0 likes | 0 Views
Giu1ea3i tou00e1n lu00e0 mu1ed9t nghu1ec7 thuu1eadt thu1ef1c hu00e0nh . Vu00ec vu1eady u0111u1ec3 cu00f3 ku1ef9 nu0103ng giu1ea3i bu00e0i tu1eadp Tou00e1n <br>vu00e0 tu00ecm ra u0111u01b0u1ee3c quy luu1eadt bu00e0i tou00e1n phu1ea3i qua quu00e1 tru00ecnh luyu1ec7n tu1eadp . Tuy ru1eb1ng khu00f4ng <br>phu1ea3i cu1ee9 giu1ea3i bu00e0i tu1eadp lu00e0 cu00f3 ku1ef9 nu0103ng hay tu00ecm ra u0111u01b0u1ee3c quy luu1eadt. Viu1ec7c luyu1ec7n tu1eadp su1ebd cu00f3 <br>hiu1ec7u quu1ea3 , nu1ebfu nhu01b0 biu1ebft khu00e9o lu00e9o khai thu00e1c tu1eeb mu1ed9t bu00e0i tu1eadp sang mu1ed9t lou1ea1i bu00e0i tu1eadp <br>tu01b0u01a1ng tu1ef1 , nhu1eb1m vu1eadn du1ee5ng mu1ed9t tu00ednh chu1ea5t nu00e0o u0111u00f3 hay khu00e1i quu00e1t u0111u01b0u1ee3c cu00e1ch giu1ea3i <br>chocho lou1ea1i bu00e0i tu1eadp cu00f9ng du1ea1ng hou1eb7c cu00f3 du1ea1ng tu01b0u01a1ng tu1ef1.
E N D
Phần I : Đặt vấn đề Giải toán là một nghệ thuật thực hành .Vì vậy để có kỹ năng giải bài tập Toán và tìm ra được quy luật bài toán phải qua quá trình luyện tập . Tuy rằng không phải cứ giải bài tập là có kỹ năng hay tìm ra được quy luật. Việc luyện tập sẽ có hiệu quả , nếu như biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loại bài tập tương tự , nhằm vận dụng một tính chất nào đó hay khái quát được cách giải chocho loại bài tập cùng dạng hoặc có dạng tương tự. Thực tế cho thấy học sinh học Toán thường không chú ý đếnđặcđiểm bài toán, phương pháp giải nên khi gặp bài toán có sử dụng phương pháp giải tương tự còn gặp nhiều khó khăn ,lúng túng,thậm chí không biết cách giải như thế nào.Điều đó càng khẳng định rằng “không thầy đố mày làm nên”.Nếu như không có sự hướng dẫn của giáo viên thì người học không có được một phương pháp hay một kết quả tốt.Chứng tỏ phương pháp họcđóng một vai trò cực kỳ quan trọngtrong học tập. Chính vì vậyđể nâng cao chất lượng bộ môn toán và lôi cuốn được niềm đam mê,sự yêu thích dành cho bộ môn Toántôi đã tiến hành soạn ra đề tài : “Khai thác các ứng dụng từ một bài toán có quy luật ở THCS”. Phần II. Giải quyết vấn đề 1. Cơ sở lý luận của đề tài : Giải bài tập toán là một quá trình suy luận ,nhằm khám phá ra các quá trình logic giữa cái đã cho (giả thiết) với cái phải tìm (kết luận) .Nhưng các quy tắc suy luận cũng như các chứng minh chưa đượctường minh .Do đó , học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập . Thực tiễn dạy học cũng cho thấy : học sinh khá giỏi thường đúc kết những tri thức ,phương pháp cần thiết cho mình bằng con đường kinh nghiệmvà từđó có thể tìm ra được quy luật cho bài toán. ; còn học sinh trung bình, yếu , kém gặp nhiều lúng túng . Để có kỹ năng giải bài tập phải qua quá trình rèn luyện. Tuy rằng ,không phải cứ giải nhiều bài tập là học sinh nào cũng có thể tìm ra được quy luật của bài toán . Việc luyện tập có nhiều hiệu quả ,nếu như biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loại bài tập tương tự ,nhằm vận dụng một tính chất nào đó ,nhằm rèn luyện một phương pháp chứng minh nào đó . Quan sát đặc điểm bài toán, khái quát đặc điểm đề mục là vô cùng quan trọng , song quan trọng hơn là khái quát hướng suy nghĩ và phương pháp giải .Sự thực là khi giải bài tập không chỉ là giải một vấn đề cụ thể mà là giải đề bài trong một loại vấn đề nào đó . Vì vậy , hướng suy nghĩ và phương pháp giải bài tập cũng nhất định có một ý nghĩa chung nào đó . Nếu ta chú ý mà khái quát được hướng suy nghĩ và cách giải của một vấn đề nào đó là gì thì ta có thể dùng nó để chỉ đạo giải vấn đề cùng loại và mở rộng ra : “ Mỗi vấn đề mà tôi giải quyết đều sẽ trở thành ví dụ mẫu mực dùng để giải quyết vấn đề khác “ . Do đó sau khi giải một bài toán nên chú ý hướng khai thác,cách giảivà quy luật bài toán 2.Thực trạng của vấn đề: * Đối với giáo viên: 1 SangKienKinhNghiemKetNoiTriThuc.com
Đa số giáo viên luôn quan tâm,nghiên cứu,tìm tòi để có phương pháp hay truyền đạt kiến thức đến các em một cách dễ hiểu nhất.Bên cạnh đó vẫn còn giáo viên chưa đi sâu tìm hiểu đối tượng học sinh,chưa tìm tòi nghiên cứu để tìm ra phương pháp phù hợp với đối tượng học sinhlớp dạy, còn có cách nghĩ chủ quan,áp đặtđối với học sinh dẫn đến nội dung dạy chỉ bám sát vào sách giáo khoa và chuẩn kiến thức mà chưa nâng cao mở rộng,hoăc có đưa ra dạng toán nâng cao mở rộng thì chưa phong phú dạng bài hoặc chỉ đưa ra để giới thiệu chứ chưa đi sâu ,chưa hướng dẫn các em cách khai thác dạng toán có phương pháp giải tương tự,chưa chỉ ra cho các em phương pháp khai thác,tìm đặc điểm của bài toán ,vận dụng,tìm mối liên hệ giữa các bài toán,dạng toán tương tự. *Đối với học sinh: Thực tế là đa số học sinh khi giải bài tập toán chỉđơn thuần là tìm ra đáp số hay giảiđúng là được ,kể cả học sinh khá giỏi hay trung bình yếu. Các em chưa có thói quen quan sát đặc điểm bài toán rồi mới đưa ra phương pháp giải,chứ chưa nói đến việc mà các em biết tìm mối liên hệ giữa bài toán này với bài toán khác ,đểtừ đó có phương pháp giải hợp lý nhất hay vận dụngphương pháp từ bài toán này sang bài toán khác có dạng tương tự,khai thác từ bài toán này sang bài toán khác,vận dụng kết quả từ bài toán này sang bài toán khác ,….Vì vậy,qua kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy tôi thấy để học sinhđạt được kết quả học tập tốt thì các em phải có phương pháp giải toán tốt .Đó là biêt quan sát, biêt dụng ,biêt khai thác bài toán có dạng tương tự,từđó tìm ra quy luật chung. Do đó,khi chưa hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng từ một bài toán có quy luật ở THCS mà chỉ hướng dẫn một bài cụ thể.Đa số các em khi gặp loại toán tương tự không biết cách áp dụng mà loai hoay không biết cách giải,kêt quả cụ thể : Lớp TS Giỏi Khá SL % SL % 6A 15 0 0 0 0 8A 15 0 0 0 0 3.Giải pháp và biện pháp thực hiện: a)Giải pháp: Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy để học sinh có được phương pháp giải toán tốtngười giáo viên cần phải giúp các em có thói quen quan sát đặc điểm bài toán trước khi giải và có ý thức liên hệ ,vận dụng,khai thác từ bài toán này sang bài toán khác. b)Biện pháp thực hiện : Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy dạng bài tập có nhiều ứng dụng trong giải các dạng toán như : -Ứng dụng trong dạng tính toán ,toán rút gọn,toán chứng minh đẳng thức . -Ứng dụng trong dạng toán chứng minh bât đăng thức. -Ứng dụng trong dạng toán giải phương trình,bât phương trình.... TB SL 4 4 Yếu SL Kém SL % 26,67 4 26,67 3 % 26,67 7 20 % 46,66 53,33 8 2 SangKienKinhNghiemKetNoiTriThuc.com
Vì thế tôi chọn dạng bài tập có quy luậtđể khai thác cácứng dụng để hướng dẫn học sinhđể tìm ra quy luật. Xét bài toán sau: a) Chứng tỏ rằng với nN,n0: ( n n + b) Áp dụng kết quả trên để tính được tổng sau: 1 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 •Hướng dẫn: a)Biến đổi vế phải : 1 1 ( 1) n n n n + + b)Xét đặc điểm đẳng thức ở câu a: vế phải có mẫu là một tích hai biểu thức cách nhau 1; 1 chính là tử thì có 1 n như vế phải ở câu a, ta có : 1 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 = 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 Cách phát biểu khác của bài toán: a)Viết phân thức ( 1) n n+ b)Vận dụng kết quả câu a hãy rút gọn biểu thức sau: 1 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 I. Khai thác bài tập trên trong tính toán ,trong toán rút gọn ,toán chứng minh đẳng thức: Bài 1 : Tính : a) 1 ... 2 2.3 3.4 4.5 5.6 99.100 * Hướng dẫn : 1 ... 2 2.3 3.4 4.5 5.6 99.100 2 2 =1 - 1 1 1 n 1 + (1) = − 1) 1 n 1 1 1 1 1 + + + + + + − 1 1 1 n n − = = + ( 1) n n 1 + 1 . Tương tự với đặc điểm − = + 1 ( 1) n n n 1 1 1 1 1 + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 6 7 − = − + − + − + − + − + − = 1 1 thành hiệu của hai phân thức có tử bằng một 1 1 1 1 1 + + + + + 1 1 1 1 1 + + + + + + 1 1 1 1 1 = 1 1 1 3 1 3 1 4 1 4 1 5 1 99 100 1 + + + + + + + − + − + − + − ... 100 = 99 100 Từ đó có bài toán tổng quát : c)Tính tổng: 1 1 1 1 1 1 với n1 + + + + + + ... + 2 2.3 3.4 4.5 5.6 ( 1) n n 1 + n + * hướng dẫn : Tương tự câu a ,ta có kết quả: − = 1 1 1 n n Nhận xét : Đặc điểm mẫu các phân thứcđể từ đóta có các dạng bài toán khác ; các hạng tử trong tổng trên đều là những phân thức có dạng : mẫu là một tích 3 SangKienKinhNghiemKetNoiTriThuc.com
hai nhân tử cách nhau một đơn vị chính bằng tử .Vậy mẫu là tích hai nhân tử cách nhau 2,hay 3,hay 4,…thì giải bài toán như thếnào ? Chẳng hạn: a)1 ... 1.3 3.5 5.7 7.9 2005.2007 b)1 ... 2.5 5.8 8.11 11.14 (3 2)(3 5) n n + + *Hướng dẫn: a) Viết mỗi hạng tử dưới dạng hiệu hai phân thức: 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ); ( ) 1.3 2 1 3 5.7 2 5 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ); ( );...; 3.5 2 3 5 7.9 2 7 9 2005.2007 Vậy: 1 ... 1.3 3.5 5.7 7.9 2005.2007 =1 1 1 ( ... 2 1 3 3 5 5 7 7 9 2005 b)Phương pháp làm tương tự câu a: Xét hạng tử tổng quát: ( (3 2)(3 5) 3 3 n n + + nên ,ta có 1 ... 2.5 5.8 8.11 11.14 (3 n + = 1 1 ( ... 3 2 5 5 8 8 11 3 2 3 n + - Tương tự như vậy ta có thể đề xuất một bài toán cùng loại và giải quyết với cùng phương pháp. * Chú ý đến đặc điểm tử và mẫu các phân thức ta có bài toán tổng quát hơn ;tử là một số (biểu thức) bất kỳ ,mẫu là tích của 2 số (biểu thức) cách đều nhau thì làm như thế nào ? Chẳng hạn: Bài 2:Tính tổng: a) 5 ... 2.4 4.6 6.8 8.10 98.100 b) 1 2 2 3 3 4 4 5 1 k k a a a a a a a a a a+ với a2 - a1= a3– a2 = a4 – a3= …= ak+1- ak = b Hướng dẫn :Phương pháp làm :Viết các hạng tử trong tổng dưới dạng hiệu (tương tự bài 1). Ta có : 5 ( ) 2.4 2 2 4 5 ( ) 6.8 2 6 8 8.10 2 8 10 Do đó :5 ... 2.4 4.6 6.8 8.10 98.100 = 5 ... 2 4 4 6 6 8 98 100 1 1 1 1 + + + + + 1 1 1 1 + + + + + = − = − 1 2 2005 1 1 = − = − = − ( ) 2007 1 1 1 1 + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1003 2007 − + − + − + − + + − = − = ) (1 ) 2007 2007 1 1 1 + 1 + = − ) 2 3 5 n 1 n 1 1 1 + + + + + + = 1 1 3 2 2)(3 1 n + 5) n + 1 + 1 + n 1 1 1 1 1 1 − = − + − + − + + − ( ) ) 3 5 2(3 5) n n 5 5 5 5 5 + + + + + n n n n n + + + + + ... 5 1 1 ; 5 5 1 ( 2 4 5 1 6 5 1 ( 2 98 100 = − = − ) 4.6 5 1 1 5 5 1 ( 1 1 ; ; … ; = − = − = − ) ) 98.100 5 5 5 5 + + + + + 2(1 1 1 1 1 1 1 1 ) =5 1 2 2 1 49 40 − + − + − + + − − = ( ) 100 4 SangKienKinhNghiemKetNoiTriThuc.com
b)Phương pháp làm tương tự câu a.Đây chính là bài toán tổng quát rút ra từ bài toán trên .Vậy ta xét các trường hợp sau: - Trường hợp 1: Nếu a2 - a1= a3– a2 = a4– a3= …= ak+1- ak = n Bài toán này được giải dễ dàng theo cách phân tích của bài 1,vì khi đó : 1 2 1 a a a 1 n a a a …………………………. 1 k k k a a a + n n n a a a a a a a a -Trường hợp 2: Nếu a2 - a1= a3– a2 = a4– a3= …= ak+1- ak = b n Ta có : 1 2 2 3 3 4 4 5 a a a a a a a a a a+ = n b( 1 2 2 3 3 4 4 5 a a a a a a a a Bài toán này thực chất đã đưa về bài 2; bài 3. Do đó ta có kết quả là: b a Nếu mẫu là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp cách đều nhau thì sao ? Từ đó ta có bài toán khó hơn: Bài 3: Tính tổng : A = ... 1.2.3 2.3.4 3.4.5 4.5.6 ( 1). .( n − 1 1 1 1 ... 1.3.5 3.5.7 5.7.9 7.9.11 (2 n *Hướng dẫn: Phương pháp giải tương tự như các bài toán trên:viết các hạng tử dưới dạng hiệu *Nhận xét: ( 1). .( 1) ( 1) ( 1) n n n n n n n − + − + A = 1 ... 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 4 1 (2 1).(2 1).(2 3) (2 1)(2 n n n n − + + − B= 1 1.3 3.5 5.7 7.9 9.11 11.13 = 1 1 ( ) 4 3 (2 1)(2 3) n n + + 1 1 a 1 a n = − 2 = − 2 3 2 3 1 1 n = − a n + 1 k 1 a 1 n = Cộng vế với vế ta có : + + + + + = − ... a a+ a+ 1 2 2 3 3 4 4 5 1 1 1 k k k n n n n n + + + + + ... 1 k k b b b b b ) + + + + + ... a a+ 1 k k 1 1 n − ( ) a+ 1 1 k 1 1 1 1 1 n n với n1,nN + + + + + + 1 n 1) B = với n2,nN + + + + + − + + 1)(2 1)(2 3) n 2 1 1 . Do đó ta có : = − 2(1 1 1 1 1 1 1 1 )=1 1 2 2 1 − + − + − + + − − ( ) − + 1 + ( 1). ( 1) ( 1) n n n n n n *Nhận xét: .Do đó ta có = − + + + 1) (2 1)(2 3) n n 1 n 4(1 1 1 1 1 1 1 ) − + − + − + + − ... − + + + (2 1).(2 1) (2 1)(2 3) n n n n 1 − 5 SangKienKinhNghiemKetNoiTriThuc.com
− *) Từ (1) ta có đẳng thức tổng quát hơn:1 1 b b a ab với a 0 ; b0 thì việc áp − = a dụng công thức trên trong thực tế được sử dụng rất nhiều . Chẳng hạn với bài toán sau: Bài 4: Cho biết a,b,c là các số thực khác nhau. Chứng minh : b c c a a b a b a c b c b a c a c b − − − − − − *Hướng dẫn: Đối với bài này nếu dùng cách hòa đồng mẫu số vế trái để chứng minh thì quá trình tính phức tạp .Có cách gì tính ngắn gọn không ? Quan sát các số hạngở vế trái tử số vừa đúng bằng hiệu hai thừa số ở mẫu số : b – c = (a – c) - (a – b) ; c – a = (b – a) – (b – c) ; a – b= (c- b) – (c –a) .Điều đó gợi cho ta nhớ đến dùng ngược công thức 1 1 . ab a b ( )( ) a b a c a b a c − − − − b c c a a b a b a c b c b a c a c b a b − − − − − − − − − 2 − 2 − 2 − + + = + + ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b b c c a b a − b a − 1 1 −tức . Do đó : = − = − − − 1 − 1 − 1 − 1 − 2 b c − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − + + = − + − + − ( )( ) ( )( ) ( )( ) a c b c b a c a c b = − + − + − a b a c b c b a (đpcm) c a c b 2 − 2 − = + + a b c a * Chú ý đến mẫu :nếu ta thay x(x+1) = x2 + x; (x+1)(x+2)= x2+ 3x +2;… Ta sẽ có các bài toán luyện cho học sinh kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử: Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau : a) M = 2 2 2 2 3 2 5 6 x x x x x x x + + + + + + b) N = 2 2 2 5 6 7 12 9 20 x x x x x x − + − + − + *Hướng dẫn : a)Để rút gọn M cần phân tích các mẫu thành nhân tử : Ta có : x2 +x = x( x+ 1) ; x2 +3x + 2 = x2 + x+ 2x +2= (x +1)(x +2) x2 + 5x + 6 = x2 +3 x+ 2x +6= (x +3)(x +2) ; x2 + 7x + 12 = x2 + 3x+ 4x + 12= (x +3)(x +4) x2 + 9x + 20 = x2+ 4x+ 5x +20 = (x +4)(x +5) .Do đó : M= ( 1) ( 1)( 2) ( 2)( 3) ( x x x x x x x + + + + + = 1 1 1 2 2 3 x x x x x x + + + + + = 1 5 ( 5) x x x x + + b)Tương tự ta có: N = ( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5) x x x x x x − − − − − − 1 1 1 1 7 1 + + + + + + + 2 12 9 20 x x x 1 1 1 1 + + + − + 2 11 30 x x 1 1 1 1 1 + + + + + + + 1 + + 3)( 1 3 + 4) 1 + ( 4)( 5) 1 + x x x 1 1 1 1 1 − + − + − + − + − 4 4 5 x x x x 1 5 − = 1 1 1 1 + + + − − ( 5)( 6) x x 6 SangKienKinhNghiemKetNoiTriThuc.com
1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − = − + − + − + − 2 3 3 4 4 5 5 6 x x x x 4 x x x x − 1 − 1 − = − = − − 2 6 ( 2)( 6) x x x x Bài 6: Rút gọn : a) A= 1 a + a a a + + + + + + + + + + a a x + 2 2 2 2 2 2 2 3 . a x a a x 2 5. . a x a a x 6 7. . a x 12 4 x a + ax x a x a x a x a 1 10 + b) B = + + + + + ... + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 3 . 2 5. . 6 19. . 90 x ax x a x a x a x a Hướng dẫn: a) A= 1 a + 1 + a a a + + + + + + + + + + + = 1 ( ) ( 1 + )( 2 ) a ( 2 )( a x 3 ) a ( 3 )( a x 4 ) a 4 x x a x a x x x x a = 1 1 1 1 + 1 + a 1 1 x − + − + − + − + + + + + 2 2 3 3 4 4 a = x a x a x a x a x a x a x a + x a a + a a + + B + + + + + + ( ) ( )( 2 ) a ( 2 )( a x 3 ) 1 10 + ( 3 )( a x 4 ) a x x a x a x x a x b) 1 1 1 1 x + − + + + = ... + + + + 4 5 ( 9 )( a x 10 ) x a x a x a x a + + 2 ( 1 1) 1 x 1 + x + nên ta có : . * Xét biểu thức sau : = − + − = 2 2 ( 1) 2 1 x x x 2 2 2 2 ( 1) x x x Do đó ta có bài toán sau: Bài 7: Rút gọn biểu thức sau: A = + + 3 5 2 ( 1 1) x + + + ... 2 2 2 (1.2) (2.3) x x + + 2 ( 1 3 1 1) 1 4 1 x 1 + x nên ta có : Hướng dẫn: Nhận xét: = − 2 2 2 2 ( 1) x x x + 1 1 1 2 1 2 1 3 1 x 1 + 1 + ( x 2) x x A = − + − + − + + − = − = ... 1 + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) x x II) Khai thác các ứng dụng bài 28 trong chứng minh bất đẳng thức : Bài 8 : Chứng minh rằ với mọi số tự nhiên n 1 a) A = 2 2 2 2 2 ... 2 4 6 8 (2 ) 2 n Hướng dẫn: a) Nhận xét : 2 . (2 ) 4 ( 1). n n n − 1 1 1 1 1 ... 2 4 6 8 (2 ) n 4 1 A< 1 (1 ... ) 4 1.2 2.3 3.4 ( 1). n n − 1 1 1 1 1 1 1 (1 1 ... 4 2 2 3 3 4 1 n − 1 1 1 1 1 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 + 1 4 ; b) + + + + + + + + + + ... 2 2 2 2 2 (2 1) n 1 1 1 1 1). − 1 2 1 − 1 n mà nên ta có : = = − ( 1 n n n 1 3 1 1 ( 1 2 1 3 1 4 1 n A = = nên + + + + + + + + + + + + ... ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 hay + + + + + 1 n + − + − + − + + − ) A < hay 7 SangKienKinhNghiemKetNoiTriThuc.com
1 4 1 n = (1 1 + − 1 2 1 4 1 2 ) A hay (đpcm) − A hayA n 1 + 1 1) 1 + 1 2 2 1 1 + nên ta có : b)Nhận xét : − + − 2 2 2 (2 1) (2 1 − 1 8.10 1 6 1 (2 1) 2 2 n 1 n n n n 1 1 1 1) B < − hay + + + + + ... − − − + 2 2 2 2 2 3 1 5 1 1 7 1 9 1 (2 1 n B< 1 1 1 n hay + + + + + ... + 4.2 4.6 1 4 6.8 2 .(2 n 1 2 n 2) 1 n + B< 1 1 1 4 1 6 1 8 hay − + − + − + + − ( ... ) 2 2 2 2 1 4 1 1 4 − B B B<1 1 1 + (đpcm) − ( ) + 4( 1) n 2 2 2 2 n Bài 9: Chứng minh với n nguyên ,n lớn hơn 1: A = 2 2 2 2 1 2 3 4 Hướng dẫn:Để áp dụng (1)cần sử dụng phương pháp làm trội,tương tự như bài 9 Nhận xét với k = 2;3;4;…; n,ta có : 2 ( k k Lần lượt cho :k = 2;3;4;…; n trong (2) rồi cộng lại vế theo vế ta được: A = 2 2 2 2 2 ... 1 2 3 4 n 1 2 2 hay A< 2- 1 n(đpcm) Từ bài 9ta có thể ra bài tập sau: Bài 10: Chứng minh với mọi số tự nhiên n,n 2 thì: B = 2 2 2 2 2 ... 2 4 6 8 n *Hướng dẫn : Áp dụng kết quả bài 10,ta có : A< 2- 1 1 1 1 1 1 n 1 n − + + + + + ... 2 2 1 1 1 k 1 − 1 k (2) − hay − 2 1). 1 k k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 1 4 1 − 1 n + + + + + + − + − + − + + − 1 ... 1 n 1 1 1 1 1 < 1 + + + + + n mà B = A – 1 hay A = B + 1,khi đó : B + 1 < 2- 1 n hay B< 1- 1 nhay B < 1 (đpcm) Bài 11: Chứng minh với mọi số tự nhiên n,n 2 thì: C = 2 2 2 2 ... 2 4 6 8 *Hướng dẫn: Để áp dụng (1) cần sử dụng phương pháp làm trội . Vậy vận dụng nó như thế nào? Có giống như bài 11 không ? Hãy xem nhận xét sau : 2 2 2 4 4 1 n n n − C< 2( ... ) 3 5 5 7 2 1 2 1 n n − + Bài 12: Chứng minh với mọi số tự nhiên n,n 2 ta có: 1 1 1 1 1 n < 2 3 + + + + + 2 1 4 4 1 n 1 1 . Do đó: = − 2( ) − + 2 2 1 1 n 2 1 n n hay C < 2 1 1 1 1 1 1 1 3 hay C < 3(đpcm) − + − + + − − 2( ) + 2 1 8 SangKienKinhNghiemKetNoiTriThuc.com
1 3 1 4 1 5 1 1 n E = + + + ... 3 3 3 3 4 *Hướng dẫn: Để áp dụng (1) cần sử dụng phương pháp làm trội.Vậy sử dụng như thế nào ? hãy xem nhận xét sau: 3 3 3 3 ( 1)( 1) k k k k k k k − − + 1 1 1 ... 2 2 3 3 n n − − − hay D < 1 ( ... 2 1.2 2.3 2.3 3.4 ( 1). n − hay D < 1 ( ) 2 1.2 .( 1) n n + Bài 13: Chứng minh với mọi số tự nhiên n,n 3 ta có: E = 3 3 3 3 ... 3 4 5 12 n Hướngdẫn:Tacó 1 1 1 1 1 1 ( ( 1). .( 1) 2 ( n n n n n n n n n − − + − E < 1 ( ... 2 2.3 3.4 3.4 4.5 ( 1). .( n n n n − E < 1 ( ) 2 2.3 .( 1) n n + Bài 14: Chứng minh với mọi số nguyên dương n,ta có: M = 2 2 ... 1 4 36 144 .( 1) n n + 2 1 1 1 . 1 1 n n n n + + 1 1 1 1 1 ... 1 2 2 3 ( 1) ( n n n + + III ) . Khai thác các ứng dụng bài toán trong giải phương trình ,bất phương trình: Bài 15:Giải phương trình : a) ( ... ) 1.101 2.102 3.103 11 b) ( ... )( 2) 1.3 3.5 5.7 97.99 99 c) 1 ... ( 1) 3 6 10 2009 2 Hướng dẫn : a) ... 1.101 2.102 3.103 10.110 = 1 (1 ... 100 2 3 10 1 1 1 1 1 1 1 1 .Do đó ta có: − ( ) hay hay − + 2 ( 1). ( 1). k k k k D < + + + 3 3 3 1 1 1 1 1 1 − + − + + − ) + .( 1) n n n 1 1 hay D < 1 4(đpcm) − 1 1 1 1 1 + + + 1 1 .Do đó : − ) hay hay + 3 3 3 3 1). 1 + ( 1). n n n 1 1 1 1 1 hay − + − + + − ) 1) 1 1 hay E < 1 12(đpcm) − + 3 5 7 2 1 n + + + + + n Hướng dẫn: Ta có: . Do đó : = − ( ) ( ) 2 2 2 2 1 M = 1- ( đpcm) + − + + − = − 1 2 2 2 2 2 2 1) 1 1 1 1 =1 1 1 1 + + + + + + + + ... 10.110x 2.12 3.13 100.110 1 1 1 1 148 98 99 + + + + − + = − x x x 1 1 1 2007 + + + + = + x x 1 1 1 1 1 1 1 2 102 1 1 1 + + + + = − + − + + − (1 ... ) 100 1 101 10 110 1 1 1 -1 101 102 1 + + + + − − − ... ) 110 9 SangKienKinhNghiemKetNoiTriThuc.com
Xét 1 1 1 1 =1 1 10 1 11 1 1 2 12 1 110 . do đó ,ta có : x=1 1 1 1 + + + + − + − + + − ... ( ... ) 11 2.12 1 2 1 2 3.13 100.110 -1 11 12 -1 101 102 1 ... 5.7 100 110 =1 1 3 1 1 1 + + + + − − − − − (1 ... ... ... ) 10 100 1 10 100 = 1 1 3 1 1 1 + + + + − − − 10 100= 1 ... 97 (1 ... ... ) : 10 10 b)Xét : 1 110 1 1 = 1 1 3 1 3 1 5 1 5 1 7 1 99 + + + + − + − + − + + − (1 ) 1.3 3.5 97.99 2 = 1 1 99 49 99 . Khi đó ta có : − = (1 ) 2 49 99 49x + 99x – 148x = 0 hay 0.x = 0 hay x R c) 1 ... ( 1) 3 6 10 2 1 1 1 1 1 1 2( 2 3 3 4 4 5 1 1 2007 2( ) 2 1 2009 x + (thỏa mãn x 0 ; x - 1 ) Bài 16: Giải phương trình : a) ( ... )( 1) 1.2 2.3 3.4 9.10 b) ( ... ) 1.51 2.52 3.53 10.60 *Hướng dẫn: a) ( ... )( 1) 1.2 2.3 3.4 9.10 1 1 1 1 1 1 1 (1 ... )( 2 2 3 3 4 9 10 9 1 9 ( 1) 10 10 10 b) ( ... ) 1.51 2.52 3.53 10.60 (1 ... 50 51 2 52 3 53 (1 ... 50 2 3 10 51 52 (1 ... 50 2 3 10 51 52 x = 1 : 5 10 50= Bài 17: Giải phương trình sau: 148 99 98 99 hay 49(x- 2) + 99x = 148x - 98 hay − + = − ( 2) x x x hay 2 2 2 2 2007 2009 1 1 1 2007 2009 + + + + = + + + + = ... + x x + 2.3 3.4 4.5 ( 1) x x 1 x 1 + 2007 2009 − + − + − + + − = ... ) 1 x 2 + 2007 2009 2 + 2 x = 2008 − = − = = 1 1 1 2009 x x 1 1 1 1 1 9 + + + + − + = − x x x 10 10 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + = + + + + ( ... ) x 1.11 2.12 3.13 50.60 1 1 1 1 1 9 + + + + − + = − x x x 10 10 1 9 − + − + − + + − − + = − 1) x x x 10 10 0x = 0 x R − + = − x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + = + + + + ( ... ) x 1.11 1 10 2.12 3.13 50.60 1 2 12 1 1 1 1 1 1 1 60 =1 1 10 1 11 = 1 (1 10 = 1 (1 10 1 1 1 50 1 60 − + − + − + + − − + − + + − ) ( ... ) x 1 1 1 1 - 1 1 1 60x 1 60x 1 2 1 2 1 3 1 3 1 50 1 50 -1 11 12 -1 51 1 1 60 1 60 + + + + − − − + + + + − − − ... ) ... ... ) 1 1 1 1 - 1 1 1 52 + + + + − − − + + + + − − − ... ) ... ... ) 1 10 SangKienKinhNghiemKetNoiTriThuc.com
− 1 4 1 8 1 6 1 5 1 8 1 6 a) b) + = + + = + + + + 1 − + − + − + 2 2 2 2 2 3 15 6 15 13 40 5 x x x x x x x x x x 1 1 c) + = + + + + 2 2 9 1 3 20 13 1 5 x 42 18 x x x x 1 7 1 1 d) + + + + = ... + + + + + + + + 2 2 2 2 2 6 12 15 56 14 x x x x x x x Hướng dẫn : a)Nhận xét: x2 + 4x +3 = (x + 1)(x + 3) ; x2 + 8x +15 = (x + 5)(x + 3) ĐKXĐ: x -1; x - 3; x - 5 Phương trình đã cho được viết : ( 1)( x + 1 ( ) 2 1 3 3 5 6 x x x x + + + + 3(x+ 5 – x -1) = (x + 5)(x + 1) (x+3)2 = 42x+ 3 = 4 hoặc x + 3 = - 4 x = 1 hoặc x = - 7 ( thỏa mãn ĐKXĐ) •) Các câu b;c;d phương pháp làm hoàn toàn như câu a Bài18:Giảiphươngtrình 1 1 1 1 ( ... ) 1.51 2.52 3.53 10.60 11 2.12 Hướng dẫn : Cách làm tương tự như bài 21b,chỉ cần chý ý dấu BĐT thay cho dấu đẳng thức và ta có giá trị biểu thức sau luôn dương: 1 1 1 1 ... 2 3 10 51 52 60 c)Kiểm nghiệm: Sau khi hướng dẫn tôi đã tiến hành kiểm nghiệm khảo sát một nhóm học sinh sau khi hướng dẫn kết quả đạt được như sau: Lớp TS Giỏi Khá SL % SL % 6A 15 1 6,67 4 26,67 5 8A 15 1 6,67 4 26,67 4 Phần 3 : Kết luận và đề xuất a)Kết luận: Phương pháp giải bài tập có hệ thống là một yếu tố cơ bản giúp học sinh nắm vững kiến thức ,giải quyết linh hoạt các bài tập toán và đạt kết quả cao trong học tập môn toán .Điều quan trọng nhất cần đề cập bài toán theo nhiều cách khác nhau ,nghiên cứu kỹ ,khảo sát từng chi tiết và kết hợp các chi tiết của bài toán theo nhiều cách để mở rộng cho các bài toán khác .Đồng thời qua đó có thể khai thác các ứng dụng của một bài toán cơ bản vào giảiquyết các bài toán cùng loại. 1 1 1 6 + = + + + 3) ( 3)( 5) x x x 1 1 1 1 1 1 1 + 1 + 1 6 − + − = − = ( ) 2 1 5 x x 1 1 1 1 + + + + + + + + ( ... ) x 3.13 50.60 -1 1 1 nên ta có kết quả là : x < 5 + + + + − − − ... TB SL Yếu SL Kém SL 2 % 33,33 3 26,67 4 % 20 26,67 2 % 13,33 13,33 11 SangKienKinhNghiemKetNoiTriThuc.com
Hi vọng rằng với một số ví dụ tôi đưa ra trong đề tài này giúp các em học sinh sẽ biết cách làm chủ được kiến thức của mình ,thêm yêu mến môn toán học ,tự tin trong quá trình học tập và nghiên cứu sau này . Đây mới chỉ là kinh nghiệm cua bản thân tôi nên chắc chắn còn nhiều khiếm khuyết ,hi vọng được các bạn đồng nghiệp quan tâm và góp ý để đề tài được hoàn chỉnh hơn. * Lưu ý: Khi học sinh giải dạng toán này cân quan sát tử và mâũ của phân số, phân thức .Từđó học sinh chỉ ra được khoảng cách giữa hai thừa số,hiêụ hai đa thức của tích ở dưới mâũ rồi so sánh với số,đa thức ở trên tử. Nếu dạng toán mà dưới mẫu là một số (một đa thức) như bài tập bài 5;… ta phải biến đổi đưa mẫu về dạng tích hai thừa số ( hai đa thức) rồi mới áp dụng phương pháp trên b) Đề xuất: Đềnghị các giáo viên dạy bô môn Toán trong quá trình giảng dạy nên cố gắng nghiên cứu đưa ra các dạng bài tâp và hướng dẫn học sinh cách khai thác,vận dụng, tìm mối liên hê . Xác nhận của Hiêụ trưởng Thanh Hóa ,ngày 10 tháng 4 năm 2014 Cam kết không copy Tác giả Lê Thị Hương \ 12 SangKienKinhNghiemKetNoiTriThuc.com
Tài liệu tham khảo 1.Bài tập toán 8 tập 1. 2.Nâng cao và phát triển toán 8 tập 1. 3.Phát triển toán 8. 4.Bồi dưỡng toán 8. 5.Bài tập toán 6 tập 2. 6.Nâng cao và phát triển toán 6 tập 2. 7.Một số tài liệu tham khảo khác. Phụ lục Phần I :Đặt vấn đề.………………………………… 1 Phần II: Giải quyết vấn đề.…………………………………. 1 1.Cơ sở lý luận.………………………………… 1 2.Thực trạng của vấn đề.………………………………… 1 3.Giải pháp và biện pháp thực hiện……………………………. 2 4.Kiểm nghiệm.……………………………………. 12 Phần III :Kết luận và đề xuất………………………………… . 12 13 SangKienKinhNghiemKetNoiTriThuc.com