Estabilidade e Estacionariedade em Séries Temporais

1. Estabilidade e Estacionariedadeem Séries Temporais Adaptado de Enders, Capítulos 1 e 2

2. Objeto de estudo • A econometria de séries temporais dedica-se à estimação de equações de diferença contendo componentes estocásticos.

3. Séries Discretas no Tempo • Seja y = f(t), portanto • Δy = f(t0 + h) – f(t0) • Na prática, as séries econômicas são geradas em intervalos discretos de tempo • Toma-se por conveniência h = 1, representando a unidade de tempo da série em questão

4. Séries discretas • Note que o fato do tempo ser discreto não implica que a variável y seja discreta. • A variável discreta y é dita aleatória (estocástica) se existe pelo menos um valor de r tal que 0 < p(y = r) < 1 • Caso exista um valor de r para o qual p(y = r) = 1, então y é determinística

5. Séries Discretas • Os elementos de uma série econômica {y0, y1, ..., yt} podem ser considerados como realizações (resultados) de um processo estocástico. • Por exemplo o PIB. Como não podemos prevê-lo perfeitamente, yt é uma variável aleatória. • Cada valor conhecido do PIB é uma realização desse processo estocástico.

6. Objetivo do modelo • A partir de valores observados de uma séries temporal (i.e., uma amostra), identificar os aspectos essenciais do “verdadeiro” processo gerador de dados (i.e., do universo). • As equações de diferenças estocásticas são um instrumento eficaz para modelar processo econômicos dinâmicos.

7. Equações de diferenças • Uma equação de diferenças expressa o valor de uma variável como função de seus próprios valores defasados, do tempo, e de outras variáveis. Ex: yt = 8,2 + 0,75yt-1 – 0,12yt-2 + εt

8. Ruído Branco • Uma seqüência {εt} é dita ruído branco se cada valor da série tiver média zero, variância constante, e não apresentar correlação serial.

9. Ruído Branco

10. Ruído Branco E(εt) = E(εt) = ... = 0 Var(εt) = Var(εt) = ... = 2 E(εt.εt-s) = 0 para todo s  0

11. Solução de equações de diferenças • A solução de equações de diferenças lineares pode ser dividida em duas partes: a solução particular e a solução homogênea. • A parte homogênea da equação dá uma medida do desequilíbrio inicial em relação à posição de equilíbrio de longo prazo • A equação homogênea é importante porque dá as raízes características, que determinam se a série é convergente (estável)

12. Exemplo: Equação de ordem 2 yt = a0 + a1yt-1+ a2yt-2 + εt Equação homogênea yt - a1yt-1- a2yt-2 = 0 Equação característica x2 - a1x - a2 = 0 • As raízes dessa equação são chamadas raízes características

13. Raízes e estabilidade • As raízes características serão funções dos coeficientes a1 ea2 • As raízes características determinam se a série é estável (convergente) ou instável (divergente) • Isto é, a estabilidade da série depende dos coeficientes a1 ea2

14. Série convergente (estável)

15. Série divergente (instável)

16. Condições de Estabilidade • Condição necessária • Condição suficiente • Se algum ai = 1, o processo tem raiz(es) unitária(s)

17. Estabilidade e Estacionariedade • Se yt é uma equação estocástica de diferenças, então a condição de estabilidade é uma condição necessária para que a série temporal {yt} seja estacionária.

18. Estacionariedade • Um processo estocástico y(t) é dito (fracamente) estacionário se: • E[y(t)] =  • Var[y(t)] = E[y(t) - ]2 = 2 • E{[y(t) - )][y(t - k) - ]} = f(k) • Obs.: um processo fortemente estacionário não precisa de média e variância constantes. (É um conceito menos restritivo).

19. Interpretação • Uma série temporal é dita estacionária se suas propriedades estatísticas não mudam com o tempo • A série estacionária tem média e variância constantes no tempo, e a covariância entre valores defasados da série depende apenas da defasagem, isto é, da “distância” temporal entre eles. Cov(Yt,Yt-k) = k k

20. Interpretação Cov(Yt,Yt-k) = k k • significa que se, por exemplo, 1 > 0, então um valor “alto” de Y no presente momento provavelmente será seguido de um valor também alto de Y no próximo momento. • A hipótese de que os k sejam estáveis no tempo, permite que se use essa informação para prever valores futuros da série.

21. Não-estacionariedade • No nível da média. A média varia ao longo da série. Séries que apresentam tendências temporais não têm média estacionária. • Se a tendência for não-linear, as covariâncias também se alterarão ao longo do tempo

22. Modelo autoregressivo de primeira ordem AR(1) • É representado como: Yt = a1 Yt-1 + t • significa que o valor de Y em t depende do valor de Y no período anterior mais uma perturbação aleatória. • Note que se tomou a0 = 0.

23. Média do modelo AR(1) E(yt) = a0/(1 – a1)

24. Variância do modelo AR(1) Var(yt) = 2/[1 – (a1)2]

25. Covariância do modelo AR(1) Cov(yt, yt-s) = 2(a1)s/[1 – (a1)2]= γs Portanto γ0 é a variância de yt

26. Autocorrelação • Para uma série estacionária pode-se definir a autocorrelação entre yt e yt-s como: s = γs /γ0 • A função de autocorrelação (FAC) mostra os valores de s para valores crescentes de s.

27. Restrições para estacionariedade do AR(1) • Seja Yt = a0 + a1 Yt-1 + t • Dada a condição inicial y = y0 para t = 0, a solução da equação é: Yt = a0i=0t-1 a1i + a1tY0 + i=0t-1 t-i

28. Restrições (continuação) • Ao tomar o valor esperado de y para os instantes t e t+s observa-se que: E (yt)  E(yt+s) • Isto é, a média não seria constante e, portanto o AR(1) não seria estacionário

29. Restrições (conclusão) • Esta restrição é contornada ao se tomar o valor limite de yt: lim yt = a0/(1 – a1) + i=0∞t-i = a0/(1 – a1) • Portanto a estacionariedade requer |a1| < 1, e requer também que o número de observações seja grande, ou que o processo esteja ocorrendo ahá um tempo infinitamente longo • Portanto é necessário cuidado ao trabalhar com séries originárias de processos recentes, pois podem não ser estacionárias.

30. Autocorrelação parcial • Mede a intensidade da relação entre duas observações da série, controlando (mantendo constante) o efeito das demais Yt = 11Y1 + t  11= 11 Yt = 11Y1 + 22Y2 + t  22= 22 Yt = k1Y1 + k2Y2 + ...+ kkYk + t  kk= kk • a seqüência de pares (k, kk) constitui a função de autocorrelação parcial

31. Interpretação • Se, por exemplo, numa série mensal, os valores de Yt forem altamente correlacionados com os valores de Yt-12, então a função de autocorrelação parcial deveria exibir um pico na defasagem 12, e nenhum valor significativo nas demais.