TEÓRICA - Solicitación por Torsión - Presentación del Tema

1. Solicitación por Torsión Presentación del Tema Curso de Introducción a la Mecánica del Sólido Deformable Ing. Gabriel Pujol Para la carrera de Ingeniería Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Planteo del Problema Una sección está solicitada por torsióncuando, al reducir a su baricentro los sistemas de fuerzas actuantes sobre el sólido sólo se obtiene un par que yace en el plano de la sección como se aprecia en la figura. Alno existir ni momento flexor, ni axil ni tampoco esfuerzo de corte, resultan: Q = N = Mf= 0 y en consecuencia, las ecuaciones de equivalencia se transforman en las siguientes: La solución rigurosa del problema de la torsión se debe a Saint Venantquien estudió la torsión de una barra de sección rectangular mediante el establecimiento de la correspondiente función de tensión de Airy. Esta forma de encarar la resolución del problema pertenece al dominio de la Teoría Matemática de la Elasticidad y escapa a los alcance del presente curso.

3. Hipótesis de Coulomb Desarrollaremos primeramente las soluciones correspondientes a secciones para las cuales es válida la hipótesis de Coulomb, a saber: • sección circular llena, • sección circular hueca, • y las secciones tubulares de pared delgada, simple y múltiplemente conexas La hipótesis de Coulomb(verificada experimentalmente) establece que: • las secciones normales al eje de la pieza permanecen planas y paralelas a sí mismas, luego de la deformación por torsión; • luego de la deformación, las secciones mantienen su forma. …de lo anterior resulta que las rectas trazadas sobre las secciones continúan siendo rectas y los ángulos mantienen su medida. Finalmente, al girar las secciones manteniéndose planas, las generatrices rectilíneas de la superficie lateral del cilindro se transforman en hélices de paso muy grande.

4. Hipótesis de Coulomb Analizaremos a continuación las ecuaciones de equivalencia y admitamos por un momento la existencia de tensiones normales, o sea De ser ello cierto, la distribución de sobre la sección no puede ser uniforme porque en tal caso, si: (y no se satisfaría la primera de las ecuaciones de equivalencia) Para que ello ocurra debería ser variable, su distribución simétrica con respecto al centro de la sección y, además, tendría que haber cambio de signo de las tensiones. Pero, de ser así, en virtud de la ley de Hooke, las deformaciones específicas no serían constantes para los distintos puntos de la sección, la misma se alabearía y no cumpliría con la primera premisa de la hipótesis de Coulomb. (con ello, la primera, quinta y sexta de las ecuaciones de equivalencia resultan idénticamente nulas) Por ello debe necesariamente cumplirse: Sólo resta por considerar las siguientes igualdades, que son las que resuelven el problema de la torsión en piezas de sección circular: (1)

5. Torsión en la sección circular llena Sea una sección circular de un sólido prismático de radio Rsolicitado por un par torsorMt. …y hemos visto que en la sección sólo se originan tensiones tangenciales, que deben satisfacer las ecuaciones de equivalencia 2°, 3° y 4°. (1). Para que ello ocurra es necesario que exista una distribución antimétrica de las tensiones a lo largo de los diámetros de la sección. Admitamos por un momento como posible, una distribución de tensiones a lo largo de un diámetro, como la que muestra la figura. De acuerdo con esta hipótesis sobre la cara superior del cubo infinitésimo en correspondencia con el punto Bdel diámetro considerado, actúa una tensión de dirección oblicua con respecto al radio de la sección. Dicha tensión puede ser descompuesta en una xynormal al radio y una xzdirigida según este último.

6. Torsión en la sección circular llena …pero, de acuerdo con el teorema de Cauchy, de existir esta tensión xz, daría origen a una tensión zxen la cara externa del cubo, coincidente con el plano tangente al cilindro según la generatriz que pasa por B, debiendo ser I zxI = I xzl. Ahora bien, como por hipótesis la superficie exterior del cilindro se encuentra libre de cargas exteriores, el equilibrio del sistema exige que: (Es decir que, para el punto Bla tensión tangencial debida al par torsor debe ser normal al radio) …y por consiguiente: En consecuencia, en el elemento inmediato y en todos los sucesivos, las tensiones tangenciales necesariamente deben ser normales al radio. Por lo tanto: • sólo existen tensiones tangenciales; • su distribución a lo largo de un diámetro es antirnétrica, • su dirección es normal al radio. xz zx

7. Relación entre Mt y las tensiones tangenciales Consideramos que aislamos de una barra torsionada una tajada de longitud unitaria. El ángulo de giro relativo entre ambas secciones seráθ,y como la separación entre las secciones es la unidad, a este ángulo la denominaremos “ángulo específico de torsión”. Podemos observar que: …y análogamente: …y por lo tanto: …y siendo (por Hooke): El ángulo resulta ser el “ángulo de distorsión”de la sección. Debemos tener presente que si el ánguloes pequeño entonces los arcos se confunden con las tangentes, lo que permite establecer ≈ tg.

8. Relación entre Mt y las tensiones tangenciales De acuerdo a la ley de Hooke: Se puede apreciar que las tensiones tangenciales varían linealmente con el radio, alcanzando su valor máximo en el borde de la sección: En determinadas circunstancias interesa conocer el valor de la rotación relativa de las secciones extremasde una barra circular sujeta a torsión. Este ángulo ϕse denomina “ángulo de torsión” y resulta ser la suma de todos los ángulos específicos de torsión entre todas las tajadas elementales de la pieza. El coeficiente G (kg/cm2) se denominamódulo de elasticidad transversal.

9. Relación entre Mt y las tensiones tangenciales Consideremos un elemento de área dAsituado a la distanciadel centro de la sección. La fuerza interior que actúa en él vale y su momento respecto deO1es Para equilibrar este dmTel momento torsorMTdebe ser: dF y siendo: entonces se tiene: Para la sección circular llena resulta: …mientras que, para la sección circular hueca resulta: entonces:

10. Tensiones principales Sea un cubo elemental como el mostrados en la figura ubicado en el borde de una sección circular sujeta a torsión. De acuerdo con lo que hemos visto, en las caras superior e inferior existen tensiones xyque originan, conforme al teorema de Cauchyen las caras laterales las correspondientes tensiones yx, encontrándose libres de tensiones las caras anterior y posterior. Esta situación se repite para todos los puntos de la superficie del cilindro y también, pero con valores de ijdecrecientes para los puntos ubicados sobre cilindros interiores concéntricos. Es decir, que todos los puntos del cilindro se encuentran sujetos al estado plano de tensión que hemos denominado de resbalamiento simple y que se caracteriza por: xy yx

11. Tensiones principales Para este estado de tensión, las tensiones principales resultan iguales en valor absoluto y de signo contrario, e iguales al valor común de las tensiones tangenciales, o sea: …y actúan en planos a 45° con los planos de las secciones. Existen en realidad dos familias de hélices, ortogonales entre sí: una que corresponde a las isostáticas de tracción y otra a las de compresión. La circunstancia que las isostáticas son hélices explica el porqué, para materiales frágiles, en la rotura las superficies de fractura resultan ser superficies helicoidales.

12. B M A Secciones tubulares de paredes delgadas Para secciones huecas en las cuales el espesor de pared es reducido la hipótesis enunciada por Coulombes válida. Si consideramos un corte s-s de la pared, la tensión variará a través del espesor de la pared. …pero a los efectos prácticos, dado el pequeño espesor ede la pared, y la poca diferencia entre las direcciones deAyBpodemos establecer sin mayor error: • que la tensión tangencial se mantiene constante en intensidad y dirección a lo largo del espesor de la pared, y… • que la dirección de coincide con la de la tangente en el contorno medio de la sección M. Veamos ahora las Secciones tubulares de paredes delgadas . Por lo que, siendo:

13. Secciones tubulares de paredes delgadas 1-1 Imaginemos ahora cortada la sección por dos planos 1-1 y 2-2. Aislemos una de las partes de la que a su vez tomamos sólo el trozo delimitado por dos secciones separadas una longitud unitaria. 2-2 Por Cauchy, sobre cada una de las caras verticales actuarán tensiones tangenciales que dan origen a dos fuerzas elementales verticales de intensidad (e .  . 1): e1 . 1 . 1 e2 . 2 . 1 …y como el elemento de tubo pertenece a un sólido en equilibrio, también estará en equilibrio. Esta es la teoría de Bredt, donde representa el área delimitada por el contorno mediode la sección. . …y como además, el área del triángulo sombreado es:

14. Secciones tubulares de paredes delgadas Energía (trabajo) externa de deformación ():Si sobre un par de ejes coordenados llevamos como ordenadas los valores crecientes del par torsor (Mt) y en abscisas los correspondientes ángulos específicos de torsión (q), el diagrama resultante, es una recta que pasa por el origen, dado que existe una relación lineal entre Mty q. Para un determinado incremento dMt corresponde una variación dq del ángulo específico de torsión, y el trabajo desarrollado, salvo infinitésimos de orden superior, será:  …y cuando el par torsor crece de cero a Mt : Otra magnitud que interesa conocer es el valor del ángulo específico de torsión . En el caso que nos ocupa, la determinación del valor de  la efectuaremos igualando los trabajos interno y externo de deformación. …que representa el área encerrada por el diagrama (Mt , ): 

15. Secciones tubulares de paredes delgadas Por su parte, la Energía (trabajo) interna de deformación () es, el trabajo desarrollado por las tensiones t, de modo que tenemos, haciendo el mismo análisis que para el trabajo externo de deformación obtenemos: En consecuencia, como debe ser: resulta:

16. Secciones tubulares de paredes delgadas La determinación de  la haremos igualando los trabajos interno de deformación (el trabajo desarrollado por las tensiones ) y externo de deformación (el trabajo desarrollado por el par torsorMT). donde: Por lo que el ángulo específico de torsión () será (considerando el espesor e ≈ em = cte): Con S= longitud del perímetro medio de la sección

17. Secciones rectangular sujeta a torsión Sea una sección de lados a y b solicitada por un par torsorMT , tal que a > b que origina tensiones tangenciales  , variables de punto a punto en dirección e intensidad. Si la teoría desarrollada por Coulombpara la torsión de la sección circular fuera válida para la rectangular, en un punto tal como el A, vértice de la sección, debería existir una tensión A, normal y proporcional al radio vector rA, que admitiría dos componentes: xyy xznormales respectivamente a los lados a y b. De acuerdo con el teorema de Cauchy, las mismas darían origen a tensiones yxy zxactuantes sobre las caras laterales del sólido, lo que es contrario a la hipótesis, ya que dichas caras se encuentran libres de toda forma de solicitación. De existir estas tensiones, no habría equilibrio. En consecuencia, debe ser nula en el punto A, ocurriendo lo mismo para los tres vértices restantes B, C, y D.

18. Secciones rectangular sujeta a torsión Para otro punto cualquiera del contorno, tal como el Mpor ejemplo, existe una tensión tangencial, que en virtud del teorema de Cauchy, debe estar dirigida según AB. En consecuencia, concluimos que, a lo largo de los lados de la sección rectangular, las tensiones están orientadas en la dirección de los mismos, y crecen en valor absoluto de cero para un vértice hasta alcanzar un máximo, para decrecer hasta anularse en el vértice opuesto. Dicho valor máximo, por razones de simetría, se presenta en el centro del lado considerado.

19. Secciones rectangular sujeta a torsión Recordando que el valor del ángulo de distorsión tiene por expresión: …resulta que en los elementos de volumen infinitésimo correspondientes a los vértices y al centro de la sección la distorsión es nula, aumentando su valor en forma continua a lo largo de los lados. Como consecuencia de ello, la sección no puede permanecer plana y se alabea. Las hipótesis de Coulomb no es aplicable a la sección rectangular ni a otros tipos de secciones que difieran de la circular.

20. Secciones rectangular sujeta a torsión La solución del problema de Saint Venant, aplicada a la sección rectangular establece que la máxima tensión tangencial ocurre en el centro del lado mayor y su valor puede aproximarse como: donde a y b son los lados de la sección y  un coeficiente cuyo valor en función de la relación k = a / b figura en la tabla. …por su parte, el ángulo específico de torsión() puede aproximarse como: …y la tensión máxima sobre el lado menor es función de la correspondiente al lado mayor:

21. Secciones rectangular sujeta a torsión Sección cuadrada con a = b (k = 1) Sección rectangular con a >>> b (k  ꝏ) Las Secciones Rectangulares presentarán dos casos particulares: (expresiones que utilizaremos para el cálculo de tensiones y ángulos de torsión de secciones abiertas de paredes delgadas y perfiles laminados)

22. Secciones abiertas de paredes delgadas (Perfiles laminados) Para encontrar la solución a este problema se aplica un método denominado de la “Analogía de la Membrana”, propuesto por Prandtly que dice: “las tensiones cortantes no dependen de la curvatura del contorno de la sección, siendo prácticamente las mismas que si dicho contorno fuese recto”. De acuerdo con ello, y en el caso de espesor constante t = ctese podrían aplicar las mismas ecuaciones que para el caso de sección rectangular donde a >>>b: Las secciones abiertas pueden considerarse como un conjunto de rectángulos que absorben, cada uno de ellos, una parte del momento torsor correspondiente MT. Como estos rectángulos forman parte de una única pieza, todos tendrán el mismo giro específico de torsión, por lo que se puede plantear: S e (espesor de la pared del perfil)

23. De acuerdo con los datos indicados en la figura y para la relación K establecida, se desea reemplazar un árbol de sección circular maciza por otro de sección anular (anillo circular) del mismo material, que sea capaz de transmitir el mismo momento torsorMT. Se solicita determinar : Problema 1 • La relación entre ambos diámetro exteriores (De/D) • La economía de material (peso) que se logra Veamos los siguientes ejemplos de aplicación:

24. Cálculo de la relación entre los diámetros exteriores (De/D) • Para la sección circular maciza será Resolución • Para la sección circular hueca (anular) será

25. Cálculo de la relación entre los diámetros exteriores (De/D) • Para poder reemplazar una sección por otra, debe cumplirse que ambas secciones tengan las mismas tensiones tangenciales máximas Resolución …y reemplazando valores:

26. Cálculo de la economía del material (peso) • La economía en peso, a igualdad de material y longitud de la pieza, va a estar dada por la relación entre áreas de ambas secciones Resolución Lo que nos dice que: Ahorro =21,71%

27. Dadas dos barras de acero que poseen igual área, siendo una de ellas de sección circular y la otra de sección rectangular, las cuales soportan pares torsores equivalentes y cuyos datos se indican en la figura, se solicita determinar: Problema 2 • Las tensiones tangenciales en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • Los ángulos de rotaciones específicos y las relaciones entre los mismos • Las tensiones tangenciales máximas que ocurren en el lado menorde la sección rectangular Datos: D = 4 cm; MT = 60 KN.cm; G = 8 x 103KN/cm2

28. Cálculo de las tensiones tangenciales en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • Para la barra de sección circular maciza será Resolución • Para la barra de sección rectangular, siendo ambas barras de igual áreaserá:

29. Cálculo de las tensiones tangenciales en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • Para la barra de sección circular maciza será Resolución • Para la barra de sección rectangular, siendo ambas barras de igual áreaserá:

30. Cálculo de las tensiones tangenciales en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • Para el lado menor la mayor tensión será: • La relaciones entre las máximas tensiones para ambas secciones será: Resolución Dicha relación está indicando que para el problema planteado, a igualdad de momentos torsores y áreas, para una relación (h/b = 2) la tensión tangencial máxima en la sección rectangular es aproximadamente un 64% superior a la correspondiente a la sección circular.

31. Cálculo de los ángulos de torsión específicos en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • Para la barra de sección circular maciza será Resolución • Para la barra de sección rectangular será:

32. Cálculo de los ángulos de torsión específicos en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • La relaciones entre los ángulos de torsión específicos para ambas secciones será: Resolución Dicha relación está indicando que para el problema planteado, a igualdad de momentos torsores y áreas, para una relación (h/b = 2) el ángulo de torsión específico en la sección rectangular es aprox. un 41% superior al correspondiente a la sección circular.

33. Dos barras de acero de iguales dimensiones, las cuales están construidas con un anillo circular de pequeño espesor, siendo una de ellas de contorno cerrado y la otra abierta, se encuentran sometidas a pares torsores equivalentes según se observa en la figura. Se solicita determinar en ambos casos: Problema 3 • Las tensiones tangenciales y las relaciones entre las mismas • Los ángulos específicos de torsión y sus relaciones Datos: Rm = 10 cm; e = 1 cm; MT = 200 KN.cm; G = 8 x 103KN/cm2

34. Cálculo de las tensiones tangenciales en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • Para el anillo circular de pequeño espesor de contorno cerrado será Resolución • Para el anillo circular de pequeño espesor de contorno abierto será:

35. Cálculo de las tensiones tangenciales en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • La relación entre ambas tensiones tangenciales será: Resolución Como se observa, para el problema planteado es 30 veces superior a . Como conclusión, a igualdad de condiciones geométricas y de cargas, la rigidez de a la torsión de un anillo circular cerrado es notablemente superior al caso en que el mismo estuviese abierto, es decir, con una pequeña ranura a lo largo de su generatriz.

36. Cálculo de los ángulos específicos de torsión en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • Para el anillo circular de pequeño espesor de contorno cerrado será Resolución • Para el anillo circular de pequeño espesor de contorno abierto será:

37. Cálculo de los ángulos específicos de torsión en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • La relación entre ambos ángulos específicos de torsión será: Resolución Como se observa, para el problema planteado es 3 veces superior a . Como conclusión, a igualdad de condiciones geométricas y de cargas, la rigidez de a la torsión de un anillo circular cerrado es notablemente superior al caso en que el mismo estuviese abierto, es decir, con una pequeña ranura a lo largo de su generatriz.

38. Bibliografía Recomendada(en orden alfabético) Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de las estructuras – Miguel Cervera Ruiz/ Elena Blanco Díaz Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

39. Muchas Gracias