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TEu00d3RICA - RESISTENCIA DE MATERIALES
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Solicitación Axil Presentación del Tema Curso de Introducción a la Mecánica del Sólido Deformable Ing. Gabriel Pujol Para la carrera de Ingeniería Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires
Planteo del Problema La solicitación axil corresponde al caso en que al reducir las fuerzas que actúan a un lado de la sección, sólo existe una resultante de reducción normal al plano de aquélla, y que esta circunstancia se repite para todas las secciones del sólido. Si las fuerzas están dirigidas hacia las secciones la solicitación es compresión simple (figura a) y si ambas se alejan es por tracción(figura b). Para una sección cualquiera s-s(figura a), la resultante de las fuerzas de un lado de la sección es siempre P y por coincidir su recta de acción con el eje de la pieza resultará normal a aquella y pasará por su baricentro, En consecuencia, para todas las secciones resulta N = P.
Planteo del Problema Alno existir ni momento flexor, ni momento torsor ni tampoco esfuerzo de corte, resultan: Q = Mf = Mt= 0 y en consecuencia, las ecuaciones de equivalencia se transforman en las siguientes: …de estas seis ecuaciones sólo interesa la primera, que es la que nos conducirá a la resolución del problema tensional. Las cinco restantes resultan ser idénticamente nulas para el caso de solicitación axil.
Resolución del Problema La hipótesis fundamental en que nos apoyaremos es la proporcionalidad entre tensiones y deformaciones, es decir, la ley de Hooke. En segundo lugar admitiremos que una sección normal se mantiene plana y paralela a sí misma luego de la deformación experimentada por la pieza, (lo que ha sido verificado experimentalmente en elementos solicitados por tracción o compresión simple, para secciones alejadas de los extremos, de acuerdo con el principio de Saint Venant). Si la sección se mantiene plana y paralela a sí misma, los elementos infinitésimos de su volumen no pueden sufrir distorsiones ( = 0 xy = xz = 0) o, de existir éstas, deben ser constantes ( = cte xy = xz= cte) y del mismo signo para todos los elementos superficiales. "Si se reemplazan las fuerzas que actúan sobre una zona reducida de la superficie de un sólido elástico por otro sistema estáticamente equivalente actuando en la misma zona, este cambio origina una modificación substancial del estado de tensión local, pero no influye en el estado de tensión en secciones ubicadas a una distancia que, en comparación con las dimensiones lineales de la zona de carga, sea grande“ (Saint Venant) …pero …lo que hace que la segunda, tercera y cuarta de las ecuaciones de equivalencia resulten idénticamente nulas.
Resolución del Problema Consideremos dos secciones s-sy s‘-s‘ separadas de una distancia l antes de la deformación originada por la fuerza normal P. Si suponemos la sección s-sse mantiene fija, la sección s‘-s‘ se desplazará paralelamente a sí misma de una longitud lpasando a ocupar la posición s"-s". …y una fibra cualquiera como ser la a-a, experimentará una deformación específica: Ahora bien, todas las fibras de la sección, cuyas longitudes origina. les eran l, experimentan el mismo aumento de longitud ly en consecuencia resulta: (Ecuación fundamental de la solicitación Axil) …y en consecuencia: …lo que hace que la quinta y sexta de las ecuaciones de equivalencia resulten: Las integrales anteriores corresponden a los momentos estáticos del área de la sección con respecto a los ejes yyz respectivamente, momentos estáticos que son nulos por ser los ejes mencionados, baricéntricos.
Las deformaciones en la solicitación axil La determinación del alargamiento total que experimenta una barra de eje rectilíneo solicitada axialmente, se efectúa combinando la expresión del alargamiento específicocon la correspondiente a la ley Hooke. …y como la Ecuación fundamental de la solicitación Axil expresa que: …reemplazando y despejando resulta: (longitudinal) (transversal) …y por consiguiente las deformaciones específicas serán:
Trabajo y energía de deformación en la solicitación axil • La energía de deformación depende de las características de la curva carga-deformación del cuerpo. Así, por ejemplo, en la figura, el área sombreada nos representa la energía de deformación de un cuerpo con comportamiento elástico lineal. • Si la carga P se aplica gradualmente y por lo tanto la deformación aumenta gradualmente. El trabajo desarrollado por la fuerza P es:
Trabajo y energía de deformación en la solicitación axil • Considérese la barra mostrada en la figura, la cual tiene su área transversal constante. • La aplicación gradual de la carga normal (N) produce la deformación (). En la longitud dx el trabajo interno (dw) efectuado es: • pero: y el trabajo total (W) en la longitud(L) será: y debido a que el trabajo efectuado es igual a la energía interna de deformación, entonces:
Tensiones normal y tangencial para un plano cualquiera Hemos definido el estado elástico simple como aquel estado para el cual la tensión resultante se mantenía paralela a una dirección determinada, o también aquel para el cual dos de las tensiones principales se anulaban. …y en consecuencia: …de donde: Si (tracción pura), si (compresión pura) . …y haciendo coincidir la dirección l con el eje x tenemos:
Tensiones normal y tangencial para un plano cualquiera Para otro plano cualquiera, que forma un ángulo con el plano considerado, las tensiones y tienen por resultante una tensión que llamaremos y que coincide en dirección con x. …derivando respecto de e igualando a cero: (supondremos = x > 0 ) …ecuación que se cumple para 21 = 0 y 21= : …y los valores máximos y mínimos de se obtendrán para 1 = 0 y 1= /2: …en lo que respecta a las tensiones tangenciales, derivando respecto de e igualando a cero se tiene:
Tensiones normal y tangencial para un plano cualquiera …esta expresión se anula para 22= /2y 22= 3/2, o sea 2 = /4y 2 = 3/4 , es decir para los planos que bisecan los planos principales. Los valores depara los mismos son: Veamos ahora, la ecuación representa una circunferencia en coordenadas polares. Podemos representar dicha circunferencia llevando a partir de O sobre el eje el diámetro . Definimos el centro de la circunferencia y procedemos a trazarla.
Tensiones normal y tangencial para un plano cualquiera Sea la paralela a la traza de un plano que forma un ángulo con el plano principal 1. Dicha paralela define sobre la circunferencia el punto T. Por razones geométricas: y . …en consecuencia: …de donde: Circunferencia de Mohr para el estado de tracción pura. …y por comparación:
Bibliografía Recomendada(en orden alfabético) Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de las estructuras – Miguel Cervera Ruiz/ Elena Blanco Díaz Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko
