通訊原理第二章訊號與線性系統

通訊原理第二章訊號與線性系統 第二章訊號與線性系統

大綱 2.1 訊號模型(Signal Models) 2.2 訊號分類(Signal Classifications) 2.3 廣義轉換(Generalized Transformation) 2.4 傅利葉級數(Fourier Series) 2.5 傅利葉轉換(Fourier Transform) 2.6 功率頻譜密度和相關函數(Power Spectral Density and Correlation Function) 2.7 線性系統(Linear Systems) 2.8 希伯特轉換(Hilbert Transform) 2.9 帶通訊號與系統標準表示式(Canonical Representations of Bandpass Signals/System) 第二章訊號與線性系統

大綱 2.1 訊號模型(Signal Models) • 單位步階訊號 • 單位脈衝訊號 • 弦波訊號 • 指數訊號 2.2 訊號分類(Signal Classifications) 2.3 廣義轉換(Generalized Transformation) 2.4 傅利葉級數(Fourier Series) 2.5 傅利葉轉換(Fourier Transform) 2.6 功率頻譜密度和相關函數(Power Spectral Density and Correlation Function) 2.7 線性系統(Linear Systems) 2.8 希伯特轉換(Hilbert Transform) 2.9 帶通訊號與系統標準表示式(Canonical Representations of Bandpass Signals/System) 第二章訊號與線性系統

單位步階訊號 • 單位步階訊號(unit step signal)以單位步階函數(unit step function or Heaviside unit function)表示之，單位步階函數定義為：第二章訊號與線性系統

單位脈衝訊號 • 單位脈衝訊號(unit impulse signal)以單位脈衝函數(unit impulse function or Dirac delta function)表示之，單位脈衝函數定義為： • 原始的單位脈衝函數之物理意義第二章訊號與線性系統

單位脈衝訊號(續) • 單位脈衝函數之圖示 • 單位脈衝訊號在積分式之運算第二章訊號與線性系統

弦波訊號 • 弦波訊號(sinusoidal signal)表示為：已知弦波訊號是週期訊號(稍後討論)，其週期為T0。 A：振幅峰值(peak amplitude) w0或 f0：基本頻率(fundamental frequency)，簡稱頻率。 θ：相位(phase) 第二章訊號與線性系統

弦波訊號(續) • 給定振幅峰值、頻率及相位三個參數則表示給定了一個弦波訊號。第二章訊號與線性系統

弦波訊號之相位與延遲 • 考量弦波訊號延遲(delay) 後可表示為：訊號x(t)與xd(t)在時間差所造成的效應相當於相位角相差；換言之，兩正弦訊號之相位差為時，代表此兩正弦訊號之時間延遲(time delay)為。第二章訊號與線性系統

弦波訊號之頻率與角頻率 • 弦波訊號中的兩個頻率符號和，其中稱為基本角頻率(fundamental angular frequency)，單位是弳度/秒(rad/sec)；而稱為基本頻率(fundamental frequency)，單位是赫茲(Hz)或1/sec。這兩個頻率之間存在一個常數倍2，即。第二章訊號與線性系統

弦波訊號與其單邊頻譜 振幅 A f0 頻率 f 相位  f0 頻率 f • 餘弦函數表示弦波訊號： • 弦波是一個單頻訊號，可直覺地想成單頻訊號的振幅大小和相位都只集中在單一頻率那一點。 • 橫軸為頻率之方式繪圖稱為頻域表示法，就是所謂的頻譜(spectrum)，此種將訊號頻譜只表示於正頻率(分佈於f 0之繪圖稱為單邊頻譜(single-sided spectrum))。因為單頻訊號的振幅大小和相位都只集中在單一頻率f0那一點，所以頻譜繪圖時以脈衝訊號表示。第二章訊號與線性系統

一般複指數訊號 • 一般複指數訊號(general complex exponential signal)表示為：其中使用了歐拉公式：。訊號x(t)的實部: 與虛部: 之振幅是指數遞增(當 )或遞減(當 )的弦波訊號。第二章訊號與線性系統

複指數訊號 • 複指數訊號(complex exponential signal)為： • 以上複指數訊號為一週期訊號，其基本週期為 • 更完整的關係式可表示為： • A：振幅 • w0或 f0：基本頻率 (簡稱頻率) • θ：相位第二章訊號與線性系統

複指數訊號之旋轉向量表示法 • 一複指數訊號可以看成長度A的線段以定角速度逆時針繞原點旋轉，如下圖所示，其中是t = 0時的相位(相角)，或稱為初始相位(initial phase)。第二章訊號與線性系統

複指數訊號之旋轉向量表示法(範例) • 以旋轉相量表示法描述3個不同的複指數訊號。第二章訊號與線性系統

弦波訊號與其雙邊頻譜 • 利用歐拉公式(Euler formula)將弦波訊號改寫成複指數型式： • 以複指數之相關參數繪製頻譜，可得雙邊頻譜(分佈於f = 0之兩側)。第二章訊號與線性系統

大綱 2.1 訊號模型(Signal Models) 2.2 訊號分類(Signal Classifications) • 連續時間訊號與離散時間訊號 • 類比訊號與數位訊號 • 週期訊號及非週期訊號 • 奇訊號及偶訊號 • 定型訊號及隨機訊號 • 功率訊號及能量訊號 2.3 廣義轉換(Generalized Transformation) 2.4 傅利葉級數(Fourier Series) 2.5 傅利葉轉換(Fourier Transform) 2.6 功率頻譜密度和相關函數(Power Spectral Density and Correlation Function) 2.7 線性系統(Linear Systems) 2.8 希伯特轉換(Hilbert Transform) 2.9 帶通訊號與系統標準表示式(Canonical Representations of Bandpass Signals/System) 第二章訊號與線性系統

連續時間訊號與離散時間訊號 • 連續時間訊號(continuous-time signal)：連續時間訊號以函數x(t)表示之，其中t是連續時間變數。 • 離散時間訊號(discrete-time signal) ：離散時間訊號只定義在離散的時間點上，一般以離散時間變數n的序列(sequence)x[n]表示之，其中變數n為整數。離散時間訊號的例子連續時間訊號的例子第二章訊號與線性系統

連續時間訊號與其取樣訊號 • 取樣(sampling) ：連續時間訊號x(t)在離散時間點的函數值稱為x(t)的取樣(samples)，由取樣組成的離散時間訊號以序列形式表示：第二章訊號與線性系統

類比訊號與數位訊號 • 類比訊號(analog signal)：訊號之振幅大小(強度)用任意區間[a, b]之連續數值描述之連續值訊號(continuous-valued signal)，其中a和b可以分別為和。 • 數位訊號(digital signal)：訊號之振幅大小用離散(或有限個數)數值描述之離散值訊號(discrete-valued signal)。第二章訊號與線性系統

週期訊號及非週期訊號 • 週期訊號(periodic signal)：連續時間訊號x(t)滿足條件 • 非週期訊號(nonperiodic or aperiodic signal)：任何不滿足上述週期特性的連續時間訊號x(t) 。 • 連續時間訊號週期特性可表示成所有t及任意正整數m T0為週期訊號x(t)的基本週期(fundamental period) ，f0 =1/T0稱為基本頻率(fundamental frequency) 。 • 離散時間訊號x[n]的週期特性可表示成 N0為週期序列x[n]的基本週期。第二章訊號與線性系統

週期訊號的例子 (a) 連續時間週期訊號的例子 (b) 離散時間週期訊號的例子第二章訊號與線性系統

奇訊號及偶訊號 • 偶訊號(even signal)：訊號x(t)或序列x[n]滿足條件 • 奇訊號(odd signal)：訊號x(t)或序列x[n]滿足條件一個偶訊號的例子一個奇訊號的例子第二章訊號與線性系統

訊號表示成奇訊號與偶訊號之和 • 訊號可以表示成一個奇訊號與偶訊號之和其中第二章訊號與線性系統

定型訊號及隨機訊號 • 定型訊號(deterministic signal)是在任何給定時間其數值是可預知的，也就是說定型訊號可用已知的函數加以描述或表示。 • 有些訊號在任何給定時間的數值是隨機而不可預知，此種不能用已知的數學式描述而必須用機率及統計特性描述的訊號稱為隨機訊號(random signal)。 • 給定一訊號可表示為若w0與是常數則x(t)是定型訊號(給定任意t值皆可預知x(t)值)。反之，若w0是常數，而 =/3或  =/3的機率各半，此情況下的x(t)則為隨機訊號(即使給定t值，我們也無法預知x(t)值，因為無法預知)。第二章訊號與線性系統

訊號之功率與能量 • 任意連續時間訊號x(t)的總能量(total energy) E及平均功率(average power) P分別定義為: • 離散時間訊號x[n]的總能量E及平均功率P分別定義為：第二章訊號與線性系統

功率訊號及能量訊號 • 訊號x(t)的總能量E有定義而且為有限值，亦即，那麼此訊號稱為能量訊號。 • 如果訊號x(t)的平均功率P有定義而且為有限值，亦即此訊號則稱為功率訊號。 • 假如一訊號不符合上述能量及功率特性，則此訊號既非能量訊號也非功率訊號。 • 訊號其總能量為因為x(t)的總能量有限，亦即，此訊號為能量訊號。第二章訊號與線性系統

功率訊號及能量訊號(續) • 一週期為T0的週期訊號其平均功率為因為x(t)的平均功率值有限，亦即，此訊號為功率訊號。 • 訊號其總能量為其平均功率為 x(t)的總能量和平均功率皆為，因此這個訊號既非能量訊號也非功率訊號。第二章訊號與線性系統

正交基底函數 • 給定一組訊號，若其中任何兩個訊號和滿足下列條件：則稱此組訊號在區間正交(orthogonal)。 • 若將每一個函數的大小皆為1，即上式 = 1，稱被正規化(normalized) 。 • 一組正規化正交函數稱為規一正交基底組(orthonormal basis set)。 • 複指數在任意週期區間正交。第二章訊號與線性系統

訊號之廣義級數表示 • 一T0秒區間(t0 ,t0+T0 )訊號x(t)可以用規一正交基底組：表示成 • Parseval定理第二章訊號與線性系統

傅利葉級數觀念與表示方式 • 任何週期訊號 x(t) 可由不同的振幅、頻率和相位之弦波所組成，這便是傅利葉級數要陳述的觀念。傅利葉分析可證明一基本頻率為f0的週期訊號可以表示成一傅利葉級數，數學上對可以表示成傅利葉級數之訊號有以下嚴謹的限制條件： • 在任意週期內為絕對可積分，即。 • 任意有限時間區間內， x(t)極值(包括極大與極小)的個數有限。 • 任意有限時間區間內， x(t) 不連續點的個數有限且這些不連續點也必須有限值。 • 傅利葉級數有以下三種表示式： • 複指數傅利葉級數(complex exponential Fourier series) • 三角傅利葉級數(trigonometric Fourier series) • 諧波型式傅利葉級數(harmonic form Fourier series) 第二章訊號與線性系統

複指數傅利葉級數 • 一個基本頻率為 f0的週期訊號可表示成複指數傅利葉級數：其中稱為複數傅利葉係數，係數計算式中表示積分一個週期，積分上下限最常用0到或到。 • 當n = 0 時係數為：係數c0代表訊號在一個週期內的平均值，因為是週期訊號，一個週期內的平均值也就是整個訊號的平均值，此平均值表示訊號的直流成份(dc component)。 • 若x(t)是實數週期訊號，那麼可得：其中 * 代表複數共軛(complex conjugate)。第二章訊號與線性系統

三角傅利葉級數 • 一個基本頻率為f0的週期訊號也可表示成所謂的三角傅利葉級數：其中第二章訊號與線性系統

三角傅利葉級數(續) • 利用歐拉公式可以很容易找出複指數傅利葉級數與三角傅利葉級數之間係數的關係，可得係數關係式：若週期訊號為實數，可知與為實數，且因此可得：第二章訊號與線性系統

三角傅利葉級數(續) • 若週期訊號為偶函數，三角傅利葉級數簡化成： • 若週期訊號為奇函數，三角傅利葉級數簡化成：第二章訊號與線性系統

諧波型式傅利葉級數 • 諧波型式傅利葉級數：其中代表週期訊號的直流成份；稱為週期訊號的基本成份(fundamental component)，因為這一項與有相同基本頻率；稱為週期訊號的第n次諧波成份(the nth harmonic component)，稱為諧波振幅(harmonic amplitudes)以及稱為相角(phase angle)。第二章訊號與線性系統

傅利葉級數物理意義解析 • 觀察前述週期訊號的傅利葉級數表示式，綜合整理並說明幾個重點或所代表的物理意義如下： • C0 = c0 = a0/2 代表週期訊號的直流成份，即週期訊號的平均值。 • 基本頻率f0之週期訊號可分解成不同頻率之成份，或是說由不同頻率成份可組成此週期訊號，其中每一個頻率成份都是單頻的弦波(或複指數)型式，其頻率分別是的f0整數倍。這個最小頻率f0稱為此週期訊號之基本頻率。其他的整數n倍頻率稱為諧波(harmonics) ，即稱為n次諧波，例如 3f0稱為3次諧波。 • 週期訊號的週期與其基本頻率成份這個弦波的週期相等。 • 雖然列述三種傅利葉級數表示式，其實這三種表示式都是互相等效的(可以互相轉換得到)，複數型式最具一般性，而且計算較簡易。第二章訊號與線性系統

週期訊號的功率分析 • 週期為的週期訊號之平均功率計算式: • 若將此週期訊號表示成複指數傅利葉級數，上述平均功率計算式可改寫成: 上式推導用到複數共軛、積分 與加總運算互換第二章訊號與線性系統

週期訊號的功率分析(續) • 傅利葉級數的Parseval定理(Parseval theorem)或Parseval等式(Parseval identity) • 將複指數與三角傅利葉級數的係數關係式代入上式，計算整理後可得到：第二章訊號與線性系統

週期訊號的雙邊頻譜分析 • 將基本頻率f0之週期訊號展開成複指數傅利葉級數改寫為：繪出對應頻率圖以及對應頻率圖，分別稱為週期訊號的振幅頻譜(amplitude spectrum)和相位頻譜(phase spectrum) 。 • 因為n為整數，所以週期訊號的振幅頻譜和相位頻譜是離散的(只分佈在頻率nf0的地方)，此種頻譜歸類於離散頻譜(discrete frequency spectra)或線形頻譜(line spectra)。 • 如果週期訊號是實數，那麼可知，因此這個式子說明實數週期訊號的振幅頻譜是偶函數，而相位頻譜是奇函數。第二章訊號與線性系統

週期訊號的單邊頻譜分析 • 當週期訊號是實數時，基本頻率f0之週期訊號可展開成諧波型式傅利葉級數 • 繪出Cn對應頻率圖以及n對應頻率圖，完成實數週期訊號單邊頻譜分析。同樣地，上述傅利葉級數分析可知實數週期訊號由弦波組成，其頻譜是呈現離散形式分佈。第二章訊號與線性系統

傅利葉級數範例 • 一方波週期訊號x(t)之時域波形，其週期為T0(基本頻率為f0) 複指數傅利葉級數之係數：第二章訊號與線性系統

傅利葉級數範例(續) • 複指數傅利葉級數之係數改寫為 • 此方波週期訊號表示成複指數傅利葉級數式展開式： • 三角傅利葉級數式展開式：第二章訊號與線性系統

傅利葉級數範例(續) 方波週期訊號之傅利葉級數分析第二章訊號與線性系統

傅利葉級數範例(續) 方波週期訊號之傅利葉級數分析(續) 第二章訊號與線性系統

傅利葉級數範例(續) • 時域上計算平均功率： • 以複指數傅利葉級數計算平均功率根據Parseval等式，上述兩種結果要相等，得到一個無窮序列和之公式，即第二章訊號與線性系統

傅利葉級數範例(續) (a) 振幅頻譜方波週期訊號之雙邊頻譜 (b) 相位頻譜第二章訊號與線性系統

傅利葉級數範例(續) • 實數週期訊號的振幅頻譜是偶函數，而相位頻譜是奇函數。如果傅利葉級數展開式各成份之相位只是0、或時，cn為實數，因此各成份之相位以正負號方式呈現在cn，此情況可將振幅頻譜和相位頻譜合併繪圖，即繪出cn對應頻率圖。第二章訊號與線性系統

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