Info

1. De Mets Armand

2. Info WISKUNDE – LEERPLAN A DERDE GRAAD ASO STUDIERICHTINGEN MET COMPONENT WISKUNDE LEERPLAN SECUNDAIR ONDERWIJS LICAP – BRUSSEL D/2004/0279/019 September 2004 (vervangt D/1992/0279/022) ISBN-nummer: 90-6858-380-8 Vlaams Verbond van het Katholiek Secundair Onderwijs Guimardstraat 1, 1040 Brussel Voor studierichtingen met zes wekelijkse lestijden wiskunde. Economie-wiskunde Grieks-wiskunde Latijn-wiskunde Moderne talen-wiskunde Wetenschappen-wiskunde AN38: Het verband leggen tussen het begrip bepaalde integraal en de oppervlakte tussen de grafiek van een functie en de horizontale as. De Mets Armand

3. Inhoud van de les • Eenvoudige oppervlakten • Belang van oppervlakten • Eigenlijke vraagstelling (toegepast op y=x2 en [0,3]) • Een eerste benadering voor bepalen van oppervlakte • Principe berekenen van bovensom en ondersom • Een betere benadering voor bepalen van oppervlakte • De beste benadering, oneindig veel deelintervallen • Toegepast op y=x2 en [0,4] • Notie van bepaalde integraal • Oppervlakte voor y=x2 over willekeurig interval [a,b] • Veralgemening voor willekeurige continue functie • Berekeningen met willekeurig punt in een deelinterval (zonder boven en ondersom) • Georiënteerde oppervlakten De Mets Armand

4. Eenvoudige oppervlakten z b l h b h b b1 h b2 d1 d2 r De Mets Armand

5. Y 10 9 8 7 6 V 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Belang van oppervlakten 1 Gegeven: Wandelaar wandelt 5 uur aan wandelsnelheid 5 km/h Y (=v , km/h) X (=t , aantal h) Gevraagd: Welke afstand heeft de wandelaar afgelegd aan het einde van de voettocht ? Oplossing: S=v.t = 25 km De Mets Armand

6. Y 10 9 8 7 v(t) 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Belang van oppervlakten 2 Gegeven: Wandelaar wandelt t uur aan wandelsnelheid v(t) km/h Y (=v , km/h) X (=t , aantal h) Gevraagd: Welke afstand heeft de wandelaar afgelegd aan het einde van de voettocht ? t is hier dus ook 5 uur. Opp = S Oplossing: S=????? De Mets Armand

7. Y 10 9 x x x 8 7 6 5 4 3 2 1 X x1 x2 x3 x4 x5 Eigenlijke vraagstelling • Bepalen van oppervlakte onder de parabool y=x² • Geen formule • Benadering door som van oppervlakten Oi van rechthoeken • Oi=f(xi). x f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) De Mets Armand

8. Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Eerste benadering over [0,3] • Ondersom s3 • Bovensom S3 • 3 van 3 intervallen De Mets Armand

9. Intermezzo oefening 2 De Mets Armand

10. Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Eerste benadering over [0,3] • Berekenen van de ondersom (s3) • x0 = 0 = 0. x  f(x0) = 0 • x1 = 1 = 1. x  f(x1) = 1 • x2 = 2 = 2. x  f(x2) = 4 • f(x0) x = 0  1 = 0 • f(x1) x = 1  1 = 1 • f(x2) x = 4  1 = 4 • s3 = 5 De Mets Armand

11. Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Eerste benadering over [0,3] • Berekenen van de bovensom S3 • x1 = 1 = 1. x  f(x1) = 1 • x2 = 2 = 2. x  f(x2) = 4 • x3 = 3 = 3. x  f(x3) = 9 • f(x1) x = 1  1 = 1 • f(x2) x = 4  1 = 4 • f(x3) x = 9  1 = 9 • S3 = 14 • s3 = 5 De Mets Armand

12. Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Betere benadering over [0,3] • Bovensom S6 • Ondersom s6 • Beperken momenteel tot bovensommen De Mets Armand

13. Y Y 10 10 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 X X 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 Vergelijking van de benaderingen De Mets Armand

14. Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Berekenen van bovensom S6 [0,3] • De totale benaderde S6. is nu: • f(x1) x = 0,25 0,5 = 0,125 • f(x2) x = 1  0,5 = 0,5 • f(x3) x = 2,25 0,5 = 1,125 • f(x4) x = 4 0,5 = 2 • f(x5) x = 6,25 0,5 = 3,125 • f(x6) x = 9 0,5 = 4,5 S3=14 S6 = 11,375 S12 = 10,15625 De Mets Armand

15. Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Oneindig deelintervallen in [0,3] • Hoe groter n, hoe beter de benadering. Als n nadert tot +, nadert Sn tot de exacte oppervlakte S. • Vertalen we deze laatste zin in het ‘wiskundigs’, dan krijgen we: De Mets Armand

16. Berekenen Sn en sn voor y=x2,[0,3] De Mets Armand

17. Oneindig deelintervallen in [0,4] Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 X De Mets Armand

18. Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 x=b Notie bepaalde integraal • Strikt genomen zou je kunnen zeggen dat de exacte oppervlakte S op het interval [0, b] te schrijven is als: • Men noemt een aldus verkregen oppervlak de bepaalde integraal van de functie f(x) van 0 tot b en noteert dit verkort als: De Mets Armand

19. Berekenen Sn en sn voor y=x2,[0,b] De Mets Armand

20. Y 10 9 8 7 6 x=b 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 x=a Oppervlakte voor y=x2 over [a,b] • Uit de basisformule op het interval [0, b], kunnen we nu de oppervlakte afleiden voor alle andere intervallen. • Beschouw het interval [a, b], waarbij 0 < a < b: S= De Mets Armand

21. Algemene uitdrukking • Meer algemeen kan men gemakkelijk aantonen dat deze formule ook geldt voor intervallen [a, b] met • a < b < 0 (het interval ligt volledig links van de y-as) of • a < 0 < b (het interval begint links en eindigt rechts van de y -as). • Besluit: De Mets Armand

22. y=f(x) y=f(x) Y Y a a x x b b X X Veralgemening voor continue f M1 m1 M2 m2 M3 m3 Mn mn Mn-1 Mn-2 mn-1 mn-2 De Mets Armand

23. y=f(x) Y a x b X Algemene methode • Verdeel [a,b] in n gelijke •  interval min mi en max Mi •  integreerbare functies is • Via insluitstelling van de limieten: De Mets Armand

24. Insluitstelling van limieten y=f(x)   Mi  f(xi) mi  Insluitstelling van limieten i-de interval De Mets Armand

25. Georiënteerde oppervlakken y I III + + x a b c d IV e - II - De Mets Armand