第三章 一元流体动力学基础

1. 第三章 一元流体动力学基础 第一节 流动分类 按照空间维数分： 一元流动：流体的物理量仅于一个坐标自变量有关。 二元流动：流体的物理量仅于二个坐标自变量有关 三元流动：流体的物理量仅于三个坐标自变量有关。

2. 按照流体性质分： 理想流体流动：流体流动不考虑粘性力影响。 粘性流体流动：流体流动考虑粘性力影响。 不可压缩流体流动：不考虑流体压缩性(ρ为常数)的流动 可压缩流体流动：考虑流体压缩性(ρ不为常数)的流动

3. 按照运动状态: 定常流动(steady flow) :流动物理参数不随时间而变化 非定常流动(unsteady flow) :流动物理参数随时间而变化 定常流动 非定常流动

4. 有旋流动(rotational flow)：流体在流动中，流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动 无旋流动(irrotational flow)：在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动 有旋流动 无旋流动 亚音速流动(subsonic flow) 超音速流动(supersonic flow)

5. 层流流动(laminar flow)：流体流动呈一簇互相平行的流线 或者说：流体质点以互不干扰的细流前进 紊流流动(turbulent flow)：流体流动呈现一种紊乱不规则的状态 层流流动 过渡流动 紊流流动

6. z 2 1 x y 第二节 描述流体运动的两种方法 拉格朗日法与欧拉法 流场（Flow Field）：流体质点运动的全部空间 1.拉格朗日法：（法国科学家Lagrange的观点）追随每一个流体质点的运动，从而研究整个流场。 或者说：以流场中某一点作为描述对象 描述它们的位置及其它的物理量对时间的变化 例如在某t时刻： 1点： 2点：

7. z 2 1 x y 2.欧拉法：以流场中每一空间位置作为描述对象，描述这些位置上流体物理参数对时间的分布规律 例如在某t时刻： 1点： t1时刻： t2时刻

8. 欧拉法与拉格朗日法区别： 欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 的流动状况 拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 部流动过程 • 在流场中，由于辨认空间比辨认某一个质点容易。因此，欧拉法在流体力学中被广泛采用。 • 在流动的流体中有无数个流体质点，要用拉格朗日法描述每个质点的运动是很困难甚至不可能,很难实现，在流体力学中不常采用。一般在稀薄气体动力学和数值计算中用得较多。 例如：水从管中以怎样的速度流出，风经过门窗等等，只要知道一定地点（水龙头处）一定断面（门窗洞口断面），而不需要了解某一质点， 或某一流体集团的全部流动过程

9. 第三节、流线与迹线 1、迹线(path line)：运动中的某一流体质点，在连续时间内所占据空间点的连线，即质点运动的轨迹 例如：在流动的水面上洒上一些木屑，木屑随水流漂流的途径就是某一水点的运动轨迹 迹线是流体运动的一种几何表示，属于拉格朗日法的研究内容 2、流线(streamline)：流线是某一瞬时在流速场中的一条描述流动状态的曲线，曲线上任一点的速度方向和该点的切线方向重合。 即：流线是同一时刻，不同流体质点所组成的曲线

10. 流线可以形象地给出流场的流动状态。 • 通过流线，可以清楚地看出某时刻流场中各点的速度方向 • 由流线的密集程度，可以判定出速度的大小。流线的引入是欧拉法的研究特点。 例如：在流动水面上同时撤一大片木屑，这时可看到这些木屑将连成若干条曲线，每一条曲线表示在同一瞬时各水点的流动方向线就是流线。 • 流线具有下面四个特性； • 在定常流动时，因为流场中各流体质点的速度不随时间变化，所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流线和迹线相重合。而在非定常流动时，一般说来流线要随时间变化，故流线和迹线不相重合。

11. 2 . 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流 线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零或无穷大的那些点，流线可以相交，这是因为，在这些点上不会出现在同一点上存在不同流动方向的问题。速度为零的点称驻点，速度为无穷大的点称为奇点。 • 流线不能突然折转，只能平缓过渡。 • 流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的地方，表示该处的流速较小。 流线的微分方程式。

12. 第四节 流体力学中的几个基本概念 1、流管 在流场内，取任意非流线且不相交的封闭曲线。经此曲线上全部点作流线，这些流线组成的管状流面，称为流管。 2、流束 微小流束（元流） 流管以内的流体，称为流束。 垂直于流束的断面称为流束的过流断面（过流断面）。 当流束的过流断面无限小时，这根流束就称为微小流束（元流） 3、总流 若整个流动可看作无数微小流束相加,这样的流动总体称为总流。

13. 4、流量(Flow Rate) 单位时间内，经横截面积上流过的流体体积，称为体积流量， 简称流量，单位是m3/s。 • 微细流的流量dQ与截面积dA、速度u 的关系是： dQ=udA 则整体流量 5、平均流速(Average Velocity)： 6、质量流量：

14. 第五节 流体运动的连续性方程(equation of continuity) 连续性条件：流体流动是连续地充满着它所占据的空间的，即流体内部没有空隙或不连续的地方。 • 一元流动的连续性方程推导： • 在管道中取一微小流束，并取一微小段ds，设流进ds的面积为dA,速度为u。 • 则单位时间内流进和流出微小段ds内的流体质量之和为 （质量守恒）

15. 略去高阶微项后，上式简化为 则： ρudA=常数 （连续性方程） 在整个截面积上积分后得 ρvA=ρQ=常数 即：ρ1 v1 A1=ρ2v2 A2=常数 • 对于不可压缩性流体，则有： v1 A1=v2 A2= v A=Q=常数

16. 三元流动的连续性方程运用质量守恒定律还可以导出空间流动的连续性方程，其表达式为三元流动的连续性方程运用质量守恒定律还可以导出空间流动的连续性方程，其表达式为 该方程适用于不可压缩流体，对于恒定流和非恒定流均适用。 例题：P56

17. dy p dz dx z o x y 第六节 理想流体的运动微分方程 （Euler’s Equation of Motion) 一、推导过程 在某一给定的瞬间，从流动的不可压缩性理想流体中任取一微平行六面体。 • 其中心点压力为p。进行受力分析（以x方向为例）。 • 表面力： 在x轴方向上作用在微六面体上的压力共为：

18. dy p dz dx z o x y 质量力：设在x轴方向上流体单位质量的质量力分别为X，则在这个方向上微六面体的质量力为Xρdxdydz。 • 设微六面体加速度在x轴上的分量为 则惯性力是 根据牛顿第二运动定律： 质量力 + 表面力 = 惯性力 整理得：

19. 同理 • 上式称为理想流体运动微分方程式，又称欧拉运动微分方程式，是1755年由欧拉提出的。

20. 2、对于恒定流，上式将不出现 二、方程的讨论 1、因为：ux= f(x.y.z .t), uy = f(x.y.z .t),uz = f(x.y.z .t), 则上面的式子可以写成：

21. 3、对于静止流体，ux=uy=uz=0，则上式变为平衡微分方程式3、对于静止流体，ux=uy=uz=0，则上式变为平衡微分方程式

22. 第七节 理想流体微小流束的柏努利方程 (Bernoulli Equation) 一、方程的推导 1、前提条件 假定不可压缩性的理想流体的微元流束（沿着一条流线）在重力场作恒定流动。 2、理论基础 欧拉运动微分方程式。 3、推导过程 dx dy dz (1)

23. 将左端式相加，假定流动为恒定流,则： 根据流线方程有： 即： 将该式带入（1）左边，则有： 将上述三式相加则：

24. dx dy dz 而合速度u与三个座标轴上的分速度之间的关系是： 所以 即左式：

25. 由于是恒定流， dx dy dz 再看右端三式相加： 由于是在重力场中，故流体的质量力只是重力，则 X=0， Y＝0， Z＝－g。 所以: Xdx+Ydy＋Zdz=-gdz 所以方程（1）式变为： 所以压强的全微分 (2) 对于非压缩性流体，ρ=常数，上式可写成： 于是，右边三式相加变为：

26. 积分后得 考虑到重度γ=ρg，将上式两端除以重力加速度g，得： （3） • 对于微元流束1－1及2－2两个位置上的流体质点 （4） • （3）、（4）式是不可压缩的理想流体微细流在重力场中作恒定流动时的柏努利方程式，它是欧拉运动方程式在特定条件下沿流线积分的结果。

27. P2/γ P1/γ Z1 二、方程的意义 1、物理意义 • Z----单位重量的流体对于基准面所具有的位能。 • P/γ-----单位重量流体所具有的压力势能

28. -----单位重量流体所具有的动能，相当于流体以初速度u1和u2向上垂直时所上升的高度-----单位重量流体所具有的动能，相当于流体以初速度u1和u2向上垂直时所上升的高度 P2/γ P1/γ Z1 • 在管道截面1－1、2－2上插入测压管。在流体压强的作用之下，测压管内出现高度为p1/γ、p2／γ的流体柱， • 测速管的管嘴正迎向流过来的流体，故不但感受到流体静压强的作用，还能感受流体速度的作用。因而流体在测速管内上升的高度比测压管高。

29. P2/γ P1/γ Z1 • 该式表示单位重量流体的机械能之和，在理想流体微细流的各个截面上，全部机械能保持不变。 • 机械能之间是可以互相转换的，某种形式的机械能的变化必然导致其它形式的机械能发生相应的变化。

30. -----压力势能所产生的流体柱的高度，称为静压头。-----压力势能所产生的流体柱的高度，称为静压头。 ----是动能所产生的流体柱的高度，称为速度压头或动压头。 P2/γ P1/γ Z1 • 2、几何意义 • 柏努利方程式中各项均表示流体柱的高度，故均称之为压头。 • Z=hz-------位置高度，称为几何压头或位压头。 • 上述三种压头之和也可以用一总的流体柱高度H表示，称为总压头。 • 因此，柏努利方程式可写为：H=hz+hp+hd=常数

31. P2/γ P1/γ Z1 • 三、实际流体微小流束的柏努利方程 • 对于不可压缩粘性流体的微细流作恒定时，若流体从1—1截面流向2—2截面，有: 此时的柏努利方程式可以写成： • 式中hL1-2是因克服截面1－1与2－2之间的阻力， 即：单位重量流体所消耗的机械能（或压头）称为压头损失. (单位为米)

32. P2/γ P1/γ Z1 微细流 • 第八节 实际流体总流的柏努利方程 • 解决实际问题要将微细流柏努利方程式扩大到整体。 • 在整体流中分出一条截面积为dA的微细流，在单位时间内经截面dA流过的流体具有的机械能为： 而对于整体流，在单位时间内经截面积A流过的流体所具有的机械能则为：

33. 假设流体流动为渐（缓）变流 即：各条微细流的发散角很小，曲率也很小的流动。 • 特点：各条微细流的速度均垂直于液（气）流的横截面，在横截面上均无速度u及加速度的分量。 • 由此可知，缓变流在液（气）流的横截面上压强依照流体静力学的规律分布，即在截面积A各点上有： 因此：

34. 若在截面积A上平均流速v=Q/A，局部速度u与平均速度之差值为±△u，若在截面积A上平均流速v=Q/A，局部速度u与平均速度之差值为±△u， u=v±△u 于是上式右端第二项的积分可写成： 式中 之值很小，可以略去。 由于 所以 则

35. 于是： 式中： 称为动能修正系数，或称科里奥里斯系数。 • 通常，α值通过实验确定。对于在圆形管道中的恒定缓变流 层流时， 因而α=2； 在湍流时， 因而α=1.05～1.10。 注：在处理流体在管道中作湍流运动的问题时，都大致上取α=1。

36. 焦／牛或米 将上面的式两端同时除以从截面上流过的流体重量γQ，则得出截面上单位重量的流体的机械能 于是对于粘性流体的整体，作恒定流动时，在由截面1－1流向 截面2－2之间流体的柏努利方程式是： 取α=1，则：

37. 注：理想流体的总水头线是一条水平线 实际流体的总水头线是一条斜线

38. 若管道系统中还装有对流体作功的机械装置（如风机、泵等）能使单位重量的流体所获得的外加有效机械能为H1焦/牛或米，若管道系统中还装有对流体作功的机械装置（如风机、泵等）能使单位重量的流体所获得的外加有效机械能为H1焦/牛或米， 则柏努利方程式可写成：

39. 1 2 第九节 柏努利方程的应用 一、应用条件 应用柏努利方程式要注意到下列各点： 1．柏努利方程式前提条件为缓变流，因此过流断面的选取必须符合缓变流的条件，即该处流体不能急剧扩散，不能急剧转弯。

40. 2．截面1与2之间的压强相差不大(气), • 综上所述，柏努利方程式的应用条件： • 恒定流动； • 质量力仅有重力； • 流体为不可压缩流体，对于气体， • 所取过流断面截面处为缓变流 • 如果两截面之间的压强相差较大，则应该充分考虑流体的压缩性带来的影响。 二、应用举例 1、在生产过程中利用设备位置的高差来使流体以一定的流速或流量流动，如水塔、高位槽及虹吸等。这时，需要根据高度差来求流量，或求出欲达到某一流量须保持若干高度差。

41. 1 1 h 2 基准面 2 • 如图所示，水槽液面至管道出口的垂直距离保持着h=6.2米，水管全长330米，管径为114╳4毫米。如果在此流动系统中压头损失为6米水柱，试求管道中水每分钟可达到的流量。 求解思路与步骤： 首先：取有效断面 水槽液面为1－1截面，水流出口为2－2截面，列柏努利方程式为： 分析：几何压头： 取出水管中心线所在的水平面为基准面，则： z1=h=6.2m，z2=0；

42. 1 1 h 2 基准面 2 静压头： p1=p2=0（相对压） 动压头： v1=0；v2=？ 阻力损失：hl1-2=6m 代入上式后得 管道内径：D=114-2×4=106(mm) 因此水流量：

43. b a 基准面 2、皮托管测速工作原理 取有效断面a与b,沿ab流线列微小流束柏努利方程

44. 1 2 3、文丘里管流量计工作原理 • 假设理想流体力学模型 • 选有效断面1与2 列伯努利方程：

45. 1 2 书上例题3-8，3-9

46. 1 1 h 2 基准面 2 三、小结 应用柏努利方程解决实际问题时应注意的问题 1、方程中各项单位用SI制； 2、p可以用绝对压，也可以用相对压，但方程两边必须一致； 3、z向上为正，向下为负，其单位为米流体柱（所选流体，而非压力测量的指示流体）； 4、两截面间阻力损失加在下游截面，外加机械功加在上游截面； 5、截面选取的原则：截面必须与流向垂直，截面要选在已知量较多的地方，至少有一个截面包含所求的未知量； 6、基准面选取的原则：基准面必须是水平面，基准面一般与一个截面重合。

47. 第十节 流体的动量方程 流体与固体壁面之间的作用力问题 连续性方程式 流体动力学中的三个基本方程式： 柏努利方程式 动量方程式 从质量、能量、动量三个方面去说明流体流动时的规律 一、运用动量原理推导动量方程 动量原理：作用于物体的冲量等于物体的动量增量, 即：

48. 2’ 2 A 将动量原理作用于作恒定流动的流体。 在流体中取一流束，用截面1-1和2-2截取一流段 在任意小的时间间隔dt内， 截面1-1到了1’-1’的位置， 截面2-2到了2’-2’的位置， 此时，动量发生变化。 动量的增量 = 体积1-1-2-2与1’-1’- 2’-2’内的流体动量的几何差。 由于是恒定流，任一固定点上流体的速度、密度、压强等均不随时间的推移而改变，因此，在体积A内随着时间的推移，流体的质点被替换了，但该区内的动量不会改变。 所以，整个流段动量变化是由于体积D与C动量的不同而引起。

49. A 在体积D内流体的质量是： 在体积C内流体的质量是： 动量的增量为： 在单位时间内动量的变化： 由动量定理： 对于恒定流，根据连续性方程式： 则 动量方程式 或者

50. 或者 • 作用于流体引起其动量变化的外力包括质量力（重力等）及表面力（压力、固体壁面阻碍力及摩擦力等）。 • 合力则是这些力的矢量和。由于使用动量方程式时牵涉到好几个矢量的和差计算，为方便起见，最好先将这些量分解到x、y轴上，求出其分量，然后再进行合成。