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Aplicando los números racionales en nuestro diario vivir

Aplicando los números racionales en nuestro diario vivir. Profa. Milagros Morales. Introducción.

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Aplicando los números racionales en nuestro diario vivir

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  1. Aplicando los números racionales en nuestro diario vivir Profa. Milagros Morales

  2. Introducción Enestemódulovasaencontrarlosprincipiosbásicosdeelconjuntodenúmerosracionales.Tepresentamosteoríayejerciciosqueteayudaránenelaprendizajedeestasdestrezasbásicasquesonnecesariasparatuvidacotidiana. Estemóduloestádirigidoaestudiantesqueesténtomandocursosdematemáticafundamentalointroductoria. Atrás Continuar

  3. Menú principal • Objetivo general • Objetivos específicos • Instrucciones de uso y manejo del módulo • Pre-prueba • Menú desarrollo tema • Post-prueba • Glosario • Salir

  4. Números racionales Objetivo general Usar números racionales para representar y resolver situaciones del diario vivir. Menú principal módulo Objetivo general Objetivos específicos Instrucciones de uso y manejo del módulo Pre-prueba Menú Desarrollo del tema Post-prueba Glosario Salir

  5. Números racionales Menú principal módulo Objetivosespecíficos • Explicarlanecesidaddeampliarelconjuntodelosnúmerosenteros. • Definirelconceptonúmerosracionales. • Interpretarsituacionesprácticasenlasqueseusannúmerosracionales • Representarfraccionesusandomodelosysímbolos. • Compararfraccionesentérminosdeorden. • Efectuaroperacionesaritméticasconnúmerosracionales. • Resolverproblemasrealesquerequierenelusodenúmerosracionales. Objetivo general Objetivos específicos Instrucciones de uso y manejo del módulo Pre-prueba Menú desarrollo del tema Post-prueba Glosario Salir

  6. Números racionales Parautilizarestemódulonecesitas: • Poseerconocimientosbásicosdelusodelcomputador. • SerecomiendaquetucomputadoratengaaccesoalInternet. • Poseerconocimientosmatemáticosbásicoscomolamanipulacióndeoperacionesaritméticassimples. • Usarlápizypapelpararealizarunapre-pruebadeinicioyunapost-pruebaalfinal.Estasteayudaránaevaluartudesempeño. • Enlaregiónrectangularazul,delasdiapositivasencontrarásunmenúquetepermitiránavegaradecuadamenteeneldesarrollodeltema. Estemóduloteproveerá: • Explicacionesconejemplosyluegoejerciciosdepráctica. • VínculosarecursosenelInternetqueteayudaránacomplementartupráctica. Instrucciones para uso y manejo del módulo Menú principal módulo Objetivo general Objetivos específicos Instrucciones de uso y manejo del módulo Pre-prueba

  7. 4 2 6 6 6 4 Pre-Prueba Números racionales - Pre-prueba Esta evaluación preliminar te indicará las dificultades que puedes tener al trabajar con números racionales. En cada pregunta vas a señalar la respuesta y te indicará el resultado. MARCA SOLAMENTE la respuesta que consideras correcta. Luego puedes cotejar las otras respuestas. 1. ¿Qué fracción del entero está representada en la siguiente figura (color cardenal)? Correcto Incorrecto Incorrecto

  8. 4 6 Números racionales - Pre-prueba 2. La figura indica que el numerador es: 4 6 Correcto Incorrecto 3. La figura indica que el denominador es: 4 6 Incorrecto Correcto

  9. 5 3 1 2 13 9 11 12 4 1 7 3 10 18 6 8 2 6 Números racionales - Pre-prueba • Indica cuáles de las siguientes son fracciones propias. Correcto Correcto Correcto Correcto Incorrecto Incorrecto Incorrecto Incorrecto

  10. 5 3 1 2 13 9 12 11 7 3 1 4 10 6 8 6 2 8 Números racionales - Pre-prueba 5. Indica cuáles de las siguientes son fracciones impropias. Correcto Correcto Correcto Incorrecto Incorrecto Incorrecto Incorrecto Incorrecto

  11. 2 1 3 7 4 1 8 3 9 12 7 3 4 10 2 6 6 Números racionales - Pre-prueba 6. Indica cuáles de los siguientes son números mixtos. Incorrecto Incorrecto Incorrecto Incorrecto Correcto Correcto Correcto

  12. 42 5 8 6 2 8 1 2 5 2 8 5 5 5 Números racionales - Pre-prueba 7. ¿Cuál es la fracción mixta correspondiente a ? Incorrecto Incorrecto Incorrecto Correcto

  13. 20 75 61 8 7 61 8 8 8 5 8 Números racionales - Pre-prueba 8. ¿Cuál es la fracción impropia correspondiente a ? Incorrecto Incorrecto Incorrecto Correcto

  14. 20 8 30 12 Números racionales - Pre-prueba 9. ¿Son y fracciones equivalentes ? Sí Correcto NO Incorrecto

  15. 6 48 12 4 24 84 22 42 7 7 Números racionales - Pre-prueba 10. Al simplificar a sus términos más simples obtendremos: Incorrecto Incorrecto Incorrecto Correcto

  16. 3 32 4 Números racionales - Pre-prueba 11. El numerador que falta en la expresión = , para completar una igualdad es : 12 8 10 24 Incorrecto Incorrecto Incorrecto Correcto

  17. 5 6 12 15 4 15 2 15 2 2 5 54 18 18 54 9 9 6 6 9 , , , , Números racionales - Pre-prueba 12. Seleccione las fracciones equivalentes a , tales que tengan el mismo denominador común. Incorrecto Incorrecto Incorrecto Correcto

  18. , , 7 3 5 12 9 8 54 84 25 80 24 28 24 42 27 35 7 40 , , , , , , , , 60 72 72 48 60 48 144 144 60 144 72 48 Números racionales - Pre-prueba 13. Seleccione las fracciones equivalentes a tales que tengan el mínimo denominador común. , Incorrecto Correcto Incorrecto Incorrecto

  19. 5 2 5 2 8 3 8 3 Números racionales - Pre-prueba 14. Indica cuál fracción es mayor , . Incorrecto Correcto

  20. 1 2 1 1 2 2 2 1 8 4 8 4 8 8 4 4 › = ‹ Números racionales - Pre-prueba 15. Indica cuál es la relación entre ? . Incorrecto Incorrecto Correcto

  21. Números racionales: Menú desarrollo tema • Introducción • Equivalencia racionales • Representación racionales en la recta • numérica • Glosario • Salir

  22. Introducción: En nuestra vida diaria podemos representar muchas situaciones usando números enteros. Por ejemplo: • Contar cosas – unos, dos, tres, cuatro … • Ordenar – primero, segundo, tercero, cuarto, quinto… • Para identificación - número de estudiante o número de seguro social • 842-01-1025 • 555-23-2232 • Temperaturas bajo cero: - 10 grados • Balances de cuentas bancarias en negativo $ -300.00 Números racionales: Introducción Menú desarrollo tema Introducción Extensión conjunto enteros Definición conjunto racionales Vocabulario y simbolismo Equivalencia racionales Representación de números Racionales recta numérica Glosario Salir

  23. Extensión conjunto de números enteros Pero también existen muchas otras situaciones en las que el conjunto de los números enteros no provee forma para representarlas. Por ejemplo: • Compras en el supermercado - medio galón de leche • Mantenimiento auto – al comprar gasolina ½ tanque gasolina, al completar ¼ de galón de aceite de motor Números racionales: Introducción Menú desarrollo tema Introducción Extensión conjunto enteros DefinicióncConjunto racionales Vocabulario y simbolismo Equivalencia racionales Representación de números racionales Glosario Salir

  24. 7 100 Extensión conjunto de números enteros - Ejemplos • IVU (impuesto de ventas y uso): De cada dólar (100 centavos) que gastas 7 centavos hay que aportarlos al gobierno. • Confección de la receta de un bizcocho: ½ taza de azúcar con ¾ cdta. aceite • Restaurant: una pizza dividida en 8 pedazos, cada pedazo es un octavo de la pizza • Medidas: un cuarto de pulgada Números racionales: Introducción Menú desarrollo tema Introducción Extensión conjunto enteros Definición conjunto racionales Vocabulario y simbolismo Equivalencia racionales Representación de números racionales recta numérica Glosario Salir • Ver ejemplos demostrativos (click aquí)

  25. 16 a 3 0 3 5 1 1 , , , , , , , 9 7 3 b 4 4 9 2 4 - - 5 10 Definición del conjunto de números racionales Los ejemplos anteriores nos muestran cómo en muchas situaciones necesitamos dividir objetos o conjuntos. Esto nos obliga a trabajar con fracciones de un entero y con fracciones de un conjunto. Veamos la definicón del conjunto de los números racionales. El conjunto de los números racionales lo definimos como: R = { | a y b son números enteros, b ≠ 0 } Ejemplos: Notas que en todo momento se están dividiendo números enteros, pero nunca dividimos por cero. (El número por el cual se divide no puede ser cero). Números racionales: Introducción Menú desarrollo tema Introducción Extensión conjunto enteros Definición conjunto racionales Vocabulario y simbolismo Equivalencia racionales Representación de números racionales recta numérica Glosario Salir

  26. Vocabulario y simbolismo Es importante conocer el vocabulario y simbolismo del conjunto de los números racionales pues te va a ayudar a nombrar las partes resultantes al dividir el entero en partes iguales. Las partes fraccionarias representan los pedazos del entero que tienen el mismo tamaño, que se pueden reunir, separar y dividir. Números racionales: Introducción Menú desarrollo tema Introducción Extensión conjunto enteros Definición conjunto racionales Vocabulario y simbolismo Numerador y denominador Tipos racionales Conversión racionales Equivalencia racionales Representación de números racionales recta numérica Veamos cómo dividir el entero en partes iguales y nombremos las partes fraccionarias resultantes. Glosario Salir

  27. Vocabulario y simbolismo ¿Notaste alguna relación entre la forma escrita en palabras, la representación de la figura y la forma del símbolo que representa a las fracciones ? ¿Cómo se llaman y cúal crees que es la función de cada número en el símbolo de los números racionales? Números racionales: Introducción Menú desarrollo tema Introducción Extensión conjunto enteros Definición conjunto racionales Vocabulario y simbolismo Numerador y denominador (Click en cada número para que veas las respuestas) Tipos racionales Conversión racionales Equivalencia racionales Numerador- numera o cuenta los pedazos del mismo tamaño que se están considerando del entero - 3 Representación de números racionales recta numérica 4 Denominador – cantidad de pedazos del mismo tamaño en que se ha dividido el entero - Glosario Salir Ejercicios de práctica

  28. 3 8 2 4 3 3 1 Vocabulario y simbolismo (Cont.): Para clasificar las fracciones vamos a fijarnos en el numerador y denominador. Fracción propia – El numerador es menor que el denominador Fracción impropia – numerador es mayor o igual que el denominador Fracción mixta – suma de un número entero y una fracción propia Números racionales: Introducción Menú desarrollo tema Introducción Extensión conjunto enteros Definición conjunto racionales Tres es menor que cuatro Vocabulario y simbolismo Numerador y denominador Tipos racionales Conversión racionales Ocho es mayor que tres Equivalencia racionales Representación de números Racionales recta numérica Uno es el entero 2/3 es la fracción sumada al entero Glosario Salir Ejercicios de práctica

  29. 2 2 3 3 4 4 Vocabulario y simbolismo (Cont.): Conversión fracciones mixtas a impropias Para cambiar una fracción mixta a impropia multiplicamos el denominador por el entero y a este resultado le sumamos el numerador. El denominador se queda igual. Números racionales: Introducción Menú desarrollo tema Introducción Extensión conjunto enteros Definición conjunto racionales Vocabulario y simbolismo Numerador y denominador Tipos racionales +2= 14 14 Conversión racionales = = Equivalencia racionales 3 Representación de números Racionales recta numérica 3X4 = 12 12 Glosario Salir Continuar

  30. Vocabulario y simbolismo (Cont.): Conversión de fracciones impropias a mixtas Para cambiar de impropia a mixta dividimos el denominador por el numerador. El cociente de esta división es el entero de la fracción mixta. El residuo de esta división se coloca sobre el divisor y forma la fracción que acompañará al entero. Números Racionales: Introducción Menú desarrollo tema Introducción Extensión conjunto enteros Definición conjunto racionales Vocabulario y simbolismo Numerador y denominador 2 2 Tipos racionales 10 10 3 Conversión racionales 3 3 - 6 Equivalencia racionales 4 4 Representación de números Racionales recta numérica Glosario Salir Ejercicios de práctica Regresar

  31. 1 2 4 6 12 3 Equivalencia racionales Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad del entero. La siguiente figura nos muestra que las fracciones indicadas en azul marino son equivalentes y están representando la misma porción del entero. Menú desarrollo tema Introducción Equivalencia racionales Propiedad fundamental Definición equivalencia Fracciones equivalentes con denominador mayor Simplificación racionales Representación de números Racionales recta numérica Glosario Por tanto , , son fracciones equivalentes Salir

  32. 25 25 25 2 2 1 2 1 1 1 3 a 1 4 1 25 4 6 4 4 6 8 50 50 4 8 2 8 3 2 2 9 25 50 2 3 9 3 b 2 3 2 Propiedad fundamental de los números racionales:dado un número racional , b≠ 0 podemos multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número distinto de cero y obtener otro número racional equivalente al primero. Ejemplos: Números racionales: Equivalencia Menú desarrollo tema Introducción Equivalencia racionales Propiedad fundamental Definición equivalencia Fracciones equivalentes con denominador mayor , X = = = Simplificación racionales , X = = = Representación de números racionales recta numérica , X = = = Glosario Conclusión: quiere decir que es equivalente a . Salir

  33. c d a b a c b d 1 1 4 1 25 25 50 2 2 8 2 50 Definición: Sean dos , números racionales, b y d, distintos de cero, son equivalentes si al multiplicar a x d = b x c. Esta equivalencia se representa como: = Ejemplos: Números racionales: Equivalencia Menú desarrollo tema Introducción Equivalencia racionales Propiedad fundamental Definición equivalencia Fracciones equivalentes con denominador mayor Simplificación racionales porque 1 X 8 = 2 X 4 . = Representación de números racionales recta numérica porque 2 X 25 = 1 X 50 . = Glosario porque 4 X 50 = 8 X 25 . = Salir

  34. 4 5 4 4 4 20 20 100 5 20 20 20 20 100 100 Dado un número racional podemos computar una fracción equivalente a éste con un denominador mayor. Ejemplo: Escribe una fracción equivalente a Números racionales: Equivalencia Menú desarrollo tema Introducción Equivalencia racionales Propiedad fundamental Definición equivalencia Fracciones equivalentes con denominador mayor ? = Simplificación racionales ¿Qué número completa esta igualdad? ¿Por cuánto tendrías que multiplicar a 20 para obtener 100? Representación de números racionales recta numérica por tanto , X = = Glosario Salir Práctica

  35. 6 ÷6 4 ÷2 4 6 4 6 2 1 2 1 10÷2 18÷6 18 5 3 18 3 10 5 10 Simplificación de números racionales Se dice que una fracción está en su forma más simple si el numerador y el denominador no tienen divisores en común. Ejemplos: 1) El número racional se puede simplificar porque 4 y 10 tienen un divisor en común que es 2: 2) El número racional se puede simplificar porque 6 y 18 tienen un divisor en común que es 6: Números racionales: Simplificación Menú desarrollo tema Introducción Equivalencia racionales Propiedad fundamental Definición equivalencia Fracciones equivalentes con denominador mayor Simplificación racionales = por tanto , = Representación de números Racionales recta numérica Glosario Salir = por tanto , = Práctica

  36. 3 3 4 2 1 4 4 4 4 4 Representación números racionales recta numérica Los números racionales se pueden representar en la recta numérica. Así como al 0 y al 1 se les asigna un punto en la recta, también a los números racionales tienen un punto específico para representarlos. Veamos: Para representar el punto dividimos el segmento entre 0 y 1 en cuatro pedazos del mismo tamaño y ubicamos este punto en el tercer segmento. Números racionales: Representación recta numérica Menú desarrollo tema Introducción Equivalencia racionales Representación de números racionales recta numérica Orden racionales Glosario Salir -1 0 1 2 Continuar

  37. , , , , -4 -2 -3 -1 3 5 7 8 1 4 2 6 -1 -3 3 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Representación racionales recta numérica (Cont.) La siguiente figura se ha dividos en segmentos que representan cuartos del entero. Nos muestra los puntos que corresponden a: Números racionales: Representación recta numérica Menú desarrollo tema Introducción Equivalencia racionales (click a cada fracción) Representación de números Racionales recta numérica Orden racionales -1 , 0 , 1 , 2 Glosario Salir -1 0 1 2 Continuar Anterior

  38. -1 0 1 Notar que , y son equivalentes 2 4 6 es menor que Por su posición más cerca del cero es menor que Por su posición más cerca del cero 5 6 7 5 4 2 6 6 -1 -3 5 3 -4 -3 -1 -2 -6 -5 1 3 2 6 5 4 -8 -7 -5 -6 -4 -2 -3 -1 7 8 5 6 3 4 1 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 3 4 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 4 3 -10 -11 -12 11 12 10 -2 -6 -9 -1 -3 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -9 8 3 4 9 7 1 5 6 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 Representación números racionales recta numérica (Cont.) Veamos cómo dividir los segmentos de la recta numérica para representar otros números racionales y compararlos: Números racionales: Representación recta numérica Menú desarrollo tema Introducción Equivalencia racionales -2 2 Representación de números Racionales recta numérica Orden racionales -2 -1 0 1 2 Glosario Salir 2 -2 -1 0 1 1 -2 -1 0 2 Anterior Práctica

  39. a c a c b b b b Orden de números racionales Para ordenar un conjunto de números racionales es recomendable campararlos en términos de su tamaño. Teorema: Si a, b y c son enteros y b≠0 entonces < si y sólo si a < c. Notar que y son fracciones con denominadores iguales y se les llama fracciones homogenias. Números racionales: Orden Menú desarrollo tema Introducción Equivalencia racionales Representación de números racionales recta numérica Orden racionales Denominador igual Denominador diferente Glosario Salir

  40. , , , 1 3 4 7 7 1 3 4 7 7 7 7 7 7 7 7 Orden de números racionales (Cont.) Ordenar números racionales con denominadores iguales es simple. Ejemplo: Si se pide ordenar las siguientes números racionales: Para ordenarlos sólo nos fijamos en el numerador y odenamos según el tamaño del numerador. Números racionales: Orden Menú desarrollo tema Introducción Equivalencia racionales Representación de números racionales recta numérica Orden racionales , , , Denominador igual Denominador diferente Glosario Salir , , ,

  41. 4 7 5 8 7 4 8 5 Orden de números racionales (Cont.) Se pide ordenar las siguientes números racionales. Puesto que no son fracciones homogénias, (no tienen igual denominador común) el entero, que ambas representan, se ha dividido en diferentes maneras. Números racionales: Orden Menú desarrollo tema Introducción Equivalencia racionales Representación de úmeros racionales recta numérica Orden racionales En este ejemplo es fácil notar que: es mayor que pues las partes del entero consideradas ocupan más espacio del entero. Denominador igual Denominador diferente Glosario Salir Continuar

  42. 7 x 5 4 x 8 4 7 35 35 32 32 8 40 40 40 40 5 x 8 8 x 5 5 Ordenar números racionales con denominadores dIferentes requiere convertir los números racionales a fracciones equivalentes con el mismo denominador común. Del ejemplo anterior para ordenar y : Buscamos un denominador común que es el múltipo que tanto el cinco como el ocho tienen en común. Este número es 40. Por tanto tenemos que multiplicar 8 x 5 y 5 x 8. Por el número que multipliquemos el denominador también tienes que multiplicarlo por numerador. Veamos: Ahora con el denominador igual es fácil ordenar las fracciones, sólo nos fijamos en el numerador. Números racionales: Orden Menú desarrollo tema Introducción Equivalencia racionales Representación de números racionales recta numérica Orden racionales Denominador igual Denominador diferente Glosario Salir , Ejercicios de práctica

  43. 4 2 2 2 1 3 4 1 3 10 3 3 4 5 6 5 8 4 Números racionales- Post prueba El propósito de esta post prueba es ayudarte a comprobar tu progreso en el tema de los números racionales. 1. ¿En las siguientes figuras qué grupo de fracciones están representadas con el color mostaza? Correcto Incorrecto Incorrecto

  44. Números racionales- Post prueba 2. La fracción indicada en la figura muestra que el numerador (color azul) es : 2 6 Correcto Incorrecto 3. La fracción indicada en la figura muestra que el denominador es: 4 6 Incorrecto Correcto

  45. 5 3 5 2 13 8 7 2 1 7 2 3 32 9 4 3 5 2 Números racionales- Post prueba • Indica cuáles de las siguientes son fracciones propias. Correcto Correcto Correcto Correcto Incorrecto Incorrecto Incorrecto Incorrecto

  46. 7 9 6 1 13 18 12 33 22 1 8 4 19 16 10 7 4 4 Números racionales- Post prueba 5. Indica cuáles de las siguientes son fracciones impropias. Correcto Correcto Correcto Correcto Incorrecto Incorrecto Incorrecto Incorrecto

  47. 9 3 9 6 6 9 18 13 18 12 13 21 3 2 10 26 15 7 4 Números racionales- Post prueba 6. Indica cuáles de las siguientes son fracciones mixtas. Correcto Correcto Correcto Incorrecto Incorrecto Incorrecto Incorrecto Incorrecto

  48. 1 3 3 3 17 7 2 5 1 5 5 2 5 5 Números racionales- Post prueba 7. ¿Cuál es la fracción mixta correspondiente a ? Incorrecto Incorrecto Incorrecto Correcto

  49. 73 10 7 10 7 73 10 10 10 3 10 Números racionales- Post prueba 8. ¿Cuál es la fracción impropia correspondiente a ? 3 Incorrecto Incorrecto Incorrecto Correcto

  50. 16 40 24 60 Números racionales- Post prueba 9. ¿Son y fracciones equivalentes ? Sí Correcto NO Incorrecto

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