejes coordenados (x – y) rotando la terna unángulo medido en sentido anti horario sy sx q x b Las tensiones(consideradas positivas) que actúan sobre el elemento de superficie son: tyx txy En la circunferencia de tensiones graficaremos las tensiones normales ()con su signo, y las tangenciales ()las graficaremos como positivas si generan respecto al baricentro de la superficie elemental giros horarios y negativas si generan giros anti horarios. +
Construimos la circunferencia de tensiones Se ubica el centro“C” de la circunferencia a una distancia respecto del origen de coordenadas “O” igual a: B (-610; 60) O C A (530; -60) Se ubican los puntos “A”de coordenadas (x; xy) y“B” (y; yx) de acuerdo a la convención adoptada A -C-Bes diámetro de la circunferencia de Mohr. Se establece un sistema coordenado tal que las abscisas representan las tensiones normales, siendo positivo hacia la derecha y las ordenadas representan las tensiones tangenciales, siendo positivas hacia arriba
Definimos el polo “P”de la Circunferencia de Mohr, para ello: Trazamos por Auna paralela a la dirección de x. Trazamos por Buna paralela a la dirección de y. Ambas rectas se cortan sobre la circunferencia definiendo el polo “P” B (-610; 60) s3 -613 [kg/cm2] P O s1 533 [kg/cm2] s2 = 0 C A (530; -60) P-Aserá la traza de referencia del eje “x” y P- Bserá la traza de referencia del eje “y” para medir ángulos En los estados planos de tensión una de las tensiones principales es i = 0; las otras dos tensiones serán los puntos en los que la circunferencia de Mohr corta al eje de abscisas.
Las direcciones principales las obtenemos uniendo el polo “P”con 1 y 3 II Dónde la recta corta a la circunferencia de Mohrobtenemos el punto “D”que define al estado tensional para el plano que forma un ángulo= 60º respecto del eje “y” (o = 30° respecto del eje “x”) D B (-610; 60) s3 -613 [kg/cm2] P 30° 510 [kg/cm2] O s1 533 [kg/cm2] s2 = 0 C A (530; -60) = 30° 30° 572 [kg/cm2] I qI 3° qII 93° s30° 260 [kg/cm2] Las tensiones yque actúan sobre un plano definido por el ángulo= 60º respecto del eje “y” (o = 30° respecto del eje “x”), se determina trazando desde el polo Puna recta con una inclinación definida por (o )
De esta forma los ángulos medidos son el doblede los medidos a partir delpolo “P” II 2 = 60° B D P O C A = 30° 2qI 6° I 2qII 186° qI 3° y x qII 93° …y las restantes familias de circunferencias serán: Nota: también podemos medir los ángulos a partir del centro de la circunferencia “C” considerando que las trazas de referencia de los ejes“x”e“y” son las siguientes:
Bibliografía Recomendada(en orden alfabético) Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de las estructuras – Miguel Cervera Ruiz/ Elena Blanco Díaz Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko
