Energiebetrachtung

1. Energiebetrachtung • Die Bahnradien der Elektronen sind ein Maß für deren Energie • Aus den Elektronenbahnen kann damit eine grafische Darstellung der Elektronenenergie abgeleitet werden Halbleiterphysik Prof. Goßner

2. Energie-Term-Schema Radius Energie Energie • Man überträgt die kreisförmigen Elektronenbahnen eines einzelnen Atomes in gerade Linien in einem Energiediagramm • Man erhält das sog.Energie-Term-Schema • Jeder Elektronenbahn entspricht eine einzelne Linie im Energiediagramm (ein einzelner Energieterm) Halbleiterphysik Prof. Goßner

3. Energiebänder-Schema Energie • Die zahllosen einzelnen Energieterme gehen in Energiebänder über • Die Elektronen vieler Atome (z.B. in einem Kristall) beeinflussen sich gegenseitig • Die einzelnen Energieterme lassen sich nicht mehr unterscheiden • Energien zwischen den Energiebändern sind nicht möglich (verbotene Bänder) Halbleiterphysik Prof. Goßner

4. Energiebänder-Schema • Das Energieband der äußersten Elektronenschale wird Valenzband genannt Energie Leitungsband • Oberhalb des Valenzbandes befindet sich ein Energiebereich, den Elektronen einnehmen, die sich von ihren Atomen getrennt haben (freie Elektronen) Valenzband • Da freie Elektronen zur Stromleitung beitragen können, spricht man vom Leitungsband Halbleiterphysik Prof. Goßner

5. Energiebänder-Modell Energie Leitungsband Verbotenes Band Valenzband • Reaktionen mit anderen Atomen und elektrische Vorgänge werden nur durch Elektronen im Valenzband und im Leitungsband bestimmt • Üblicherweise werden daher nur diese Energiebänder und das dazwischen liegende verbotene Band dargestellt Halbleiterphysik Prof. Goßner

6. Energiebänder-Modell W Wvac Wvac Wvac Wvac Leitungsband Verbotenes Band W W W W Valenzband WC WC WC WV WV WV WV WC • Die Oberkante des Valenzbandes liegt bei der Energie WV • Die Unterkante des Leitungsbandes liegt bei der Energie WC • WC – WV = W ist die Ausdehnung des verbotenen Bandes (Bandabstand) • Elektronen, die die Energie Wvac überschreiten, können den Kristall verlassen Halbleiterphysik Prof. Goßner

7. Energiebänder-Modell von Metallen W • Bei Metallen überlappen sich Valenzband und Leitungsband Leitungsband • Die Unterkante WC des Leitungsbandes liegt tiefer als die Oberkante WV des Valenzbandes WV Überlappung WC Valenzband • Valenzelektronen können damit ins Leitungsband wechseln, ohne Energie aufnehmen zu müssen Halbleiterphysik Prof. Goßner

8. Energiebänder-Modell von Halbleitern W W Leitungsband Leitungsband WC WC Verbotenes Band Verbotenes Band W W WV WV Valenzband Valenzband • Bei Halbleitern existiert ein verbotenes Band zwischen Valenzband und Leitungsband • Bei Germanium beträgt der Bandabstand W  0,7 eV • Bei Silizium beträgt der Bandabstand W  1,1 eV Halbleiterphysik Prof. Goßner

9. Energiebänder-Modell von reinen Halbleitern W Leitungsband WC Verbotenes Band W WV Valenzband • Bei T = 0 K halten sich alle Valenzelektronen im Valenzband auf • Bei T = 0 K ist der Halbleiter ein Isolator. Das Leitungsband ist leer Halbleiterphysik Prof. Goßner

10. Energiebänder-Modell von reinen Halbleitern W Leitungsband WC W Verbotenes Band W WV Valenzband • Bei T > 0 K nehmen die Elektronen Energie auf. • Beträgt die Energieaufnahme bei einem Elektron  W, so wird es ins Leitungsband angehoben • Im Valenzband bleibt ein nicht besetzter Energieterm zurück, ein Loch • Freie Elektronen und Löcher entstehen beim reinen Halbleiter immer paarweise:  Paarbildung Halbleiterphysik Prof. Goßner

11. Energiebänder-Modell von Nichtleitern W Leitungsband (immer unbesetzt) WC W Verbotenes Band WV Valenzband (immer voll besetzt) • Es ist nicht möglich Valenzelektronen eine Energie von mehr als ca. 2,5 eV zuzuführen • Materialien mit einem Bandabstand von W  2,5 eV sind daher Nichtleiter (Isolatoren) • Beispiel: Diamant W  7 eV Halbleiterphysik Prof. Goßner

12. Energieverteilung der Ladungsträger • Es gilt: n(W) = D(W) · P(W) • Über die Energieverteilung der Ladungsträger können nur Wahrscheinlichkeits-Aussagen getroffen werden • Die Ladungsträgerdichte n(W) auf einem bestimmten Energieniveau hängt ab • von der dort herrschenden Dichte D(W) der besetzbaren Energieterme (= Zustandsdichte) und • von der Wahrscheinlichkeit P(W), daß die einzelnen Energieterme mit Ladungsträgern besetzt sind Halbleiterphysik Prof. Goßner

13. Dichte besetzbarer Energieterme = Zustandsdichte W Dn(W) WC WV Dp(W) In der Nähe der Bandkanten gilt für die Zustandsdichte näherungsweise: Bei Null beginnend wächst die Zustandsdichte zum Bandinneren hin Halbleiterphysik Prof. Goßner

14. Besetzungswahrscheinlichkeit • Die Besetzungswahrscheinlichkeit der Energieterme folgt der Fermi-Dirac-Verteilung k = 1,38 ·10-23 Ws/K (Boltzmann-Konstante) T = absolute Temperatur WF = Fermi-Niveau (Fermi-Energie) Halbleiterphysik Prof. Goßner

15. Besetzungswahrscheinlichkeit bei T = 0 K • Besetzungswahrscheinlichkeit bei T = 0 K P(W>WF) = 0 • Für W > WF Halbleiterphysik Prof. Goßner

16. Besetzungswahrscheinlichkeit bei T = 0 K • Besetzungswahrscheinlichkeit bei T = 0 K P(W<WF) = 1 • Für W < WF Halbleiterphysik Prof. Goßner

17. Besetzungswahrscheinlichkeit bei T = 0 K W WF 0,5 1 0 P(W) Bei T = 0 K ergibt die Fermi-Dirac-Verteilung eine Sprungfunktion • Bei T = 0 K sind alle Energieniveaus oberhalb von WF unbesetzt [P(W) = 0] • Bei T = 0 K sind alle Energieniveaus unterhalb von WF besetzt [P(W) = 1] Halbleiterphysik Prof. Goßner

18. Besetzungswahrscheinlichkeit bei T > 0 K W 500 K • Bei W = WF beträgt die Besetzungswahrscheinlichkeit: WF WF WF WF WF 300 K P(WF) = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 0 P(W) • Bei T > 0 K ergibt die Fermi-Dirac-Verteilung einen stetigen Übergang von P(W) = 0 zu P(W) = 1 Halbleiterphysik Prof. Goßner

19. Lage des Fermi-Niveaus bei reiner Eigenleitung W Leitungsband WC WF WF WF WF WV Valenzband • Beim reinen (nicht dotierten) Halbleiter liegt das Fermi-Niveau in der Mitte des verbotenen Bandes Halbleiterphysik Prof. Goßner

20. Ladungsträgerverteilung bei Eigenleitung T = 0K • Alle besetzbaren Energieterme unterhalb des Fermi-Niveaus (also im Valenzband) sind vollständig mit Elektronen besetzt. Es gibt keine Löcher • Alle besetzbaren Energieterme oberhalb des Fermi-Niveaus (also im Leitungsband) sind unbesetzt. Es gibt keine freien Elektronen. Halbleiterphysik Prof. Goßner

21. Ladungsträgerverteilung bei Eigenleitung T > 0K • Durch Energiezufuhr werden Elektronen aus dem Valenzband ins Leitungsband angehoben (Paarbildung) • Freie Elektronen im Leitungsband • Gleich viele Löcher im Valenzband • Einzelne Elektronen fallen unter Energieabgabe vom Leitungsband ins Valenzband zurück (Rekombination) • Freie Elektronen und Löcher löschen sich gegenseitig aus • Temperaturabhängiges Gleichgewicht zwischen Paarbildung und Rekombination (Intrinsic-Konzentration) Halbleiterphysik Prof. Goßner

22. Ladungsträgerverteilung bei Eigenleitung • Für die Energieverteilung der freien Elektronen im Leitungsband gilt: • Für die Energieverteilung der Löcher im Valenzband gilt: (n(W) bzw. p(W) = Ladungsträgerdichte pro Intervall dW) Halbleiterphysik Prof. Goßner

23. Ladungsträgerverteilung bei Eigenleitung W W W n(W) Dn(W) WC WF WV p(W) Dp(W) P(W) 0,5 1 0 Ladungsträgerverteilung bei Eigenleitung Das Integral von p(W) über das gesamte Valenzband ergibt ebenfalls die Intrinsicdichte ni Energieverteilung der Löcher Das Integral von n(W) über das gesamte Leitungsband ergibt die Intrinsicdichte ni Energieverteilung freier Elektronen  {1-P(W)} Dp(W) = p(W)  P(W) Dn(W) = n(W) Fläche = ni Fläche = ni Halbleiterphysik Prof. Goßner

24. Energiebändermodell bei Störstellenleitung • Durch Dotieren des Halbleiters treten besetzbare Energieterme im verbotenen Band auf • sog. Störterme • Die Störterme beeinflussen die Lage des Fermi-Niveaus Halbleiterphysik Prof. Goßner

25. Energiebändermodell bei n-leitendem Halbleiter W Leitungsband WC WF Störterme WV Valenzband • n-leitende Element-Halbleiter sind mit 5-wertigen Fremdatomen dotiert • Das jeweils fünfte Valenzelektron besitzt eine Energie im verbotenen Band nahe der Leitbandkante (Störterme) • Dadurch verschiebt sich das Fermi-Niveau in Richtung Leitbandkante Halbleiterphysik Prof. Goßner

26. Ladungsträgerverteilung bei n-Leitung W W W n(W) Dn(W) WC WF WV p(W) Dp(W) P(W) 0,5 1 0 Ladungsträgerverteilung bei n-Leitung Energieverteilung der Löcher Energieverteilung freier Elektronen Das Integral von n(W) über das gesamte Leitungsband ergibt die Majoritätsträgerdichte Das Integral von p(W) über das gesamte Valenzband ergibt die Minoritätsträgerdichte Unterhalb der Leitbandkante treten Störterme auf Das Ferminiveau verschiebt sich in Richtung Leitungsband  {1-P(W)} Dp(W) = p(W)  P(W) Dn(W) = n(W) Majoritätsträger Minoritätsträger Halbleiterphysik Prof. Goßner

27. Ladungsträgerverteilung bei p-Leitung W W W n(W) Dn(W) WC WF WV p(W) Dp(W) P(W) 0,5 1 0 Ladungsträgerverteilung bei p-Leitung Energieverteilung der Löcher Energieverteilung freier Elektronen Das Integral von n(W) über das gesamte Leitungsband ergibt die Minoritätsträgerdichte Das Integral von p(W) über das gesamte Valenzband ergibt die Majoritätsträgerdichte Das Ferminiveau verschiebt sich in Richtung Valenzband Oberhalb der Valenzbandkante treten Störterme auf  {1-P(W)} Dp(W) = p(W)  P(W) Dn(W) = n(W) Minoritätsträger Majoritätsträger Halbleiterphysik Prof. Goßner

28. Ladungsträgerverteilung innerhalb der Bänder n-Leitung W W p-Leitung n(W) n(W) p(W) p(W) W Eigenleitung Die beweglichen Ladungsträger halten sich vorzugsweise in Bandkantennähe auf n(W) WC • Freie Elektronen im Leitungsband nahe WC WV p(W) • Löcher im Valenzband nahe WV Halbleiterphysik Prof. Goßner