TEÓRICA - Trabajo y Energía (Teoremas de Energía)

1. Trabajo y Energía Presentación del Tema Curso de Estabilidad IIb Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Si un sistema de fuerzas externas se aplica a un cuerpo este se deformará hasta que se presente el equilibrio entre las fuerzas externas aplicadas y las fuerzas internas del cuerpo. En consecuencia, el sistema de fuerzas externas realiza un trabajo. • Este trabajo se almacena en el cuerpo en forma de energía y es a lo que se llama "energía de deformación del cuerpo“. • Si las fuerzas se aplican gradual y lentamente, a un cuerpo elástico, el trabajo exterior se transforma completamente en energía de deformación. • Si el cuerpo es perfectamente elástico recuperará exactamente su forma inicial. En los sistemas perfectamente elásticos se despreciarán las pérdidas de energía por calor. • La energía de deformación o energía interna de un cuerpo elástico es, por lo tanto, la suma de todo el trabajo transmitido por el sistema para deformarlo con respecto a su estado natural. Asimismo, la energía de deformación almacenada se transforma en trabajo cuando el sistema de fuerzas es retirado. Presentación del Tema (Trabajo) = (Energía)

3. La energía de deformación dependerá de las características de la curva carga-deformación del cuerpo. Así, por ejemplo, en la Fig. 1 el área sombreada representa la energía de deformación de un cuerpo con comportamiento elástico lineal (Ley de Hooke), mientras que el área sombreada en la Fig. 2 representa la energía de deformación de un cuerpo con comportamiento elástico no lineal. • Para el caso de la Fig. 1 la carga P se aplica gradualmente y por lo tanto la deformación aumenta gradualmente. El trabajo desarrollado por la fuerza P es: • El área no sombreada marcada con C en las Figs. 1 y 2, se denomina "energía complementaria de deformación" y se calcula con la integral: Presentación del Tema

4. La energía de deformación puede aparecer debido a fuerzas axiales, de flexión, de cortante y de torsión. Estas fuerzas pueden presentarse aisladas o en determinadas combinaciones. • Efecto de la Fuerza Normal (axial) • Considérese la barra mostrada en la Fig. 3, la cual tiene su área transversal constante. • La aplicación gradual de la carga normal (N) produce la deformación (). En la longitud dx el trabajo interno (dw) efectuado es: • pero: y el trabajo total (W) en la longitud(L) será: y debido a que el trabajo efectuado es igual a la energía de deformación interna, entonces: Presentación del Tema

5. Efecto del Momento Flexionante En este caso si queremos el trabajo interno en el elemento de longitud dxtendremos: …ya que en estos casos es el producto del momento por el giro producido, apareciendo siempre el ½ al aplicarse en forma paulatina los esfuerzos. x dx …y siendo en flexión: …reemplazando: …y por lo tanto la energía de deformación internadebida al momento flexionanteserá: Presentación del Tema

6. Efecto de la Fuerza Cortante • Considérese que en el tramo de viga mostrada en la Fig. 5 actúan fuerzas que producen esfuerzos de cortante en el mismo. El trabajo debido a la fuerza cortante es: …pero (Jouravski) (Hooke) …donde S es el momento estático con respecto al eje neutro y b es el ancho de la sección, entonces: …y el trabajoen el área que se efectúa en la longitud dx, se puede escribir como: Presentación del Tema

7. Efecto de la Fuerza Cortante • … y llamando: … entonces: (característica geométrica de la sección) El trabajo efectuado en toda la viga será: … y por lo tanto: La constante χes el llamado factor de forma y depende de la forma de la sección transversal. Algunos valores de χ : Presentación del Tema

8. Efecto del Momento Torsionante • La viga mostrada en la Fig. 6 está sujeta a un momento torsionante (T) aplicado en un extremo de la misma. El trabajo efectuado en el segmento dx es: …pero: … y para todo el elemento el trabajo (W) será: … por lo tanto la energía de deformación interna debida a fuerzas de torsión es: Presentación del Tema

9. Efecto del Momento Torsionante • Algunos valores del momento polar de inercia (J0) para diferentes secciones transversales se dan a continuación:

10. …en el caso general de un elemento sujeto a las solicitaciones citadas anteriormente, se obtiene que la energía de deformación total (U) es: (por el Principio de Superposición de Efectos) o sea: NOTA: La expresión anterior puede usarse también para vigas ligeramente curvas. La limitación para su uso se presenta cuando el radio de curvatura es menor que cinco veces la dimensión mayor de la sección transversal. Podemos arribar a la siguiente conclusión…

11. Supongamos que sobre un cuerpo actúa un sistema de fuerzas P que produce deformaciones δ y una energía de deformación U igual a un trabajo Te, y dicho sistema de cargas Pesta formado por la suma de dos estados de carga que llamaremos PΙ y PII. P =PΙ+PII …y si δΙes el conjunto de desplazamientos correspondientes a la carga PΙy δΙIes el correspondiente a las cargas PΙIse cumplirá: δ =δΙ+δII …cualquiera sea el orden en que se aplican las fuerzas, P; δ producen Te = U. Veamos de aplicarlas cargas P de dos formas distintas: Teorema de Betti(Ley de Reciprocidad)

12. Al aplicar el sistema de fuerzas PIse producirán en el cuerpo desplazamientos I… …por lo que, el valor de la energía o trabajo externo de las cargas PIa lo largo de los desplazamientos I(dado que las cargas se aplican en forma progresiva desde 0 a PI), será: I II P PI Al aplicar ahora el sistema de fuerzas PIIse producirán en el cuerpo desplazamientos II… PII …por lo que, el valor de la energía o trabajo externo de las cargas PIIa lo largo de los desplazamientos II(dado que las cargas se aplican en forma progresiva desde 0 a PII), será:  …pero las cargas PI(que ya han sido aplicadas), también realizan trabajo.El valor de la energía o trabajo externo de las cargas PIa lo largo de los desplazamientos II(dado que las cargas permanecen constantes a lo largo de toda la deformación), será: Primero aplicamos PI y luego aplicamos PII

13. Al aplicar el sistema de fuerzas PIIse producirán en el cuerpo desplazamientos II… …por lo que, el valor de la energía o trabajo externo de las cargasPIIa lo largo de los desplazamientos II(dado que las cargas se aplican en forma progresiva desde 0 a PI), será: I II P P PI Al aplicar ahora el sistema de fuerzas PIse producirán en el cuerpo desplazamientos I… PII …por lo que, el valor de la energía o trabajo externo de las cargas PIa lo largo de los desplazamientos I(dado que las cargas se aplican en forma progresiva desde 0 a PII), será:   …pero las cargasPII(que ya han sido aplicadas), también realizan trabajo.El valor de la energía o trabajo externo de las cargas PIIa lo largo de los desplazamientos I(dado que las cargas permanecen constantes a lo largo de toda la deformación), será: Aplicamos ahora primero PII y luego aplicamos PI

14. …también lo serán los Trabajos finales y de igualar ambas expresiones obtendremos: I II = P P PI “El trabajo de un estado de cargas en equilibrio PΙ a lo largo de los desplazamientos producidos por otro estado de cargas en equilibrio PΙΙ es igual al trabajo de las cargas PΙΙ a lo largo de los desplazamientos producidos por PΙ” PII   Como los dos estados finales son iguales…

15. …donde una viga simplemente apoyada está cargado con dos sistemas de PIy PII que generan los desplazamientos que se muestran en la figura: U = UΙΙ+UΙΙ ΙΙ + UΙ ΙΙ U = UΙΙ ΙΙ + UΙΙ +UΙI Ι De la igualdad en los dos casos: Veamos el siguiente ejemplo…

16. …donde una viga simplemente apoyada está cargado con dos sistemas de PIy PII que generan los desplazamientos que se muestran en la figura: U = UΙΙ+UΙΙ ΙΙ + UΙ ΙΙ U = UΙΙ ΙΙ + UΙΙ +UΙI Ι De la igualdad en los dos casos: …y podemos ver que las expresiones de ambos casos pueden convertirse de la siguiente manera:

17. …y reagrupando será: …por lo que podemos concluir en que: “El trabajo desarrollado durante la carga de un sólido elástico, por un sistema de cargas en equilibrio, es independiente del orden de aplicación de las cargas, y su valor es igual a la mitad de la suma del producto del valor final de las fuerzas por el valor final de los desplazamientos correspondientes de su punto de aplicación” Teorema de Clapeyron

18. Este Teorema será tratado aquí como un caso particular del Teorema de Bettiaunque en realidad, fueenunciado con anterioridad y Betti solo generalizo las conclusiones a que había llegado Maxwell. 1 (Ι) P1 = 1, δ11,δ21 (ΙΙ)P2 = 1, δ12,δ22 En la figura siguiente de una viga tenemos dos estados de carga y deformaciones, con la salvedad que ambos estados de cargas son unitarios. (Es válido reemplazar en el enunciado del Teorema “fuerza” por “par” y “corrimiento” por “giro”) P1⋅ δ12= P2⋅ δ21 → δ12 = δ21 …y aplicando el Teorema de Betti: “El valor del corrimiento de un punto 1 según una cierta dirección P1 debido a una fuerza unitaria aplicada en 2 según una dirección P2, es igual al valor del corrimiento en 2 según la dirección P2, provocado por una fuerza unitaria aplicada en 1 según una dirección P1” Teorema de Maxwell

19. “Para una deformación virtual infinitamente pequeña de un cuerpo que se encuentra en equilibrio, el trabajo virtual de las fuerzas exteriores es igual al trabajo virtual interno de deformación” El PTV se expresa diciendo: El Principio de los Trabajos Virtuales (PTV) y el Cálculo de Deformaciones Es conveniente considerar algunos términos de la definición: • En primer lugar estamos considerando un cuerpo en equilibrio, al que con posterioridad se le provoca una deformación arbitraria, compatible con las condiciones de vínculo, pero que no proviene de las cargas originales en el cuerpo. • Las cargas externas multiplicadas por esos desplazamientos arbitrarios representan el trabajo virtual de las fuerzas exteriores, Te. • Los esfuerzos internos generados por las cargas en equilibrio originales, generan trabajo debido a la deformación virtual impuesta, dando origen al trabajo virtual interno de deformación, Ti. El PTVpuede entonces expresarse sintéticamente como:

20. … siendo Rlas correspondientes reacciones de vínculo exteriores Sometemos al sistema a una deformación virtual, por lo que los puntos de aplicación de las cargas Pm y R, sufrirán desplazamientos δm y ΔR(si existen corrimientos de apoyos) en la dirección de las mismas. Por lo tanto el trabajo virtual de las fuerzas externas estará dado por: Consideremos el caso de una estructura sometida a un sistema de cargas Pm Ej.: RAy RBno realizan trabajo RA Para este sistema en equilibrio se desarrollan esfuerzos internos , , de tal manera que existe equilibrio entre la acción interna y la externa. q Para expresar el trabajo virtual interno de deformación, (es decir el trabajo de los esfuerzos internos , , ) debido a la deformación virtual, consideramos un elemento de una barra dx de altura h. A B L RA RB

21. …un desplazamiento relativo de las dos secciones del elemento que podrá expresarse por una traslación y una rotación d. La deformación virtual provocará… La traslación la podemos considerar compuesta por dos componentes; una a lo largo del eje de la barra dNy otra normal dc.  El trabajo diferencial de las fuerzas internas que actúan sobre el elemento dxserá: La integración de esta expresión a toda la estructura representa el trabajo virtual de deformación Ti.

22. Las deformaciones elásticas para una barra son: Resultando:

23. α: coeficiente de dilatación térmica • E: Módulo de elasticidad • F: Sección transversal de la barra • G: Módulo de elasticidad transversal • χ: Coeficiente de forma que tiene en cuenta la distribución no uniforme del corte en la sección transversal de la viga • J: Momento de Inercia y reemplazando en e integrando será: … que es la expresión del PTV, para el caso general de estructuras planas. Donde:

24. …con un estado de cargas cualquiera, que genera el diagrama de momentos Mindicado en la figura. Si queremos calcular la deformación de esa viga (desplazamiento vertical) en el punto m, aplicamos en dicho punto una carga auxiliar(ficticia) unitaria, en la dirección que se quiere calcular la deformación. Aplicación al Cálculo de Deformaciones Supongamos una viga simplemente apoyada… Si aplicamos ahora la ecuación del PTV y admitimos que no hay descenso de apoyos, ni variaciones de temperatura y despreciando los efectos de N y Q, resulta:

25. Análogamente, si queremos la deformación de esa viga (giro) en el punto m, aplicamos una cupla unitaria en dicho punto, en donde por aplicación de la ecuación del PTV, resulta: Aplicación al Cálculo de Deformaciones Supongamos una viga simplemente apoyada…

26. Bibliografía Recomendada(en orden alfabético) Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de las estructuras – Miguel Cervera Ruiz/ Elena Blanco Díaz Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

27. Muchas Gracias