TEÓRICA - Solicitación por Flexión y Corte - Presentación del Tema

1. Solicitación por Flexión y CortePresentación del Tema Curso de Introducción a la Mecánica del Sólido Deformable Ing. Gabriel Pujol Para la carrera de Ingeniería Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Conceptos generales (Esfuerzos tangenciales) Recordemos, que esfuerzo de corteQ en una sección Sde una barra, es la componente vertical de la resultante de todas las fuerzas exteriores situadas a la izquierda de la sección (o a la derecha con signo contrario) trasladada al centro de gravedad G de la misma. Si la fuerza cortante Q es ascendente, diremos que el corte es positivo (figura a), en caso contrario, será negativo (figura b). La fuerza cortante Qreferida a la unidad de área de la sección S, da origen a las tensiones de corte[kg/cm2] que actúan en el plano S. Por esta razón se denominan también tensiones tangenciales en oposición a las producidas por el momento flexor que son tensiones normales a la sección S. El esfuerzo cortantese presenta, por ejemplo, en chapas unidas por roblones y tornillos.

3. Conceptos generales (Esfuerzos tangenciales) El corte puro, que es aquella solicitación donde en el plano de la sección sólo existen dos fuerzas opuestas (o sea, cuando actúa solamente un esfuerzo de corte siendo nulas las restantes características N, MF y MT), sólo se presenta en contadas ocasiones. Cuando se trata de pernos o remaches que vinculan planchuelas o chapas solicitadas axilmente, existen, según el caso, una o varias secciones donde se admite que existe corte puro. Planos de corte (aunque ello, en realidad, no es cierto por cuanto las fuerzas axiles Pno actúan propiamente en el plano de corte, como lo exige la definición de corte puro) El valor de  así obtenido es un valor medio de la tensión que, según la forma de la misma, difiere del valor máximo real. En estos casos se admite una distribución uniforme de las tensiones tangenciales y se utiliza para calcular su valor la expresión: (donde Q es el esfuerzo de corte que solicita a la sección, y F el área de ésta)

4. Conceptos generales (Esfuerzos tangenciales) En este tipo de unión, que se representa en la figura, la fuerza P1, que actúa sobre la chapa C1, se transmite a la chapa C2, supuesta fija, de la siguiente forma: Presión sobre la espiga del remache según AB. Corte en la sección CB. Presión sobre la espiga del remache según CD. En este tipo de unión, la fuerza P1, que actúa sobre la chapa C1, y la P1, que actúa sobre la chapa C2, paralelas y de igual intensidad, de sentido contrario, y que actúan en distintas rectas de acción, originan una cupla que tiende, deformando la unión, a hacer saltar las cabezas de los remaches, siendo: Normalmente el corte se presenta asociado a un momento flexor. d’ d

5. Conceptos generales (Esfuerzos tangenciales) Los esfuerzos tangenciales manifiestan también su presencia como producto de las fuerzas de deslizamiento que aparecen en los casos de dos o más vigas iguales, colocadas unas encima de las otras (fig. a) sin ningún vínculo entre ellas, estando la inferior libremente apoyada en sus extremos. Sometida a la acción de una carga P, cada una de las vigas 1 y 2, presenta su parte superior (fig. b) comprimida y acortada; y la inferior traccionada y alargada, mientras que en el plano de separación AB las vigas 1 y 2 resbalan una respecto de la otra. Este deslizamiento mutuo, aunque pueda impedirse, siempre se manifiesta por una tensión. Si se unen las dos vigas por medio de tacos y pernos (fig. c), el conjunto se hace solidario y flexionará como una viga única. La solidaridad entre las vigas 1 y 2 se opone al deslizamiento mutuo y por tanto surgen tensiones tangenciales longitudinales: L. Estas tensiones Lse producen no sólo en la superficie de separación AB, sino también en el interior de cada viga, es decir en todas las fibras. En lo que sigue, demostraremos que se cumple que (fig. d):

6. Determinación de las tensiones de corte (Teoría de Collignon /Jouravski) El estudio de las tensiones de corte se basa en la denominada teoría de Jouravskiquien calcula los esfuerzos de resbalamiento longitudinales pero no se ocupa de las tensiones que ocurren en el plano de la sección. La extensión de la teoría de Jouravski a la determinación de las tensiones tangenciales en el plano de la sección se debe a Collignon, razón por' la cual se acostumbra a designar con el nombre de fórmula de Collignona la fórmula clásica utilizada para el cálculo de las tensiones tangenciales debidas a la flexión. Consideremos dos secciones de una pieza prismática (barra) sujeta a flexión y corte, separadas un diferencial dzen el entorno de la sección m – m a las que llamaremos 1 – 1 y 2 – 2.

7. Determinación de las tensiones de corte (Teoría de Collignon /Jouravski) R1 R2 H En la dirección “z” actúan las tensiones normales z sobre las caras izquierda y derecha (z1yz2respectivamente). volumen de control PCL y fuerza de resbalamiento Definimos un plano de corte longitudinal (PCL) situado a una distancia “y” del eje neutro de la sección. Si planteamos el equilibrio en el volumen de control del elemento diferencial del eje situado por sobre el plano de corte longitudinal, las resultantes R1yR2de las fuerzas provocadas por las tensiones (z1yz2) no serán iguales ya que los momentos flectores que las generan difieren en dM. volumen de control …y la condición de equilibrio se puede escribir: y R (1) dz

8. Determinación de las tensiones de corte (Teoría de Collignon /Jouravski) R1 R2 H (supondremos yz=cte) …y las resultantes R1yR2serán: tyz PCL y tyz y …y reemplazando H,R1yR2en (1): volumen de control by y R dz

9. Determinación de las tensiones de corte (Teoría de Collignon /Jouravski) R1 R2 H Pero, de acuerdo a la ley de reciprocidad de las tensiones tangenciales (Cauchy), en el plano de la sección “xy” que es perpendicular al plano longitudinal “xz”, existen tensiones tangenciales de dirección vertical (zy) que tendrán igual módulo que las tensiones longitudinales horizontales (yz)… tzy tmedia PCL y tyz tzy …y para que se satisfaga la condición de equilibrio vertical, FYi= 0 debe ser: (asumiendo zy= cte = media)

10. Determinación de las tensiones de corte (Teoría de Collignon /Jouravski) Q: esfuerzo de corte en la sección estudiada (se obtiene del diagrama de esfuerzo de corte y generalmente se utiliza el valor máximo, sea positivo o negativo). El esfuerzo de corte Qdepende de la coordenada “x” de la sección donde se calcula yz. Sx*: momento estático, respecto al eje “x” (plano de corte longitudinal), de la parte de la sección transversal que se encuentra por encima de la línea donde se calcula yz. by: ancho de la sección en correspondencia con la coordenada “y” donde se calcula yz. El significado de cada factor en la fórmula de Collignon / Jouravskies: Jx: momento de inercia de la sección respecto del eje “x”. yz: tensión de corte longitudinal para la coordenada “y”.

11. Alabeo de las secciones solicitadas a flexión y corte Sea la viga de la figura solicitada a flexión y corte. Recordando la relación =  / G que vincula las tensiones tangenciales con las distorsiones, resulta que los elementos planos ubicados en correspondencia con los bordes superior e inferior de la sección no sufren distorsión alguna por ser en ellos nulas las tensiones tangenciales y se mantienen paralelos a la posición primitiva de la sección. Pero, a medida que nos acercamos al eje neutro, crecen las tensiones tangenciales y con ellas las distorsiones, hasta alcanzar un valor máximo para los elementos planos en correspondencia con el eje neutro. Como consecuencia de ello, las secciones no pueden mantenerse planas, experimentan distorsiones (giros) de distinta magnitud, es decir, se alabea. No obstante, por ser las distorsiones de magnitudes infinitésimas en comparación con las dimensiones de la sección, puede suponerse sin mayor error que ésta se mantiene plana.

12. Tensiones tangenciales (Ecuaciones de equivalencia) En este caso las ecuaciones de equivalencia se transforman en: De estas ecuaciones, la primera y las dos últimas son las mismas que analizamos para el caso de la flexión pura. Las tres restantes no son nulas en este caso por la existencia de un esfuerzo de corte, que origina tangenciales en el plano de la sección.

13. Tensiones tangenciales (Sección rectangular) Sea la sección rectangular de ancho by altura h(ver fig.) sujeta a la acción de un esfuerzo de corte Q acompañado de flexión. En el plano de la sección y a lo largo de la recta s-s las tensiones tangenciales resultan normales a ésta y uniformemente distribuidas a lo largo de la misma, pero variando en altura en función de la coordenada y conforme a la expresión de Collignon /Jouravski: …donde: …y reemplazando: …un 50% más que la tensión media (ecuación de una parábola) …y además: …donde:

14. Tensiones tangenciales (Sección rectangular) Al analizar las tensiones en la sección rectangular nosotros admitimos que sólo existían tensiones y que . Esto sólo se cumple para los puntos M, N y C, En efecto, para el punto C, por razones de simetría resulta que y consecuentemente . En cuanto a los puntos M y N, si para los mismos , por Cauchy, estas tensiones darían origen a tensiones que no pueden existir por razones de equilibrio, ya que hemos partido de la hipótesis que las caras laterales estén libres de solicitaciones exteriores. Para los puntos intermedios, debemos contar con la existencia de tensiones cuya ley de variación desconocemos, pero que deben responder a un diagrama tal que a ambos lados del punto C(fig. c), su signo sea contrario. …si el ancho b de la sección es reducido las son pequeñas y podremos despreciarlas. En efecto, al ser la tercera de las ecuaciones de equivalencia se trasforma en ,lo que exige que las tensiones tangenciales sean opuestas a uno y otro lado del eje y (para que ).

15. Tensiones tangenciales (Secciones simétricas de contorno curvilíneo) Sea ahora la sección mostrada en la figura solicitada a flexión y corte, para un plano de corte longitudinal A – B se generaran tensiones de resbalamiento según la expresión de Cauchy. Así, en un punto del contorno como el A tendremos dos componentes: una , normal a la tangente al contorno en el punto A, y una segunda , dirigida según esta tangente. La tensión no puede existir, por cuanto, por hipótesis, la superficie lateral del elemento prismático se encuentra libre de solicitaciones. En consecuencia, debe ser: …o sea, que para los puntos Ay Blas tensiones tangenciales resultantes y , están dirigidas según las respectivas tangentes al contorno de la sección (a diferencia de la sección rectangular ). En C, por razones de simetría, debe ser y . La tensión tangencial horizontal varía entre dos valores extremos, en Ay B, de signo contrario anulándose en correspondencia con el eje de simetría. Podemos admitir que la ley de variación de es lineal, lo que equivale a suponer que las tensiones tangenciales resultantes a lo largo de la línea A-Bconcurren al punto M.

16. Tensiones tangenciales (Sección circular maciza) ½ by Sea la sección circular maciza de radio R(ver fig.) sujeta a la acción de un esfuerzo de corte Q acompañado de flexión. Para ella resulta: y h R dh …y el diferencial de momento estático de la sección ubicado por sobre el plano de corte longitudinal ubicado a una distancia y =  de Ges: y reemplazando bhserá: distribución cuadrática y reemplazando valores en la expresión de Jouravskitendremos: valor mínimo para y = R valor máximo para y = 0

17. Tensiones tangenciales (Sección doble T) Sea la sección doble T (ver fig.) sujeta a la acción de un esfuerzo de corte Q acompañado de flexión. Para un corte s - s, situado a un nivel y medido desde el eje neutro de la sección las tensiones tangenciales quedan definidas por la fórmula de Jouravski. Donde: …y reemplazando: (válida para los niveles correspondientes al alma) …y para los cortes s' - s' en correspondencia con las uniones de las alas resulta:

18. Tensiones tangenciales (Sección doble T) En cuanto a las tensiones tangenciales que se originan en las alas su magnitud es tal que no pueden ser despreciadas. Supongamos el mismo perfil de estudio al que le efectuamos un corte vertical en una de sus alas. Como el perfil se encuentra solicitado por flexión, sobre la cara normal posterior y anterior se originan tensiones normales: Las fuerzas elementales y admiten dos resultantes coaxiles, cuyas expresiones son: con:

19. Tensiones tangenciales (Sección doble T) …restando miembro a miembro obtenemos la fuerza elemental dN que tiende a deslizar la parte externa del ala con respecto al resto del perfil: En la cara a – b – c – d se originan tensiones de resbalamiento longitudinal, opuestas al deslizamiento, que suponemos paralelas al eje xy uniformemente distribuidas sobre la cara, las cuales conducen a un esfuerzo resultante que por razones de equilibrio debe ser igual a dN: (2)

20. Tensiones tangenciales (Sección doble T) …recordando que Q = dM / dx y teniendo en cuenta el valor de Jn, la (2) queda: …de acuerdo con el teorema de Cauchy, en el plano del ala se originan tensiones que varían linealmente desde cero(extremo del ala, para ) hasta un máximo en correspondencia con el borde del alma (donde ): …para las semialas superiores, sujetas a tensiones normales de compresión, las tensiones están dirigidas hacia el alma del perfil, mientras que para las inferiores, por ser las tensiones normales de tracción, las tensiones cambian de signo y se alejan del eje del perfil. …razones de simetría hacen que, para cada una de las alas, los esfuerzos horizontales H derivados de las tensiones se anulen entre sí por ser opuestos y el esfuerzo de corte Q se equilibre con la resultante de los esfuerzos elementales originados en el alma por las tensiones . .

21. Tensiones tangenciales (Sección U – Centro de Corte) Consideremos el perfil Ude figura, sujeto a flexión y corte, y en el que la línea de fuerzas coincide con el eje y, principal de inercia pero no de simetría. Admitamos por un momento que, para esta sección sea válida la teoría de Jouravski. Así tenemos: (las mismas que las establecidas para la sección doble T por cuanto ambas secciones sólo difieren en la posición relativa del alma respecto al eje baricéntrico vertical) …y así tendremos: …y las fuerzas resultantes sobre toda la superficie del ala son:

22. Tensiones tangenciales (Sección U – Centro de Corte) Las fuerzas horizontales H, iguales en valor absoluto para ambas alas pero de signos contrarios forman un par de momento: …y el esfuerzo Q', resultante de los esfuerzos elementales en el alma, es igual al esfuerzo de corte Q. Analizaremos a continuación si se cumplen o no las condiciones de equivalencia entre los esfuerzos exteriores e interiores de la sección. Los primeros son el momento flexor Mz y el esfuerzo de corte Q. Los esfuerzos interiores son las dos fuerzas H, la resultante Q' de los esfuerzos en el alma y las resultantes D y Z del diagrama de tensiones normales. Las condiciones de equivalencia las expresaremos en forma de tres ecuaciones de igualdad de proyecciones sobre los tres ejes x, y, z, y tres ecuaciones de igualdad de momentos respecto de los mismos ejes, es decir: (proy. respecto de x) (proy. respecto de y) (proy. respecto de z) (momento respecto de x) (momento respecto de y) (momento respecto de z)

23. Tensiones tangenciales (Sección U – Centro de Corte) La última de las condiciones de equivalencia no se satisface (); en consecuencia, la hipótesis de la que partimos, no es válida. La sección está solicitada por un par torsor cuyo momento es igual a MHy en consecuencia se alabea. Si el plano de flexión en lugar de pasar por el baricentro G de la sección, lo hace por un punto O(ver fig.) situado sobre el eje de simetría de la sección y desplazado de la recta de acción de Q' una distancia = MH / Q' = MH / Q , de modo que exista coincidencia de signos de los momentos MHy de Qaplicado en Orespecto del eje x, entonces la última de las condiciones de equivalenciase satisface. En consecuencia, será válida la teoría de Jouravski, y las tensiones de y podrán determinarse mediante la fórmula de Collignon. …al punto Odeterminado en la forma indicada se lo denomina centro de corte de la sección.

24. Tensiones principales en flexión y corte Sea una sección solicitada por flexión y corte. En las fibras situadas a una distancia ydel eje neutro actuarán una tensión normal xy una tangencial . Dichos valores serán constantes para todas las fibras situadas a un mismo nivel y, y si, por otra parte, consideramos que z= y=== 0, podemos admitir que a los puntos Acorresponde un estado elástico plano. El problema tiene por objeto determinar las tensiones principales y sus direcciones, para los distintos puntos de la sección. En este caso, por ser y= 0 su expresión genérica, es:

25. Tensiones principales en flexión y corte …y su determinación gráfica resulta del trazado de la circunferencia de Mohr(ver figura). Sobre el plano principal P - 1 actúa la tensión principal 1de tracción y sobre el P - 2, la 2de compresión, cuyas direcciones son normales a los planos respectivos.

26. Bibliografía Recomendada(en orden alfabético) Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de las estructuras – Miguel Cervera Ruiz/ Elena Blanco Díaz Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

27. Muchas Gracias