TEÓRICA - Fundamentos de la Resistencia de Materiales - Estados de Deformación

1. Fundamento de la Resistencia de MaterialesEstados de Deformación Curso de Introducción a la Mecánica del Sólido Deformable Ing. Gabriel Pujol Para la carrera de Ingeniería Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Concepto de deformación • Consideremos un cuerpo cualquiera sometido a la acción de fuerzas aplicadas, y con vínculos suficientes como para impedirle movimientos de sólido rígido. • Dado que no existe material alguno que sea infinitamente rígido, la acción de las fuerzas se traduce en que el cuerpo se deforma. Supondremos en lo que sigue que el cuerpo se comporta de forma suficientemente rígida como para que los movimientos que se producen en el proceso de deformación sean pequeños comparados con las dimensiones del cuerpo (principio de rigidez). • La deformación de un elemento diferencial de volumen de dimensiones (dx, dy, dz), puede descomponerse en tres partes: rotación y traslación (movimientos de sólido rígido) y deformación pura (cambio de forma). Nos ocuparemos en este apartado de la deformación pura únicamente.

3. Concepto de deformación • Los lados del paralelepípedo elemental modifican sus longitudes iniciales dx, dy, dzde manera que las proyecciones de las nuevas longitudes sobre los tres ejes de referencia pasan a valer (1 + x) dx, (1 + y) dy, (1 + z) dz, respectivamente. Asimismo, las proyecciones de los ángulos rectos que forman entre sí las caras del elemento antes de la deformación varían para pasar a valer (expresadas en radianes), (/2  xy), (/2  xz),(/2  yz). Se llaman alargamientos unitarios o deformaciones lineales a los valores x, y, zy distorsiones o deformaciones angulares a los valores xy, xz, yz. Debido al principio de rigidez, tanto las deformaciones lineales como las angulares son pequeñas, comparadas con la unidad. Se consideran positivas las deformaciones lineales de alargamiento y negativas las de acortamiento. Asimismo, se consideran positivas las deformaciones angulares que originan disminución de los ángulos rectos formados por los planos correspondientes a los ejes de referencia, y negativas las que originan aumento de dichos ángulos.

4. Concepto de deformación • Experimentalmente, se observa que, en los materiales mecánicamente isótropos, las tensiones normales dan lugar a alargamientos, mientras que las tensiones tangenciales provocan distorsiones.

5. Tensor de deformaciones • Consideremos un elemento unitario , de cosenos directores (l, m, n). Se define como deformación , del elemento al desplazamiento del punto D, originado por la deformación del paralelepípedo elemental que tenga a por diagonal, (prescindiendo de rotaciones y traslaciones de sólido rígido). Calculamos a continuación las componentes cartesianas del vector , o sea (x, y, z). • Para ello, sumamos las componentes del desplazamiento del punto D debidas a los alargamientos unitarios y a las distorsiones

6. Tensor de deformaciones • o matricialmente: …donde y n son los vectores de deformación y el elemento unitario, definidos anteriormente, y D es el tensor de deformaciones que es igual a: El tensor de deformaciones es simétrico, al haber prescindido en su construcción de las rotaciones de sólido rígido. Conocidas las componentes del estado de deformación de un punto (tensor de deformaciones) y los cosenos directores de un elemento lineal cualquiera, se puede conocer la deformación de dicho elemento.

7. Tensor de deformaciones De forma análoga a como hicimos con las tensiones, la deformación longitudinal  del elemento unitario se obtiene proyectando sobre el vector : …y la distorsión  podremos obtenerla a partir de la siguiente expresión:

8. Elasticidad y linealidad. Ley de Hooke Todo cuerpo se deforma bajo la acción de las fuerzas aplicadas, y al cesar éstas, el cuerpo tiende a recuperar su forma primitiva. Esta tendencia que, en mayor o menor grado, tienen todos los cuerpos se denomina elasticidad. En realidad, los cuerpos no son ni perfectamente elásticos ni perfectamente inelásticos. Las deformaciones que en ellos se producen constan de una parte de deformación elástica, que desaparece al cesar las fuerzas aplicadas, y una parte de deformación permanente, que se mantiene posteriormente. Consideremos un experimento sencillo: se monta una viga biapoyaday se mide el desplazamiento vertical de un cierto punto A de la misma producido por una fuerza P aplicada en otro punto B de dicha viga. La fuerza Pse aumenta de forma gradual hasta un cierto valor y se dibuja la curva P — obtenida

9. Elasticidad y linealidad. Ley de Hooke Si ahora descargamos la viga de forma gradual y dibujamos también la curva P— en descarga, observaremos que para valores máximos de Pmenores que cierto valor límite Pe, llamado límite elástico, las ramas de carga y descarga coinciden, no hay deformación permanente, y por lo tanto, el comportamiento es elástico. Si la carga Pexcede el límite elástico, la rama de descarga se separa de la de carga, se producen deformaciones permanentes y se dice que el comportamiento no es perfectamente elástico. En el mismo experimento observaremos que existe otro valor límite Pp, menor que Pe(y, normalmente, próximo a éste), llamado límite de proporcionalidad, tal que para cargas menores que éste los desplazamientos son proporcionales a las fuerzas que los originan. *establecido por Robert Hooke en 1678 en su trabajo ”De PotentiaRestitutiva (of Springs)” Este enunciado define el comportamiento elástico lineal y se conoce como Ley de Hooke* P

10. Elasticidad y linealidad. Principio de superposición Si se cumple la ley de Hooke y se supone que los desplazamientos producidos por las fuerzas actuantes son muy pequeños en relación a las dimensiones del cuerpo (de tal manera que se pueda considerar que éste mantiene la forma y dimensiones originales), entonces puede aplicarse el Principio de Superposición o Principio de Linealidad. Este Principio establece que los efectos que: “Un sistema de fuerzas aplicadas origina en un cuerpo son iguales a la suma de los efectos que originan esas mismas fuerzas actuando por separado”. Así, si sobre un cuerpo actúa un sistema formado por tres fuerzas P1, P2y P3, el Principio de Superposición establece que la componente u del desplazamiento de un punto interior 0, según una cierta dirección de referencia, será: …donde u1, u2y u3 son los valores que toma el correspondiente desplazamiento cuando actúan P1, P2y P3 solas, respectivamente. Si la ley de Hooke es aplicable, será:

11. Elasticidad y linealidad. Principio de superposición En virtud de las propiedades conmutativa y asociativa de la suma, resulta claro que el enunciado del Principio de Superposición es equivalente a establecer que: ”los efectos que un sistema de fuerzas aplicadas origina en un cuerpo son independientes del orden de aplicación de las fuerzas”. Matemáticamente, el Principio de Superposición establece que la relación acción-respuesta es lineal, y tiene, por tanto, las propiedades de las funciones lineales.

12. Elasticidad y linealidad. Ley de Hooke generalizada Aplicaremos la ley de Hooke, que establece la proporcionalidad entre fuerzas (acciones) y desplazamientos (efectos), a la relación existente entre tensiones y deformaciones actuantes en un punto (los coeficientes de proporcionalidad que aparecen son constantes características del material, y no dependen de la geometría del cuerpo, ya que el estado tensional y de deformación son propios de un punto). Asimismo, admitiremos en todos nuestros desarrollos que los cuerpos son mecánicamente isótropos(sus propiedades mecánicas son iguales en todas las direcciones). Consideremos un elemento diferencial de volumen sobre cuyas caras actúan las correspondientes componentes de tensión y apliquemos el Principio de Superposición. Supongamos primero que sobre el elemento diferencial sólo actúa la componente σx de tensión normal, sobre dos caras opuestas.

13. Elasticidad y linealidad. Ley de Hooke generalizada Experimentalmente se comprueba que, en materiales isótropos, las tensiones normales no producen deformación angular y sólo originan deformaciones lineales según las aristas del paralelepípedo.

14. Elasticidad y linealidad. Ley de Hooke generalizada De acuerdo con la ley de Hooke, estas deformaciones lineales serán proporcionales a las tensiones σxque las producen, es decir:   (donde E es el módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young, una propiedad del material que se determina experimentalmente)   El alargamiento longitudinal unitario va acompañado de contracciones , laterales unitarias, proporcionales a ( es un coeficiente de proporcionalidad adimensional llamado coeficiente de Poisson(que es una constante física del material). En el acero el valor de  es igual a 0,3y en el hormigón vale entre 0,15y 0,20)

15. Elasticidad y linealidad. Ley de Hooke generalizada De forma análoga, la actuación de la componente normal de tensión σyproduce unas deformaciones longitudinales y transversales de valor:  …y la actuación de la componente normal de tensión σzproduce unas deformaciones:  Aplicando el principio de superposición, la deformación lineal según el eje x debida a la acción conjunta de las tensiones normales σx, σy, σz será x = x1 + x2 + x3. Análogamente ocurrirá para las deformaciones lineales yyz. Por lo tanto, se tiene: (1)

16. Elasticidad y linealidad. Ley de Hooke generalizada Consideremos ahora las deformaciones que las componentes tangenciales de la tensión producen en el paralelepípedo elemental. Experimentalmente se comprueba que, en un material mecánicamente isótropo, la actuación de cada uno de los pares de tensiones tangenciales recíprocos (esto es, xyy yx, yzy zy , xzy zx) produce una deformación angular (xy, xz, yz, respectivamente) que transforma dicho paralelepípedo recto en uno oblicuo. Según la ley de Hooke, las distorsiones producidas serán proporcionales a la tensión tangencial actuante: Estos dos conjuntos de ecuaciones constituyen la expresión analítica de la ley de Hooke generalizada para un material isótropo. • (dondeG es una constante física del material que se llama módulo de elasticidad transversal o módulo de rigidez a cortante) (2)

17. La ley de Hooke y las constantes La denominada "ley de Hooke" constituye la base de la Resistencia de Materiales y es válida dentro de lo que se denomina régimen elástico. La ley de Hooke establece una relación lineal entre tensiones y deformaciones, y su expresión, para deformaciones específicas lineales es: La constante Ese denomina módulo de Young o módulo de elasticidad longitudinal y puede interpretarse como el valor de la tensión normal que da origen a una deformación específica unitaria. Cuando se trata de distorsiones puras, la ley de Hooke tiene una expresión similar que en este caso vincula las tensiones tangenciales con las distorsiones en la forma siguiente: La constante G, se denomina módulo de elasticidad transversal y puede ser imaginado como el valor de la tensión tangencial que origina una distorsión unitaria. Toda deformación específica en una determinada dirección provoca otra de signo contrario en las direcciones normales. A la relación entre la deformación transversal y la longitudinal se la denomina coeficiente de Poissony se la designa con , es decir:

18. Deformación volumétrica (cúbica o espacial) Sea el cubo elemental de la figura de aristas de longitud unitaria, perteneciente a un sólido sujeto a un estado triple de tensión y sujeto a deformaciones que modifican su volumen. El aumento de longitud de las aristas (por tratarse de longitudes unitarias), corresponde directamente a las deformaciones específicas x, y, z . Si V = 1 es el volumen inicial del cubo elemental, el nuevo volumen (V’), luego de la deformación, será: …y el incremento de volumen: ( ) …o bien: Teniendo ahora en cuenta que los productos de dos o tres deformaciones específicas son despreciables con relación a una de ellas (por tratarse de infinitésimos de orden superior), resulta:  0 …y dividiendo por V = 1, es: (3) …primer invariante del tensor deformación 

19. Relación entre E, G y  Estableceremos a continuación una relación funcional que vincule entre sí las tres primeras constantes elásticas: E, Gy  . Para ello supongamos un estado plano de resbalamiento puro, (donde en dos caras ortogonales sólo existen tensiones normales)σx, σytales que: (4) Imaginemos ahora un prisma cuadrado de espesor unitario ABCDcuyas semidiagonalestengan una longitud unitaria, y orientadas sus caras a 45° con las direcciones x e y es decir: 1 Sobre estas caras, como sabemos, actuarán tensiones tangenciales de valor:

20. Relación entre E, G y  Como consecuencia de las tensiones normales σx, σy, el prisma se deforma y sus lados pasan a ocupar la posición A'B'C'D'. El corrimiento del punto A, (por ser unitaria), será x, el del punto Cserá y por razones análogas. La variación angular del ángulo será precisamente la distorsión (  )y se tendrá: …además resulta: …pero: (por ser muy pequeño), entonces: (5)

21. Relación entre E, G y  Pero de acuerdo a las ecuaciones (1)(considerando z = 0). …y teniendo en cuenta la (3) : …en nuestro caso x < 0 < yy para que la (5) se satisfaga, debe ser: …y como y resulta: …y finalmente: (5)

22. Módulo de elasticidad volumétrico Supongamos un cubo elemental de aristas unitarias, pertenecientes a un sólido sujeto a un estado elástico hidrostático: (6) Esta presión hidrostática porigina una deformación que por su naturaleza es volumétrica. Por analogía con la ley de Hooke podemos escribir: …donde Kes la constante elástica que se designa con el nombre de módulo de elasticidad volumétrico. …y reemplazando en la (3) las deformaciones específicas dadas por las expresiones (1) llegamos a: …o bien: …y recordando que: …y que en función de (6) podemos escribir como: …se tiene: …y finalmente resulta: (módulo de elasticidad volumétrico)

23. Módulo de elasticidad volumétrico Es evidente que Kno puede alcanzar nunca un valor infinito pues significaría la existencia de materiales absolutamente rígidos e indeformables, lo que es contrario a la naturaleza. …por lo que si 0 < K < deberá ser: …es decir: Hemos llegado así a una conclusión interesante: el coeficiente de Poissondebe necesariamente ser menor de 0,5. (módulo de elasticidad volumétrico)

24. Los valores de la constantes elásticas De las cuatro constantes elásticas E, G,  y K la de más fácil determinación es la primera. Para las restantes es posible conocer su valor en función de los correspondientes a los valores de E y G sobre la base de las relaciones que las vinculan.

25. Bibliografía Recomendada(en orden alfabético) Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de las estructuras – Miguel Cervera Ruiz/ Elena Blanco Díaz Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

26. Muchas Gracias