TEÓRICA - Solicitación por Flexión Compuesta - Presentación del Tema

1. Solicitación por Flexión Compuesta Presentación del Tema Curso de Introducción a la Mecánica del Sólido Deformable Ing. Gabriel Pujol Para la carrera de Ingeniería Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Planteo del Problema Se define la flexión compuesta como aquella solicitación para la cual actúa sobre la sección una fuerza normal excéntrica. La reducción de esta fuerza normal al baricentro origina un par de reducción, de modo que también es posible definir la flexión compuesta como la solicitación constituida por un par flexor (de reducción) y un esfuerzo axil (baricéntrico). Cuando se considera que la flexión compuesta es debida a un par y a una solicitación axil, es posible resolver el problema por superposición de efectos. En cambio, si partimos de considerar una fuerza excéntrica, el camino a seguir consiste en el planteo de las condiciones de equivalencia entre fuerzas exteriores y esfuerzos internos. Veamos este último caso.

3. Planteo del Problema Sea, la sección trasversal en una barra solicitada por una fuerza normal N de compresión cuya recta de acción corta al plano de la sección en un punto C genérico que denominaremos centro de presión. La recta CG determina la línea de fuerzas y la distancia de C al baricentro Gla designaremos excentricidad e. Admitimos la validez de la hipótesis de Bemouilli-Navier y de la ley de Hooke. En consecuencia, la sección girará en tomo a un eje n-nde su plano y tendremos una distribución lineal de las tensiones normales que serán nulas en las fibras en correspondencia con el eje neutro. Consideremos ahora en un punto A un elemento de superficie dF, sobre el que actúa una tensión . Estamos ante dos sistemas de fuerzas paralelas en el espacio: uno, el de las infinitas fuerzas elementales , y el otro por la solicitación exterior N, sistemas que deben ser equivalentes.

4. Planteo del Problema Su equivalencia la expresaremos mediante una condición de igualdad de proyecciones sobre un eje normal a la sección y dos condiciones de igualdad de momentos respecto a los ejes neutro y línea de fuerzas, por cuanto las tres condiciones restantes conducen a ecuaciones idénticamente nulas al no existir tensiones . (1) SI g-g es el eje baricéntrico paralelo a la dirección del eje neutro y llamamos a la tensión en las fibras ubicadas en correspondencia con el mismo, tendremos: (2) …y si tenemos en cuanta que y son valores constantes distintos de cero tendremos: (3) (expresión que se obtiene de reemplazar (2) en la tercera ecuación de las (1))

5. Planteo del Problema …es decir:(que representa al momento centrífugo de la sección respecto del eje neutro y de la línea de fuerzas, que al ser nulo establece que ambos ejes tienen direcciones conjugadas). …y reemplazando (2) en la primera de las ecuaciones (1) resulta: (4) Pero, por representar la integral el momento de primer orden de la sección con respecto al eje neutro podemos escribir: (5) …reemplazando y simplificando en (4) será: …que nos dice que la tensión en las fibras situadas sobre la paralela baricéntrica al eje neutro es constante e independiente de la excentricidade.

6. Planteo del Problema …reemplazando ahora (2) en la segunda de las ecuaciones (1) se tiene: …pero: …de donde: (6) …y de acuerdo con el teorema de Steiner: …valor que reemplazado en (6) nos da: (7) …reemplazando , y simplificando es: …y siendo:

7. Planteo del Problema …o también: (8) …y si ahora reemplazamos en (7) y resulta: …o también: …que nos dice que el radio de giro de la sección respecto de la paralela baricéntrica al eje neutro es media proporcional entre la distancia del centro de presión al baricentro y de este al eje neutro …y reemplazando en el segundo miembro de la (8) resulta: …o también:

8. Planteo del Problema …y siendo: En esta expresión, tanto N como v' deben introducirse con el signo que les corresponda. Si como en el caso analizado N es de compresión y considerarnos que v' puede ser positiva o negativa, resulta finalmente: …y si hacemos: Las tensiones máximas (positiva y negativa) corresponderán a la fibras más alejadas del eje neutro, es decir para v' = v1' y v' = v2': …expresión que nos dice que la tensión en una fibra determina resulta de superponer dos tensiones parciales y

9. Algunas definiciones …en caso de que esto no sea posible podemos resolver el problema abordándolo como la superposición de efectos de una flexión más una solicitación axil baricéntrica. Veamos como hacerlo. Al punto Adeterminado por la recta de acción de la fuerza P y el plano que contiene a la sección considerada SS lo denominaremoscentro de presión …la utilización de las fórmulas hasta aquí vistas, exige el conocimiento previo de la dirección del eje neutro, es decir, del ángulo que forma con la línea de fuerzas… Recordemos: Baricentro de la sección G A la línea LFque une al baricentro G de la sección considerada con el punto Ala denominaremoslínea de fuerzas

10. Si A está situado sobre un eje principal de inercia de la sección, [eje x(a)], la barra está sometida a flexión compuesta recta (o normal); en caso contrario (c), se presenta la flexión compuesta oblicua. G A

11. G A …veamos el caso de flexión compuesta recta En este caso, el momento de traslación de la fuerza P al baricentro de la sección valdrá:

12. = excentricidad La tensión en cualquier punto de la sección será igual a la suma algebraica de la tensión 1 debida a la fuerza axil P actuando sobre G y a la tensión 2 debida a la flexión originada por el momento M=P. ex . G A

13. Suponiendo una fuerza P = cte, las tensiones 1 también lo serán, pero las tensiones 2 variarán en función de la excentricidad ex

14. Suponiendo una 1 de compresión (negativa) pueden darse los siguientes casos: |1|> |2|; |1| < |2| y|1 |= |2|

15. Si predominara la tensión axil 1, el diagrama de tensión total será trapezoidal Si predominara la tensión de flexión 2, eldiagrama de tensión total será doblemente triangular … y si 1 =2se obtiene un diagrama triangular con vértice en un borde de la sección

16. SiendoP= cte, s1= P / A = cte sieXentoncesM= P . eX si Mentoncess2= [M . x] / JY  si s2entoncess2>>  si s2>> entonces el eje neutro se acerca al baricentro G Si eleje neutro no corta al diagrama de tensiones normales y todas las tensiones tendrán el mismo signo Si el eje neutro es tangente al diagrama de tensiones y todas las tensiones tendrán elmismo signo Sieleje neutro corta al diagrama de tensiones y las tensiones tendrándistinto signo Nota:En todos los supuestos precedentes el punto Nseñala el punto de tensión = 0 y que por consiguiente pertenecerá al eje neutro

17. Siendo P= cte, s1= P / A = cte sieXentoncesM= P . eX si Mentoncess2= [M . x] / JY  si s2entoncess2>>  si s2>> entonces el eje neutro se acerca al baricentro G Analíticamente, su ecuación resulta de hacer: …y como: resulta: de dónde: que es la ecuación deleje neutro, referida al sistema de ejes x-y Elsigno negativo (-)indica que el eje neutro está situado en la región opuesta (respecto del baricentro) a la delcentro de presión (A)

18. En muchos materiales (hormigón, ladrillo, fundición) se impone la necesidad de trabajar con tensiones de compresión, con exclusión de tensiones de tracción. Esta condición exige que: Llamaremos núcleo central al área dentro de la cual debe encontrarse el centro de presión para que la sección sea solicitada únicamente por tensiones de igual signo ≤ 0 En consecuencia, una pieza sometida a flexión compuesta recta, trabajará exclusivamente a compresión, si el centro de presión A, dista del baricentro G, una longitud igual o menor que: …donde ntg: posición del eje neutro tangente al perímetro de la sección

19. Determinaremos en forma gráfica el núcleo central de una sección rectangular

20. n Definimos el punto K intersección de n-ny LF K LF Consideremos a la línea que pasa por ADcomo eje neutro n-n y determinaremos el centro de presión C1 correspondiente Por consiguiente, el Centro de Presión se hallará sobre el eje x-x del lado contrario a la posición de eje neutro n-n respecto de G n El eje x-x (eje baricéntrico normal a n-n) será la línea de fuerzas LF

21. n Trazamos la línea que pasa por Ky porG1 K G1 C1 Calculamos el radio de giroiyy graficamos (en escala de longitudes) el punto G1 tal que GG1 = iy n Trazamos por G1 la normal a la línea KG1 y defino el punto C1

22. n K G1 C1 Los triángulos rectángulos KG1G , G1C1G y KG1C1 son semejantes, por lo que se cumple que: n

23. n K G1 C1 El segmento C1G representa la excentricidad e del centro de presión que hace que el eje neutro n-n sea tangente al lado AD n

24. Núcleo Central Procediendo de forma análoga para los lados AB, BC y CD; podemos determinar los puntos C2, C3 y C4 que definirán el núcleo central

25. Si la carga excéntrica P no incide sobre uno de los ejes principales de inercia, x-x o y-y, de la sección, laflexión compuesta es oblicua Sustituyendo la flexión oblicua por dos flexiones rectas de momentos: La tensión total (s), por el principio de superposición de los efectos, será la suma algebraica de la tensión s1de compresión Paplicada en G, de la tensións2originada por el momentoMX; y de la s3producida por el momento MY: …veamos ahora el caso de flexión compuesta oblicua …y la tensión máxima será: …dónde:

26. …con: Sea: Los momentos de inercia pueden expresarse como: …por lo que la ecuación queda: De ésta se obtiene la ecuación del eje neutro, caracterizado por la condición s = 0: que puede escribirse: …veamos ahora la ecuación del eje neutro Por consiguiente el eje neutro, en la flexión compuesta oblicua, no es paralelo a ninguno de los ejes principales de inercia del perfil ni baricéntrico. …y haciendo sucesivamente x = 0 e y = 0 obtenemos los puntos donde el eje neutro corta a los ejes coordenados:

27. Se tiene una viga existente, de FUNDICIÓN GRIS, simplemente apoyada, de longitud L y sección rectangular de ancho b y altura h, sometida a la acción de una carga uniformente distribuida de intensidadq, que desea incrementarse en un 10%.Sabiendo que el material constitutivo no resiste por igual a compresión que a tracción, se pide lo siguiente: q1 • DATOS: • Tensión admisible a compresión por flexión = 0,600t/cm2 • Tensión admisible a tracción por flexión = 0,300t/cm2 • Módulo de Elasticidad Longitudinal = Efund = 1 000t/cm2 • Dimensiones: L; h; b e P • Calcular el valor de la carga qmaxempleada en el proyecto original de la viga. • Calcular el valor de la fuerzaPde compresión y el de la excentricidad e que debe ser aplicada en la sección central, de modo tal que al resistir la nueva solicitación de flexión se aproveche íntegramente la capacidad resistente del material tanto a compresión como a tracción. …veamos ahora el siguiente ejemplo de aplicación

28. Resolvemos la viga simplemente apoyada… Sección más solicitada

29. …con: …dentro de esta sección, las fibras más comprometidas serán las más alejadas del baricentro (eje neutro)… El problema propone aumentar un 10% la carga q, por lo que la nueva tensión de solicitación será: + - …hay falla del material por tracción Deberemos precargar la viga con una fuerza axil de compresión no baricéntricade forma que:

30. …solicitamos la barra con una carga q1 y una carga axil P actuando a una distancia e del baricentro podremos plantear la siguiente superposición de efectos + = + + + + - - - - Superposición de efectos Carga q1 Fuerza axil de precarga …y por lo tanto será: …sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: P y e

31. Bibliografía Recomendada(en orden alfabético) Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de las estructuras – Miguel Cervera Ruiz/ Elena Blanco Díaz Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

32. Muchas Gracias